2024_2025学年江苏省宿迁市泗阳县八年级上学期11月期中考试数学检测试卷（含答案）

这是一份2024_2025学年江苏省宿迁市泗阳县八年级上学期11月期中考试数学检测试卷（含答案），共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个垃圾分类标识中，其文字上方的图案属于轴对称图形的是 ( )
A.B.C.D.

2.下列说法正确的是（ ）
A.三个角对应相等的两个三角形全等
B.角平分线上的点到角两边距离相等
C.等腰三角形的对称轴是底边上的高
D.有一个角是60∘的三角形是等边三角形

3.如图，BC=BD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≅△ABD的是（ ）

A.∠ABC=∠ABDB.∠C=∠D=90∘
C.∠CAB=∠DABD.AC=AD

4.在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=6，AC=8，点D为斜边BC中点，则AD长为（ ）
A.4B.5C.6D.3
5.如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是（ ）
A.4:00B.8:00C.12:20D.12:40

6.下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A.5，12，13B.8，15，17C.3，4，5D.2，3，4

7.如图，△ABC≅△DBC，∠A=34∘，∠ACD=72∘，则∠DBC的度数是（ ）
A.110∘B.105∘C.64∘D.100∘

8.如图，在∠ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘分别以A，B两点为圆心，大于12AB为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交AC于点D，交AB于点E，若CD=3，则AC的长度为（ ）
A.9B.6C.3D.12

9.如图，在三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认BC处于水平位置．这种做法依据的数学原理是（ ）
A.等腰三角形的三线合一B.等角对等边
C.三角形具有稳定性D.等边对等角

10.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为70，AB=16，BC=12，则DE的长为（ ）
A.10B.3C.6D.5

11.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，分别以三角形的三边为边向外作等边三角形，若等边三角形的面积分别用S1，S2，S3表示，则S1，S2，S3之间的大小关系为（ ）
A.S2+S3=S1B.S1+S3=2S2C.S1+S2=S3D.S1+2S3=2S2

12.如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A，C，E在一条直线上，连接AD，BE相交于点Q，与BC，CD分别交于点M，N．连接MN，QC．下列说法中正确的有（ ）个．
①∠AQB=60∘；②△CMN是等边三角形；③CQ平分∠AQE；④△AMC≅△BNC；⑤QC2+QD2=2QE2
A.2B.3C.4D.5
二、填空题

13.三角形ABC的三边长分别为6，8，10，这个三角形的形状是_______________三角形．

14.已知△ABC≅△ADE，AB=5cm，BC=8cm，则DE的长为____________cm．

15.如图在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．则∠1和∠2的关系为_______________．


16.如图，等边△ABC的边长为2cm，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为____________ cm

17.如图，是长为40cm，宽为30cm，高为120cm的长方体纸箱，这个纸箱能容纳的木棒最长为____________cm．

18.如图，是5×6的正方形网格，以点D，E为顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与ΔABC全等，这样的格点三角形最多可以画出______________个.

19.在△ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40∘，则∠B的度数是____________．

20.如图，在长方形ABCD中，内接三个大小相同的正方形，点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,AD上，若AB=6cm，AD=5cm，则每个小正方形的面积为____________cm2．
三、解答题

21.已知：如图，∠B=∠D，∠1=∠2，AB=AD，求证：BC=DE．

22.如图，BD是△ABC的角平分线，E是AB的中点，EF // BC，EF交AC于点F，交BD于点G．
（1）若∠A=70∘，∠AFE=40∘，则∠EGB=___________度；
（2）若AB=5，求EG的长．

23.如图，∠ABC=∠ADC=90∘，E，F分别为AC,BD的中点．问：EF,BD有怎样的位置关系？并说明理由．

24.如图，在所给的正方形网格（每个小正方格的边长均为1）中，按要求完成下列各题．
（1）画出格点△ABC（顶点均在网格线的交点上）关于直线l对称的△DEF．
（2）△DEF的面积为_______．
（3）在直线l上画出点P，使得PA+PB的值最小（保留作图痕迹）．

