黑龙江省鸡西市第一中学校2025-2026学年高一上学期9月月考数学试卷含答案解析

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注意事项：
时间：120分钟 分值：150分
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题58分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】把原不等式两边同时乘以，把二次项系数化为正值，因式分解后可求得一元二次不等式的解集．
【详解】由得，即，解得或，
所以不等式的解集为或．
故选：C
2. 已知命题，则是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把任意改成存在，把结论否定即可.
【详解】是“”.
故选：C
3. 已知实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由作差法结合不等式的性质即可判断.
【详解】不等式，等价于，
因为，所以，显然，得出；
，得或，未必.
故选：A.
4. 已知，若集合，则的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用集合相等的意义，结合集合元素的互异性求出，进而求出目标值.
【详解】由集合，得，有，
则，因此，所以.
故选：B
5. 已知，则的最小值是（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故选：B
6. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用作差法可得出的大小关系．
【详解】因为，所以．
故选：C.
7. 已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s不是q成立的充分条件，则下列说法正确的是（ ）
A. p是r成立的充要条件B. s是r成立的必要不充分条件
C. p是s成立的充分不必要条件D. q是s成立的必要不充分条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据题给条件得出，据此对各选项进行逐一判断.
【详解】依题意得.
由得，但p不一定能推出r，充分性不一定满足，故A错.
由得，又，所以s是r成立的必要不充分条件，故B对.
由得，又，无法建立p与s的确切关联，即p不一定能推出s，s不一定能推出p，故C错；
因为，所以，又，所以q是s成立的充分不必要条件，故D错.
故选：B.
8. 对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合子集个数是个（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由新定义，列举计算即可；
【详解】当都是偶数或都是奇数时，
则或或或或或或或或；
当是偶数，是奇数时，，或；
当是奇数，是偶数时，，或；
集合中含有个元素，它的子集个数为，
故选：B
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若则下列命题不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，那么D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】应用不等式性质及特殊值法、作差法判断各项的正误.
【详解】取，有，A错误；
因为，所以，所以，所以，B正确；
取，显然，C错误；
因为，所以，即，D错误．
故选：ACD
10. 下列命题为假命题的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由无实数解判断A；可得判断B；利用判断C；利用可判断D.
【详解】选项A：因为无实数解，所以命题为假命题，故A符合题意；
选项B：当时，，
当时，，故，
即命题为假命题，故B符合题意；
选项C：当时，因为，
所以，即，
故命题真命题，故C不符合题意；
选项D：，因为，所以不一定为有理数，
故命题为假命题，故D符合题意.
故选：ABD.
11. 用表示集合中元素的个数，对于集合、，定义，若，，且，则实数的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】分析可知，或，对集合的元素个数进行分类讨论，利用根与系数的关系，求出参数的值，对求出的参数值进行检验即可.
【详解】对，有，
故，则或，
当时，由，
故，则有，即，
此时，符合要求；
当时，则，故，
对于，若，解得，
① 当时，，解得，
此时，符合要求；
② 当时，，解得，
此时，符合要求.
若，则有一根属于，另一根不属于，
当时，有，故不是的根，
当时，有，故不是根，
故时，不合题意；
综上所述，实数的值可能为或．
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分析得出或，对集合的元素个数进行讨论，在求出参数后一定要注意进行检验.
第Ⅱ卷（非选择题92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】将分式不等式化成和它等价的整式形式，求解即可.
【详解】即
原不等式可化为，
解得.
故答案为：
13. 某校高一四班学生人，寒假参加体育训练，其中足球队人，排球队人，游泳队人，足球排球都参加的有人，足球游泳都参加的有人，排球游泳都参加的有人，问：三项都参加的学生数为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后结合题意列方程求解即可.
【详解】设集合，
集合，
集合，
则，，，
，，，
设三项都参加的有人，即，，
所以由
即，
解得.
故答案为：.
14. 已知，若仅有一个整数使得“不成立，且成立”，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出的补集，由题设该补集与的交集有且仅有一个整数解，故可求参数的范围.
【详解】不成立时或，
由题设或与的交集有且仅有一个整数解，
故即，
故答案为：.
四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知是小于的正整数，，．
（1）求，；
（2）．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用集合的交集和并集定义即可得到结果.
（2）利用即可的补集和并集定义即可得到结果.
【小问1详解】
，
，
【小问2详解】
，
16. 设全集，集合或，非空数集.
（1）若，求；
（2）在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）确定，再计算交集得到答案.
（2）确定三个条件均等价于，根据得到，再根据得到或，计算得到答案.
【小问1详解】
时，，或，.
【小问2详解】
若选项①，，则；
若选择②，，则；
若选择③，，则.
三个条件均等价于，
，则，解得，
，则或，解得或
综上所述：实数的取值范围是.
17. .
（1）若对任意的都有成立，求的范围；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）就、分类讨论，后者再结合判别式可求的范围；
（2）就、、、及分类讨论后可得不等式的解集.
【小问1详解】
即为，
若，则恒成立；若，则，即，
故
【小问2详解】
即为即，
①当时，，即解集为，
②当时，令得，
(i)当时，，开口向上，此时不等式的解集为；
(ii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为；
(iii)当时，，开口向下， 此时不等式的解集为或；
(iiii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为或.
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为或;
当时，解集为;
当时，或.
18. 对于函数，已知，当时，，
（1）若存在正实数、，使不等式有解，求实数的取值范围；
（2）求的最小值．
【答案】（1）
（2）36
【解析】
【分析】（1）存在性问题转化为最值问题，先由“1”的代换求的最小值，再求解的二次不等式；
（2）由已知得，将转化为，再由“1”的代换求最小值.
【小问1详解】
当时，，又，
所以，即，所以.
所以，
当且仅当，即时取等号.
所以若存在正实数、，有解，即，
所以，解得或，
即实数的取值范围是.
【小问2详解】
由（1），即，
所以
=，
当且仅当时取等号.
故的最小值是.
19. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为200m2的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/m2．
（1）设长为米，总造价为元，试建立关于的函数关系式；
（2）问：当为何值时最小，并求出这个最小值；
（3）若总造价不超过138000元，求长的取值范围．
【答案】（1）；
（2）当时，；
（3）.
【解析】
【分析】（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，并用表示，将花坛、地坪、草坪的造价相加，求得总造价，并求得的取值范围；
（2）利用基本不等式求得的最小值，并求得此时对应的的值；
（3）根据不等式求解可求得的取值范围.
小问1详解】
设，因为两个相同的矩形和构成的面积为，
所以可得，解得，且
所以，，
矩形的面积为，正方形为，
所以
；
【小问2详解】
因为，
当且仅当，即时，（元）
故当，即时，总造价最小.
【小问3详解】
由（1）知，
若总造价不超过138000元，即
化简可得，即，
解之可得，所以的取值范围.