2025年中考数学真题完全解读（山东烟台卷）

这是一份2025年中考数学真题完全解读（山东烟台卷），共16页。
本套试卷面向初中毕业生，依据课程标准要求，紧扣中考核心考查目标，整体结构保持了选择题、填空题和解答题的常规分布，满分120分，考试时长120分钟。在题型与分值配置上，涵盖基础计算、几何图形、代数综合、函数应用与统计概率等多个板块。纵观全卷，内容设计体现了对学生基础知识和综合能力的双重考查：既关注初中数学主干知识（如一次和二次函数、三角形与四边形性质、统计与概率等）的覆盖面，又强调对数学思维、问题解决以及创新实践能力的考查。
与往届烟台市中考试卷相比，本卷适度调整了难度梯度：选择题部分稳中求新，计算题和几何题着力于概念理解与灵活应用；填空题要求考生具备准确的数形转换思维和较强的推理能力；解答题充分融合了课标倡导的实践探究和应用意识，如综合题中穿插了对函数图象的深化理解，对相似、位似等概念的运用等，都较好地体现了课程标准“从现实情境中提取数学问题”的理念。本卷在重视基础的同时，也增添了对逻辑推断、动手操作及实验探究思路的考查，引导学生在熟练掌握知识之余，能进一步培养适应生活与生产实际的问题解决能力。
整卷共包含10道选择题、6道填空题和8道解答题。选择题主要针对基础运算与简单几何性质考查，难度较为平缓；填空题在巩固运算与公式理解的基础上，融入了统计、方程和特殊图形等情境；解答题采用综合性与层次性相结合的方式：前半部分多为常规问题（代数题、统计与概率、方程应用及函数综合），后半部分则提升到几何证明及综合探究。本卷中多数题目有较为清晰的分层，易、中、难三类题比例分配合理，大多数学生能在前面题目获得基本分数，而中高端学生在四边形性质、函数综合和几何探究题中能充分展示思考深度。
符合课程标准与中考评价体系：整卷紧扣九年级教材的核心知识，又通过y=kx、x2+y2等典型模型体现对函数、方程和几何综合的考查，紧贴《义务教育数学课程标准》中对于运算能力、空间观念与统计意识的基本要求。
兼顾地区学情与校情：烟台市学生在常规几何与函数推理上有一定基础，本卷设置了较高比例的综合与实践类问题，以考查学生对动点、相似等知识的迁移运用，体现出稳中有新的命题思路。
实践与创新融合：题目中结合灯塔航行、太阳能路灯、城市湿地保护等情境，其中的数据信息与计算量恰当，既检测学生灵活应用常见公式和定理的能力，又刻意培养学生解决实际问题的意识。
教学建议：教师应注重基础知识的夯实与重点知识的交叉渗透，尤其要引导学生在掌握概念和定理的同时，形成对数形结合、分类讨论及合理模型建构的能力；要强化对动态几何软件或实践操作的运用，培养学生多思维路径去探究问题；同时注重对阅读理解与表达逻辑的训练，以适应此类综合题对语言概括和思路清晰度的要求。
综上所述，本试卷题型科学、难度适中、重点突出，较好地体现了对初中毕业生数学素养的全面考查，对于引导教学改革和提升学生综合应用能力具有重要意义。
题型数量与分值设置保持稳定：与2024年相同，仍为选择题10题、填空题6题、解答题8题，共24题，满分120分，题量未变但考查重点更趋综合。
情境创设更贴近现实生活：如“世界环境日”“社区新能源改造”等情境，体现了与社会热点的衔接，加大了学生对数学应用能力的考查。
知识融合度进一步提升：部分压轴题将函数、几何、统计等多知识点综合在同一情境中，侧重考查学生整体建模与逻辑推理能力。