25.善于观察思考的小明发现，悬挂在墙上点O处的钟摆OA处于竖直位置，当钟摆分别摆动到OB,OC处，且OB⊥OC时，测得点B，C距离竖直位置OA的水平距离分别为18cm和24cm．
（1）小明想知道CE和OD的大小关系，请你帮帮他，并说明理由．
（2）求钟摆OA的长．

26.如图，AB=AC=AD，且AD∥BC．
（1）若∠C=80∘，则∠D=_______度．
（2）若∠C=α，∠D=β，则α与β之间有怎样的数量关系?请说明理由．

27.如图1，在直角三角形ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，AM，BN分别是∠CAB与∠ABC的角平分线，且AM，BN相交于点O．
（1）∠AOB的度数为 _______​∘．
（2）求点O到AB边的距离及△AON的面积．
（3）如图2，若过点C作CD⊥AB，分别交AM，BN于P，Q两点，垂足为点D，求PQ的长．

28.折纸是我国的传统文化．在数学学习中，折纸也常常能给我们解决问题提供思路和方法．在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长为8cm，宽为4cm的长方形纸片进行折纸探究活动．
【操作说理】
如图①，在长方形纸片DEFG上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠（如图②）．
（1）试探究重叠部分△ABC的形状?并请说明理由．
（2）求△ABC面积的最小值．
【感悟作图】
把长方形纸片DEFG对折，折痕为MN，请你用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）如图③，试在折痕MN上找一点P，使得△DEP为等边三角形．
（4）如图④，在线段DG上找一点Q，在线段EF上找到一点H，使得△EQH为等边三角形．
【迁移运用】
（5）若在一张钝角三角形ABC的纸片中，∠B=36∘，过某一个顶点将纸片对折一次后，使得对折后的两个三角形均为等腰三角形，则三角形纸片中最大内角的度数为____________．（直接写出答案）
参考答案与试题解析
2024-2025学年江苏省宿迁市泗阳县八年级上学期11月期中考试数学试题
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
轴对称图形
【解析】
本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】
解：A．图形不是轴对称图形，不符合题意；
B．图形不是轴对称图形，不符合题意．
C．图形是轴对称图形，符合题意；
D．图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选：C．
2.
【答案】
B
【考点】
全等三角形的概念
等边三角形的判定
角平分线的性质
作图-轴对称变换
【解析】
本题主要考查了全等三角形的定义，角平分线的性质，对称轴的定义，等边三角形的判定等知识点，熟练掌握相关定义、性质和判定定理是解题的关键．
根据全等三角形的定义、角平分线的性质、对称轴的定义、等边三角形的判定逐项分析判断即可．
【解答】
解：A．三个角对应相等的两个三角形不一定全等，原说法不正确，故选项A不符合题意；
B．角平分线上的点到角两边距离相等，原说法正确，故选项B符合题意；
C．等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线，原说法不正确，故选项C不符合题意；
D．有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形，原说法不正确，故选项D不符合题意；
故选：B．
3.
【答案】
C
【考点】
添加条件使三角形全等
【解析】
根据全等三角形的判定依次进行判断即可得．
【解答】
解：A、BC=BD，AB=AB，∠ABC=∠ABD，可利用SAS证明△ABC≅△ABD，选项说法错误，不符合题意；
B、BC=BD，AB=AB，∠C=∠D=90∘，可利用HL证明△ABC≅△ABD，选项说法错误，不符合题意；
C、BC=BD，AB=AB，∠CAB=∠DAB，无法证明△ABC≅△ABD，选项说法正确，符合题意；
D、BC=BD，AB=AB，AC=AD，可利用SSS证明△ABC≅△ABD，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
4.
【答案】
B
【考点】
勾股定理的应用
直角三角形斜边上的中线
【解析】
本题考查勾股定理，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边一半是解题关键．根据勾股定理可求出BC=10，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半即可求解．
【解答】
解：∵在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=6，AC=8，
∴BC=AB2+AC2=10．
∵点D为斜边BC中点，
∴AD=12BC=5．
故选B．
5.
【答案】
B
【考点】
钟表的镜面对称
【解析】
镜子中的时间和实际时间关于钟表上过6和12的直线对称，作出相应图形，即可得到准确时间．
【解答】
解：由图中可以看出，此时的时间为8:00．
故选：B．
6.
【答案】
D
【考点】
勾股数
【解析】
此题主要考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解答本题的关键．
根据勾股数的定义逐项判断即可解答．
【解答】
解：A、52+122=132，是勾股数，故A选项不符合题意；
B、82+152=172，是勾股数，故B选项不符合题意；
C、32+42=52，是勾股数，故C选项不符合题意；
D、22+32≠42，不是勾股数，故D选项符合题意；
故选：D．
7.
【答案】
A
【考点】
三角形内角和定理
全等三角形的性质
【解析】
本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，由全等三角形的性质可得∠D=∠A=34∘，∠ACB=∠DCB=12∠ACD=36∘，再由三角形内角和定理计算即可得解．
【解答】
解：∵△ABC≅△DBC，
∴∠D=∠A=34∘，∠ACB=∠DCB=12∠ACD=36∘，
∴∠DBC=180∘−∠DCB−∠B=110∘，
故选：A．
8.
【答案】
A
【考点】
线段垂直平分线的性质
含30度角的直角三角形
作垂线(尺规作图)
【解析】
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，所以∠DBA=∠A=30∘，再计算出∠CBD=30∘，则利用含30度角的三角形三边的关系得到BD=6，所以AD=6，然后计算AD+CD即可．
【解答】
解：由作法得MN垂直平分AB，
∵DA=DB，
∴∠DBA=∠A=30∘，
∵∠ABC=90∘−∠A=60∘，
∴∠CBD=30∘，
在△BCD中，BD=2CD=6，
∴AD=6，
∴AC=AD+CD=6+3=9．
故选：A．
9.
【答案】
A
【考点】
此题暂无考点
【解析】
本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键．
【解答】
解：∵△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
故这种做法依据的数学原理是等腰三角形的三线合一，
故选：A．
10.
【答案】
D
【考点】
角平分线的性质
【解析】
本题考查了角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过点D作DF⊥BC于点F，由角平分线的性质可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△BCD，即可求解．
【解答】
解：如图，过点D作DF⊥BC于点F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
∵S△ABC=S△ABD+S△BCD，
∴12AB⋅DE+12BC⋅DF=12×16DE+12×12DE=70，
∴DE=5，
故选：D．
11.
【答案】
A
【考点】
等边三角形的性质
以直角三角形三边为边长的图形面积
勾股定理的应用
【解析】
本题考查了勾股定理、等边三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质是解答本题的关键．
过点D作DE⊥BC于点E，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，再由等边三角形的性质得BC=BD=CD，BE=12BC，进而由勾股定理得DE=32BC，然后由三角形面积得S2=34BC2，同理S1=34AC2，S3=34AB2，即可得出结论．
【解答】
解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵∠ABC=90∘，
∴AB2+BC2=AC2，
∵△BCD是等边三角形，DE⊥BC，
∴BC=BD=CD，BE=12BC，