层次深度有所拓展：较2024年，部分中档题增加了运算与推理的层层递进，鼓励学生在基础知识之上进行更深入的探究与分析。
对思维与表达能力要求提高：出现更多多角度分析、几何辅助作图及概率树状图等形式，引导学生注重过程表达、多方法求解和逻辑思路清晰性。
本套试卷共有 24 道题目，题型包括选择题、填空题、解答题三大部分，具体分值与数量如下：
第Ⅰ卷：选择题 10 题，每题 3 分，共 30 分
第Ⅱ卷：填空题 6 题，每题 3 分，共 18 分
第Ⅲ卷：解答题 8 题，共 72 分
总分为 120 分，考试时间 120 分钟。
下面通过表格对整套试卷的题号、分值、题型、主要考查内容以及难易程度进行逐一分析。
（说明：解答题每道题具体分值参见原试题，表中为方便视图，呈现总分情况。）
整体难度及题目难度分布
从整体题量与内容分布上看，本套试卷涵盖了代数、几何、统计、函数、方程、图形变换与综合应用等各部分知识，覆盖面广，突出综合性。
试卷的难度分布大致如下：
易：约 30%
中：约 50%
难：约 20%
其中，像第 1、2、3、4、11、13、17 等题目属于基础知识和常规考法，较容易上手；第 5、6、7、8、15、18、19、20、21 则难度适中，需要良好的运算和数学思维；第 9、10、14、16、22、23、24 等考查了综合思维与算法技巧，属于难度偏高或较高题目。
易：例如第 1 题（倒数和绝对值概念）与第 4 题（三视图辨析），考查点单一，直接应用概念、识图即可。
中：例如第 7 题（打折与盈亏问题）和第 18 题（统计与概率综合），需要灵活运用数学模型解决实际问题，题型常规但综合度略高。
难：例如第 24 题（抛物线综合与旋转变换），在二次函数解法基础上，还加入几何变换与最值分析，思维量大，过程综合度高。
整体来看，试卷既涵盖初中阶段常见的基础知识，又注重综合性与应用性，能较好区分不同层次考生。题目设置有利于考查学生的数学核心素养，包括运算能力、几何理解与综合分析水平，命题思路也符合中考“稳中有新、重视应用”的趋势。
在完成了对本套“2025年烟台市初中学业水平考试”数学试题的系统解析后，接下来应当结合自身学习情况，制订科学的复习规划，争取在最后阶段实现查漏补缺、全面提升。下面从知识板块梳理、题型答题技巧、心理调适与考点展望四方面给出备考建议，供同学们参考。
一、知识板块梳理
数与代数部分
继续巩固关于2、3等常见无理数的性质以及整数部分、倒数、科学记数法等基本概念。要特别关注科学记数法、分式、因式分解、整式运算等基础题，保证熟练度，避免运算失误。
一元一次方程、一次函数、不等式要反复练习解题步骤的规范性。对于含参数的一元方程或不等式题目，应加强对“分类讨论”思想的使用。
对于二次函数y=ax2+bx+c，须掌握抛物线与坐标轴的交点、对称轴、顶点等几何意义；并熟悉二次函数与一元二次方程之间的关联。能灵活运用配方法或待定系数法求函数表达式。
图形与几何部分
巩固三视图与立体图形知识。了解正多边形尤其正六边形、正方形的性质，包括其对角线、内角等常规计算；掌握菱形、矩形、平行四边形的判定与性质。
在圆中，需要重点掌握 “圆周角定理”“直径所对的圆周角是直角”“切线判定及性质” 等常考内容。遇到以“切线+三角形”为核心的综合题时，务必先画恰当辅助线，善用相似、全等和圆周角定理。