∴DE=BD2−BE2=BC2−12BC2=32BC，
∴S2=12BC⋅DE=12BC⋅32BC=34BC2，
同理：S1=34AC2，S3=34AB2，
∴S2+S3=S1，
故选：A．
12.
【答案】
C
【考点】
全等三角形的应用
等边三角形的性质与判定
根据平行线的性质探究角的关系
角平分线的判定定理
【解析】
①根据等边三角形性质得出AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60∘，求出∠BCE=∠ACD，根据SAS推出两三角形全等和8字形即可作判断；②④由“AAS”可证△ACM≅△BCN，可得CM=CN，可得判断；③如图1，过点C作CH⊥AD于点H,CG⊥BE于点G，证明△ACH≅△BCG，根据角平分线的逆定理可作判断；⑤如图2，过点C作CK∥BE，交AD于K，证明△DCK≅△ECQ，根据线段的和与平方可作判断．
【解答】
解：①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60∘，
∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD,∠MCN=60∘，
即∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
AC=BC∠ACD=∠BCEDC=CE ，
∴△BCE≅△ACDSAS，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠AMC=∠BMQ，
∴∠AQB=∠ACB=60∘，故①正确；
②∵AC=BC,∠CAM=∠CBN,∠ACM=∠BCN=60∘，
∴△AMC≅△BNCASA，故④正确；
∴CM=CN，
∵∠MCN=60∘，
∴△CMN是等边三角形；故②正确；
③如图1，过点C作CH⊥AD于点H,CG⊥BE于点G，
∴∠AHC=∠BGC=90∘，
∵AC=BC,∠CAH=∠CBG，
∴△ACH≅△BCGAAS，
∴CH=CG，
∵CH⊥AD,CG⊥BE，
∴CQ平分∠AQE，故③正确；
⑤如图2，过点C作CK∥BE，交AD于K，
由③知：CQ平分∠AQE，由①知：∠AQB=60∘，
∴∠EQC=12∠AQE=60∘，
∵CK∥BE，
∴∠EQC=∠KCQ=60∘=∠DCE，
∴∠QCE=∠KCD，
∵CD=CE,∠ADC=∠BEC，
∴△DCK≅△ECQASA，
∴CK=CQ,QE=KD，
∴△CKQ是等边三角形，
∴KQ=CQ，
∵KD=KQ+DQ，
∴QE=DK=KQ+QD=CQ+QD，
∴QE2=CQ+QD2=CQ2+2⋅CQ⋅QD+QD2，
故⑤不正确，
本题正确的有①②③④，共4个；
故选：C．
二、填空题
13.
【答案】
直角
【考点】
判断三边能否构成直角三角形
【解析】
本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【解答】
解：∵62+82=100，102=100，
∴62+82=102，
∴这个三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
14.
【答案】
8
【考点】
全等三角形的性质
【解析】
本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等的性质．
根据全等三角形对应边相等即可进行解答．
【解答】
解：∵△ABC≅△ADE，BC=8cm，
∴DE=BC=8cm，
故答案为：8．
15.
【答案】
∠1+∠2=180∘
【考点】
全等的性质和SAS综合（SAS）
【解析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明△ABC≅△EDFSAS得出∠DEF=∠1，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【解答】
解：如图：
由题意得：AB=DE，BC=DF，∠ABC=∠EDF=90∘，
∴△ABC≅△EDFSAS，
∴∠DEF=∠1，
∵∠DEF+∠2=180∘，
∴∠1+∠2=180∘，
故答案为：∠1+∠2=180∘．
16.
【答案】
6
【考点】
翻折变换（折叠问题）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，
所以AD=A′D，AE=A′E．
则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，
=BC+BD+CE+AD+AE，
=BC+AB+AC，
=6cm．
17.
【答案】
130
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出AC的长，再由勾股定理求出AD的长即可．
【解答】
解：如图，
，
在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AB=40cm，BC=30cm，
∴AC=AB2+BC2=50cm，
在Rt△ACD中，∠ACD=90∘，AC=50cm，CD=120cm，
∴AD=AC2+CD2=130cm，
即这个纸箱能容纳的木棒最长为130cm，
故答案为：130．
18.
【答案】
4
【考点】
全等三角形的性质
【解析】
根据全等三角形对应边相等，即可画出符合要求的格点三角形.
【解答】
如图所示：
这样的格点三角形最多可以画出4个，
故答案是：4.
19.
【答案】
65∘或25∘
【考点】
线段垂直平分线的性质
【解析】
将△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况分别运用垂直平分线的性质和等腰三角形的性质解答即可．
【解答】
解：①如图：当△ABC中∠A为锐角时，则AB的中垂线MN与AC相交时，
∵∠AMD=90∘，
∴∠A=90∘−40∘=50∘，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=180∘−∠A2=65∘；
②如图：当△ABC中∠A为钝角时，则AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，
∴∠DAB=90∘−40∘=50∘，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=12∠DAB=25∘．
故填65∘或25∘．
20.
【答案】
5
【考点】
全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
利用矩形的性质证明
根据正方形的性质求面积
相似三角形的性质与判定
【解析】
证明△AEH≅△BFEAAS，根据全等三角形的性质得BF=AE=5−CF，证明△BEF∽△CFG，根据相似三角形的性质得CFBE=CGBF=FGEF=12，可得BE=2CF，CG=12BF，利用勾股定理求出FG=5即可求解，再由正方形面积公式求解即可得到答案．
【解答】
解：在长方形ABCD中，内接三个大小相同的正方形，
∴EH=FE=2FG，∠HEF=90∘，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠B=∠C=90∘
∴∠AEH+∠BEF=90∘=∠BFE+∠BEF，
∴∠AEH=∠BFE，
在△AEH和△BFE中，
∠A=∠B∠AEH=∠BFEEH=FE ，
∴△AEH≅△BFEAAS，
∴BF=AE=5−CF，
∵∠CFG+∠BFE=∠BFE+∠BEF=90∘，
∴∠CFG=∠BEF，
∴△BEF∽△CFG，
∴CFBE=CGBF=FGEF=12，
∴BE=2CF，CG=12BF，
∴5−CF+2CF=AB=6cm，
∴CF=1cm，
∴BF=5−CF=4，CG=12BF=2，
∴FG=CF2+CG2=5，
∴每个小正方形的面积为FG2=52=5cm2，
故答案为：
三、解答题
21.
【答案】
见解析
【考点】
全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【解析】
先利用ASA证明△ABC≅△ADE，再根据全等三角形的性质即得结论．
【解答】
证明：∵∠1=∠2，∴∠DAC+∠1=∠2+∠DAC
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∠B=∠DAB=AD∠BAC=∠DAE ，
∴△ABC≅△ADEASA，
∴BC=DE．
22.
【答案】
35
（2）52
【考点】
三角形内角和定理
等腰三角形的判定与性质
角平分线的有关计算
两直线平行同位角相等
【解析】
（1）由平行线的性质得到∠C=∠AFE=40∘，∠EGB=∠CBD，根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可求得答案；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质证得∠EGB=∠ABD，根据等腰三角形的判定即可求得答案．
【解答】
（1）解：∵EF // BC，∠AFE=40∘，
∴∠C=∠AFE=40∘，∠EGB=∠CBD，
∵∠A=70∘，