坐标几何中要熟练使用“两点间距离公式” 以及判断直线方程y=kx+b或ax+by+c=0的技巧。有位似、旋转、反比例函数等情景时，注重用坐标法和代数法相结合。
统计与概率部分
容易出错环节主要在众数、中位数、平均数与方差辨别。做题时要明确题意：什么时候需用中位数决策，什么时候涉及众数或平均数。
概率题中，使用列表法或树状图法求某一事件发生的概率，要保证将所有等可能结果完整列出，做到分类不重不漏，最后使用符合情况数总情况数的方式求解。
二、题型答题技巧
选择题
先扫题干再看选项，遇到简单计算可先用直接代入、排除法；或尝试特值法（如x=0、x=1等）来检验正确性。
对图形题，常常可利用对称、旋转或直接数形结合快速判断。
计算量大的选项宜先判断是否有明显错误，从而排除干扰选项，节省时间。
填空题
提前训练准确率，填空题虽分值相对较低，但也是失分重灾区。要在有限时间内确保每一空的答案正确完备，尤其注意表达形式，如需最简根式或科学记数法，都要核对格式。
若遇几何填空题，可多画辅助线或添入已知结论做推理简化，避免盲目猜测。
解答题
养成“先审题、后作答”的习惯，尤其是函数、几何综合题，题干往往给出多个条件，要分几步逐一完成。
书写过程要条理清晰：先列关键方程、再展开计算，最后写明答案；几何题要给出充足理由，如用“全等三角形”“相似三角形”或“圆周角定理”等做阐述。
对含有“作图”要求的题目，要提供完整的辅助线或圆弧，保留清晰的作图痕迹。评阅时，这些步骤都会体现思维过程。
三、心理调适建议
适度训练，注重反思
进行定量的练习，避免疲劳战术。做完一套题后，必须进行“纠错+反思”，找出自身薄弱知识并制定针对性强化方案。
面对较难题时，先尝试细化问题、分步突破，不要急于求成而导致思维混乱。保持冷静，稳扎稳打。
保持平稳心态
考前阶段压力大是常态，适当体育锻炼或培养其他兴趣能帮助减轻紧张。
正确认识考试中的失误：失分并不代表没有进步，也可是在提醒你强化易错点，尽早杜绝漏洞。
四、考点展望与重点关注
“核心素养”导向
中考命题趋于紧扣实践与应用，例如太阳能路灯、环保和航天背景等情境题。建议在复习中加大对“实际应用”类型题的训练，如利用列方程破解生活情景问题、用二次函数模型解释现实情境等。
对于概率与统计信息题，可能再出现“多种图表信息”结合的综合题，要能快速从图表中读出关键信息并灵活做出运算。
难度适中，突出区分度
考试整体难度一般不会过大，但题目后半部分常会出现压轴题考查学生综合能力，需要将数形结合、函数研究、几何推理多工具交叉使用。
重点突破几何综合与函数压轴题，提前演练“代数+几何”的混合思维方式。
改进审题与表达
最后阶段注重审题精准度。会做与做对并不等同，极易出现看漏条件或遗漏特殊情况的失误。
表达上保持严谨与条理，尤其在求面积或概率之类题目中，必须给出完整计算过程。
以上建议供同学们在冲刺阶段参考。建议大家做完模拟卷后，及时复盘，按知识点加以梳理并结合自己的错误类型重点突破。相信经过系统、有针对性的复习训练，一定能有效提升解题速度与准确率，顺利应对中考挑战！祝大家在考场上稳健发挥，取得理想成绩！
2025年山东省烟台市中考真题数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的）
1．的倒数是（ ）
A．3B．C．-3D．
【答案】B
【分析】本题考查的是倒数的含义，绝对值的含义，先计算绝对值，再求其倒数即可.