∴∠ABC=180∘−∠A−∠C=70∘，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=12∠ABC=35∘，
∴∠EGB=35∘，
故本题答案为：35；
（2）∵E是AB的中点，AB=5，
∴BE=12AB=52，
∵EF // BC，
∴∠EGB=∠CBD，
∵∠CBD=∠ABD，
∴∠EGB=∠ABD，
∴EG=BE=52．
23.
【答案】
EF⊥BD，见解析
【考点】
等腰三角形的性质：三线合一
直角三角形斜边上的中线
【解析】
本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，连接EB、ED，根据直角三角形的性质得到EB=ED，根据等腰三角形的性质证明结论．
【解答】
解：EF⊥BD，理由如下：
如图，连接EB、ED，
∵∠ABC=90∘，E是AC的中点，
∴BE=12AC，
同理，DE=12AC，
∴EB=ED，
又F为BD的中点，
∴EF⊥BD．
24.
【答案】
（1）见解析
10
（3）见解析
【考点】
根据成轴对称图形的特征进行求解
作图-轴对称变换
三角形的面积
【解析】
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）利用三角形面积公式计算即可得解；
（3）连接BD交l于P，点P即为所求．
【解答】
（1）解：如图：△DEF即为所作，
（2）解：△DEF的面积为12×4×5=10；
（3）解：如图，点P即为所求，
由轴对称的性质可得PA=PD，
∴PA+PB=PB+PD=BD，
故由两点之间线段最短可得此时PA+PB的值最小．
25.
【答案】
（1）CE=OD，理由见解析
（2）钟摆的长为30cm
【考点】
全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
勾股定理的应用
【解析】
（1）证明△CEO≅△ODB，根据全等三角形的对应边相等可得结论；
（2）根据全等三角形的性质得到OE=BD=18cm，在Rt△CEO中，利用勾股定理求解OC=30cm即可．
【解答】
（1）解：CE=OD．理由：
由题可知：BD⊥OA，CE⊥OA，OB=OC，
∴∠BDO=∠CEO=90∘，∠BOD+∠COE=90∘，∠OCE+∠COE=90∘，
∴∠BOD=∠OCE，
∵OB=OC，
∴△CEO≅△ODBAAS，
∴CE=OD．
（2）解：由题可知：CE=24cm，BD=18cm，
由1知△CEO≅△ODB，
∴OE=BD=18cm．
在Rt△CEO中，OC=182+242=30cm，
∴OA=OC=30cm
答：钟摆的长为30cm．
26.
【答案】
40
（2）β=12α，理由见解析
【考点】
根据平行线的性质求角的度数
三角形内角和定理
【解析】
（1）由等边对等角结合三角形内角和定理可得∠CAB=20∘，由平行线的性质可得∠DAC=∠C=80∘，求出∠BAD=100∘，再由等边对等角结合三角形内角和定理计算即可得解；
（2）由等边对等角结合三角形内角和定理可得∠CAB=180∘−2α，由平行线的性质可得∠DAC=∠C=α，求出∠BAD=180∘−α，再由等边对等角结合三角形内角和定理计算即可得解．
【解答】
（1）解∵AB=AC，∠C=80∘，
∴∠ABC=∠C=80∘，
∴∠CAB=180∘−∠B−∠C=20∘，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠C=80∘，
∴∠BAD=∠DAC+∠BAC=100∘，
∵AB=AD，
∴∠D=180∘−∠BAD2=40∘；
（2）解：β=12α，理由如下：
∵AB=AC，∠C=α，
∴∠ABC=∠C=α，
∴∠CAB=180∘−∠B−∠C=180∘−2α，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠C=α，
∴∠BAD=∠DAC+∠BAC=180∘−α，
∵AB=AD，
∴∠D=180∘−∠BAD2=α2=β，
∴β=12α．
27.
【答案】
135
（2）O到AB的距离为1；56
（3）16
【考点】
勾股定理的应用
角平分线的性质
与角平分线有关的三角形内角和问题
【解析】
（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠OAB+∠OBA=12∠BAC+12∠ABC=45∘，在△ABC中，根据三角形内角和定理可得∠AOB的度数．
（2）作OG⊥AC于G，OH⊥BC于H，OI⊥AB于I．根据角平分线的性质可得OG=OI=OH，设OG=OI=OH=x，根据S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB即可求出x的值为1，即点O到AB边的距离为1，再根据S△ABN=S△AON+S△AOB可求得AN的值，进而可求得△AON的面积．