【详解】解：∵，
∴3的倒数是，
∴ 的倒数是，
故选：B
2．2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确；
故选：D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、单项式乘除法及幂的乘方，需逐一验证各选项的正确性．根据合并同类项、单项式乘除法及幂的乘方逐一分析判断即可．
【详解】解：选项A：．合并同类项需满足相同次数，但与次数不同，无法合并，结果应为，故A错误．
选项B：．单项式乘法中，系数相乘（），变量部分指数相加（），结果为，故B正确．
选项C：．单项式除法中，系数相除（），变量部分指数相减（），结果为，但选项写为，符号错误，故C错误．
选项D：．幂的乘方需对系数和变量分别乘方：系数为，变量为，结果应为，但选项写为，系数错误，故D错误．
故选：B．
4．如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了三视图，根据左视图的定义进行解答即可．
【详解】解：如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是：
；
故选：C．
5．如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
，
∴；
故选：A．
6．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．的值是5
B．该组数据的平均数是7
C．该组数据的众数是6
D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
【答案】C
【分析】本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，根据方差公式及数据特征，逐一分析选项的正误．
【详解】解：选项A、算式中平方差项数为5，对应数据个数，正确．
选项B、平均数，正确．
选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误．
选项D、加入两个7后，数据更集中，方差由减小为，正确．
综上，错误的说法是C．
故选C
7．某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（ ）
A．350元B．320元C．270元D．220元
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款风扇每台的标价为元，根据按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为元，根据按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元可得风扇的进价为元，据此建立方程求解即可．
【详解】解：设这款风扇每台的标价为元，
由题意得，，
解得，
∴这款风扇每台的标价为350元，
故选：A．
8．如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】D
【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，先证明，，设，可得，，求解，过作于，再进一步求解即可．
【详解】解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，，
∴，，
∴，
设，
∴，
∴，
解得：，
过作于，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：D
9．如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．①③④
【答案】D
【分析】由二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧，，，，可得①符合题意；结合当时，最大，当时，，可得②不符合题意；由，，可得，可得③符合题意；由，记的横坐标分别为，可得，结合，可得，可得④符合题意.
【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧，
∴，，，
∴，故①符合题意；
∵顶点的坐标为，
∴当时，最大，
当时，，
∴，
∴，故②不符合题意；
∵二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，对称轴为直线，
∴，，
∴，，
∴，故③符合题意；
如图，为等边三角形，
∴，，，，
∴，
记的横坐标分别为，
∴，
∴，
当，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故④符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的性质，熟练的利用等边三角形的性质结合二次函数的图象解题是关键.
10．如图，在中，，，是角平分线．点从点出发，沿方向向点运动，连接，点在上，且．设，，若y关于x的函数图象过点，则该图象上最低点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】证明，设，可得，如图，在上取点，使，求解：，证明，可得，，结合y关于x的函数图象过点，求解：，再进一步利用二次函数的性质解题即可.
【详解】解：∵，，是角平分线．
∴，，设，
∴，
如图，在上取点，使，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵y关于x的函数图象过点，
∴，
解得：，
∴，
当时，，
∴该图象上最低点的坐标为；
故选：B
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质，熟练的利用相似三角形的性质解决问题是关键.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”．国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是科学记数法—表示较大的数，把一个大于的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为的数位后作为，把整数位数减作为，从而确定它的科学记数法形式，熟练掌握以上知识是解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，即可得出答案．
【详解】解：；
故答案为：．
12．实数的整数部分为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式，由，，从而可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴实数的整数部分为，
故答案为：
13．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解；
先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．
【详解】解：，
故答案为：．
14．如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接、、，过点O作于点M，根据正六边形的性质得出，，，证明和为等边三角形，求出，证明，得出，得出，根据求出结果即可．
【详解】解：连接、、，过点O作于点M，如图所示：
∵六边形为正六边形，
∴，，，
∴和为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质．
15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴
设
∴
解得：（舍去）
∴
故答案为：．
16．如图，在菱形中，，对角线．点M从点A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为 ．
【答案】
【分析】如图，连接交于．求解，，，，设运动时间为，则，，证明，可得，作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，，证明在上，且在弧上，再利用弧长公式计算即可.