（3）先利用面积法求得CD=125，再根据勾股定理可求得AD=95，则可得BD=165，作PE⊥AC于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，再根据S△ACD=S△APC+S△APD可求得PD=910．作QF⊥BC于F，同理可求得QD=1615，进而可求得PQ的长．
【解答】
（1）解： ∵OA，OB分别平分∠BAC，∠ABC，
∴∠OAB=12∠BAC，∠OBA=12∠ABC，
∵在△ABC中，∠ACB=90∘，
∴∠BAC+∠ABC=90∘，
∴∠OAB+∠OBA=12∠BAC+12∠ABC=12∠BAC+∠ABC=12×90∘=45∘，
在△AOB中，
∠AOB=180∘−∠OAB+∠OBA=180∘−45∘=135∘．
故答案为：135；
（2）解：作OG⊥AC于G，OH⊥BC于H，OI⊥AB于I，连接OC．
∵OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，
∴OG=OI，OH=OI，
设OG=OI=OH=x，
在Rt△ABC中，
∵AC=3，BC=4，
∴根据勾股定理，得AB=AC2+BC2=32+42=5，
∵S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB，
∴12AC⋅BC=12AC⋅OG+12BC⋅OH+12AB⋅OI，
即12×3×4=12×3⋅x+12×4⋅x+12×5⋅x．
解得x=1，
∴O到AB的距离为1；
∵S△ABN=S△AON+S△AOB
∴12AN⋅BC=12AN⋅OG+12AB⋅OI
∴AN⋅BC=AN⋅OG+AB⋅OI
∴4AN=AN+5
解得AN=53．
∴S△AON=12AN⋅OG=12×53×1=56．
（3）∵CD⊥AB，
∴S△ABC=12AC×BC=12AB×CD，
∴CD=AC×BCAB=3×45=125．
在Rt△ACD中，
根据勾股定理，得AD=AC2−CD2=32−1252=95，
∴BD=AB−AD=5−95=165．
作PE⊥AC于E，
∵AP平分∠CAB，PE⊥AC，PD⊥AB，
∴PE=PD．
∵S△ACD=S△APC+S△APD，
∴12AD⋅CD=12AC⋅PE+12AD⋅PD，
∴AD⋅CD=AC⋅PE+AD⋅PD，
∴95×125=3PD+95PD， 解得PD=910．
作QF⊥BC于F，
∵BQ平分∠ABC，QF⊥BC，QD⊥AB，
∴QF=QD．
∵S△BCD=S△BCQ+S△BDQ，
∴12BD⋅CD=12BC⋅QF+12BD⋅PD，
∴BD⋅CD=BC⋅PQF+BD⋅QD，
∴165×125=4QD+165QD， 解得QD=1615，
∴PQ=QD−PD=1615−910=16．
28.
【答案】
（1）△ABC为等腰三角形，理由见解析
（2）8cm2
（3）见解析
（4）见解析
108∘或126∘或132∘
【考点】
等腰三角形的判定与性质
矩形与折叠问题
作垂线(尺规作图)
等边三角形的性质
【解析】
（1）通过折叠和平行，即可证明△ABC为等腰三角形；
（2）当BC最小时，即AC最小时，△ABC的面积取得最小值，当AC=BC=4cm时，△ABC的面积最小=12×4×4=8cm2；
（3）以点E为圆心，DE为半径画弧，与MN的交点即为点P，△DEP为等边三角形；
（4）以点E为圆心，DE为半径画弧，与MN的交点即为点P，过点P作EP的垂线，交DG于点Q，交EF于点H，△EQH为等边三角形；
（5）分三种情况画出图形，进行计算即可．
【解答】
（1）解：△ABC为等腰三角形，理由如下：
∵纸片沿线段AB折叠，
∴∠BAC=∠BAF，
∵四边形DEFG为长方形，
∴EF // DG，
∴∠BAF=∠ABC，
∴∠BAC=∠ABC，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）解：由1得BC=AC，
∵△ABC的面积=12×BC×4，
∴当BC最小时，即AC最小时，△ABC的面积取得最小值，
∴当AC=BC=4cm时，△ABC的面积最小=12×4×4=8cm2；
（3）解：如图，△DEP即为所求；
（4）解：如图，△EQH即为所求；
（5）解：第一种情况如图所示：
∠BAC=108∘；
第二种情况如图所示：
∠BAC=126∘；
第三种情况如图所示：
∠BAC=132∘；
综上所述，三角形纸片中最大内角的度数为108∘或126∘或132∘．