【详解】解：如图，∵在菱形中，，对角线，连接交于．
∴，，，，
∵设运动时间为，则，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，，
∴，，，
∴，
∴在上，且在弧上，
∴在此过程中，点P的运动路径长为；
故答案为：
【点睛】本题考查的是菱形的性质，圆周角定理的应用，圆的确定，三角函数的应用，弧长的计算，证明在上，且在弧上是解本题的关键.
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的加减运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可.
【详解】解：
，
∵，
∴原式.
18．2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕．某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下：
①甲社团的成绩（单位：分）情况如下：
6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10．
②乙社团的平均成绩为（分）．
③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图：
根据以上信息，解决下列问题：
(1)将条形统计图补充完整；
(2)成绩为8分的学生在_______社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）；
(3)已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动．请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)补全图形见解析
(2)成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前
(3)
【分析】（1）先分别求解甲社团满分分有3人；乙社团分有人；补全图形即可；
（2）先分别求解甲社团的成绩的中位数为（分）；乙社团的成绩的中位数为（分），再进一步求解即可；
（3）记男生为甲，两个女生分别为乙，丙，画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和一名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵由统计数据可得：甲社团满分分有3人；乙社团分有人；补全图形如下：
；
（2）解：①甲社团的成绩（单位：分）情况如下：
6，6，6，6，6，6，6，7，7，7，7， 7，7，7， 7，8，8，8，8，8，8， 8，8，8，8，9，9，9，9，9，9， 9， 9，9，9， 9，9，10，10，10．
∴排在第，位的数据为，
∴甲社团的成绩的中位数为（分）；
∵乙社团排在第，位的数据为，，
∴乙社团的成绩的中位数为（分）；
∴成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前；
（3）解：记男生为甲，两个女生分别为乙，丙，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和一名女生的结果有4种，
∴两人恰好是一名男生和一名女生的概率为．
【点睛】本题考查的是从统计数据，平均数公式中获取信息，求解中位数，利用中位数做决策，利用画树状图或列表法求解随机事件的概率，掌握统计的基础知识是解本题的关键．
19．如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题：
(1)利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若交于点，，，求的长．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，即可；
（2）如图，证明，，，，可得，证明，设，则，可得，再解方程即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
由作图可得：，，，
∴，
∴即为所求作的三角形；
（2）解：如图，∵矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：；
∴．
【点睛】本题考查的是作轴对称图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，熟练的作图是解本题的关键．
20．2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．
(1)求甲、乙两种路灯的单价；
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少．
【答案】(1)甲、乙两种路灯的单价分别为元，元
(2)购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少
【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键；
（1）设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，列出不等式，求得，设购买费用为元，得出，进而根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得，
解得：
答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元
（2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得，
解得：
设购买费用为元，根据题意得，
∵
∴当取得最大值时，取得最小值，
∴时，（盏），
即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少，
答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少．
21．【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．
如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离；
(2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）．
【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里
(2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键；
（1）过点作于点，设，根据题意得出，解，得出，建立方程，即可求解；
（2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
设，
依题意，，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里；
（2）解：在中，，，
∴，
∴，
小时分钟，
从14：30，经过分钟是，在之前到达，
∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头．
22．如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)当，时，求的长及的半径．
【答案】(1)见解析
(2)；的半径为
【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）连接并延长交于点，连接，根据已知得出，根据圆周角定理得出，进而等量代换可得即，即可得证；
（2）证明，即可得出，过点作于点，得出，进而求得，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点，连接，
∵，
∴
∴
又∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵是直径
∴
∴即
∴是的切线；
（2）∵
∴
∴
∵
∴，
又∵，
∴
解得：
如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴
∴
又∵
∴
∴的半径为
23．【问题呈现】
如图1，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系．
小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：如图2，构造与全等，从而得出与的数量关系；
思路二：如图3，构造与全等，从而得出与的数量关系．
（1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系______________；
【类比探究】
（2）如图4，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到，参考数据：，，，）；
【拓展延伸】
（3）如图5，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为_________（结果用含有锐角三角函数的式子表示）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，解直角三角形，多边形的内角和问题，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据思路一：构造与全等，从而得出是等腰直角三角形，即可与的数量关系；
（2）在射线上截取，连接，过点作于点，同（1）得，则，，可得，根据，即可求解；
（3）同（2）的方法，即可求解．
【详解】（1）
如图2，在射线上截取，连接，
∵，
∴
又∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
又∵四边形是正方形，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
故答案为：．
（2）解：正五边形的一个内角为
如图4，在射线上截取，连接，过点作于点
同理可得，
∴，
∴
∵，，
∴
∴
∴；
（3）如图，在射线上截取，连接，过点作于点
同理可得
∴
∴
∵
∴
∴即
故答案为：．
24．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D的横坐标为，
①用含有的代数式表示线段的长度；
②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②存在，或或
(3)
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可；
（3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，
∴，
∴
解得：，
∴抛物线表达式为；
（2）解：①对于抛物线表达式，
当，
∴，
设直线表达式为：，
则，
解得：，
∴直线：，
∵，
∴，，
∴，
∴；
②存在，
，而
当时，，
解得：或（舍），
，
∴；
当时，
整理得：，
解得：或（舍），
，
∴；
当时，
整理得：，
解得：或（舍）或（舍），
，
∴，
综上：是等腰三角形时，或或；
（3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，
由旋转得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在线段上运动（不包括端点），
∴当时，最小，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，
∴，
∴，
∴线段长度的最小值．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强．
题号
分值
题型
考查内容
难易分析
1
3
选择题
倒数的含义、绝对值
易，基础概念题
2
3
选择题
中心对称图形的识别
易，图形判定题
3
3
选择题
整式运算（合并同类项、单项式乘除、幂运算）
易，中考常规题
4
3
选择题
三视图（识别左视图）
易，空间想象题
5
3
选择题
平行线的性质、三角形外角定理
中，基础几何题
6
3
选择题
方差的计算与理解（众数判断、平均数与方差变化）
中，统计基础题
7
3
选择题
一元一次方程应用（打折、盈亏问题）
中，应用型题目
8
3
选择题
菱形性质、勾股定理、反比例函数图象特征
中，几何与函数综合
9
3
选择题
二次函数图象与性质、等边三角形判定
较难，综合程度较高
10
3
选择题
角平分线、相似三角形、二次函数（抛物线）应用
较难，综合度较高
11
3
填空题
科学记数法
易，基础运算题
12
3
填空题
实数整数部分、最简二次根式
中，对数值大小判断
13
3
填空题
因式分解（提取公因式、完全平方公式）
易，代数基础题
14
3
填空题
求阴影部分的面积（正六边形性质、勾股定理、扇形面积）
较难，需要综合几何知识
15
3
填空题
位似的概念与应用，坐标几何中的直线方程
中，位似与坐标结合
16
3
填空题
菱形性质、运动路径、圆与三角形结合（弧长计算）
较难，综合几何问题
17
6
解答题
分式化简与求值
易，常规代数题
18
8
解答题
统计与概率综合运用（中位数、平均数、众数及概率）
中，统计与概率应用
19
8
解答题
矩形性质、作轴对称图形、全等三角形、勾股定理
中，综合几何题
20
8
解答题
一次方程组与不等式、一次函数的应用（购买方案最优）
中，应用型代数题
21
8
解答题
解直角三角形（航行问题）
中，应用型几何题
22
8
解答题
圆与多边形综合：圆周角定理、切线性质、相似三角形
较难，几何综合题
23
8
解答题
正多边形性质、全等三角形、解直角三角形、多边形内角和
较难，几何综合题
24
10
解答题
二次函数压轴：待定系数、二次函数几何性质、等腰三角形判断、旋转变换
难，综合度最高
位置信息
码头A在灯塔B北偏西方向
14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处
15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处
天气预警
受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范．