2025年中考数学真题完全解读（山东卷）

这是一份2025年中考数学真题完全解读（山东卷），共16页。试卷主要包含了试题特色，与课程标准对接，对教学的启示，题型新变化等内容，欢迎下载使用。
本套试卷属于初中学业水平考试（中考）范畴，考查的知识点全面覆盖了《课程标准》所要求的数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践等各大领域，体现了对学生基础知识与综合能力的兼顾。从题型上看，试卷含选择题、填空题与解答题三大部分，其中选择题10题，共计30分；填空题5题，共计15分；解答题8题，共计75分。全卷满分120分，考试时长120分钟。与以往本地中考真题相比，本卷在题量上未发生明显变化，但在情境创设及综合性考查方面更加突出，通过贴近生活及科技前沿的题目，引导学生在真实情境中运用数学思维解决问题，充分彰显“以学定考、以考促学”的理念。
一、试题特色
1.题型多元、难易分布合理
试卷题型仍延续了中考的一贯模式：选择、填空、解答题难度循序渐进、梯度分明。其中基础题主要集中在选择题与前几道填空题，难度适中，考查学生对基本概念、公式、定理以及常规运算的掌握情况；中档题涵盖几何、代数与函数交汇处的知识点，如平行四边形、一次函数和反比例函数的综合应用；压轴题则侧重空间想象与函数思想的深度考查，考生不仅需要掌握必备知识，还需具备一定的创新思维能力。
2.体现生活化与情境化
试卷涉及“深海养殖网箱”、“山东省博物馆文创产品”、“能源转型蓄水池发电”等真实背景，引导学生将数学知识与实际生产、生活经验相结合，提高对数学应用价值的认识。如概率、统计题与日常生活息息相关，强调了数据分析与推理能力；几何题也注重与生产实践或历史文物保护等主题的融合，生动而有时代气息。
跨学科融合
试卷涉及中国古代文化（玉璧的平面示意图）、植物生长的生物学知识，展示了数学在自然科学领域中的广泛应用，培养学生综合运用多学科知识解决问题的能力，体现了跨学科融合的教育理念，有助于拓宽学生的知识视野，提高学生的综合素养。
强调过程性评价与综合能力
试卷不仅重视基础运算的正确与速度，也关注学生对数学思想方法（方程思想、数形结合思想、分类与整合思想等）的掌握。特别是在后几道综合题中，融合了函数、不等式、几何作图以及统计等知识，全面体现学生从数形结合、正反思考到归纳论证的完整过程。这种考查模式能有效地检验学生的分析能力、推理能力与表达能力。
二、与课程标准对接
试卷命题紧扣《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心理念：
1.在数与代数领域，重点衡量学生对有理数、实数运算以及一次函数、二次函数等核心知识的理解与运用。题目中大量出现xy、y=kx+b 或 y=ax2+bx+c类型函数的应用，充分体现了对函数概念、图象与性质的考查。
2.在图形与几何领域，既考查基础的三视图与二维几何作图，也深入到三角形、平行四边形，以及圆的切线等综合探究，体现了几何思维与数形结合的要求。
3.在统计与概率领域，试卷就博物馆文创产品抽样概率、两个养殖基地pH值数据分析等展开问题，既涵盖了列表法、树状图等基础方法，也提升到平均数、方差、中位数等统计量分析，反映出学生对收集、整理与分析数据的综合运用能力。
4.在综合与实践方面，通过“能源绿色低碳转型”与其他实际课题，让考生进行建模和探索，体现了数学在解决社会热点与实际问题方面的功能，也与课程标准呼吁的“数学应用与创新”不谋而合。
三、对教学的启示
1.加强“双基”巩固
试卷依然强调运算与几何论证的精准性。教师在日常教学中要夯实学生对基础公式、定理与基本作图的掌握，引导学生注重过程分析与步骤合理性。
2.注重情境化教学与跨学科融合
通过本卷对真实情境的广泛使用，教师应鼓励学生在平时学习中关注社会与科技热点，多设计项目式或探究式学习活动，让数学学习与现实联系更加紧密。
3.引导学生形成综合思维
面对综合题与探究题，教师应有意识地培养学生的数形结合、方程思想与逆向思考，强化对函数整体性的认识。适当增加分组讨论与应用实践，使学生形成良好的解题反思与表达习惯。
4.强化统计与概率教学
试卷对统计与概率的考查形式更加多样，尤其是基于实际数据分析和结论判断。这要求学生具备更系统的统计思维，教师需重点培养学生研究问题、分析数据与做出科学推断的能力。
总体而言，本套“2025年初中学业水平考试”数学试题继承了山东地区中考的传统特色，同时紧扣课程标准，努力提升试题的综合性与应用价值。它既能考查学生的基础知识与基本技能，又可对学生的创新潜能与实践能力加以激发，具有较高的信度与效度，对未来教学指向和学生学科素养的提升具有重要价值。对于一线教师而言，应当充分利用本卷特色，大力推进基于情境的多元评价与真实任务设计，从而更好地培育学生的核心素养与综合能力。
四、题型新变化
1.题型数量与结构保持不变
2025年依旧包含10道选择题、5道填空题和8道解答题，总体分值分配与2024年相仿，延续“选择→填空→综合解答”三大板块的结构形式。
2.情境设置更贴近生活与时代
试题频繁嵌入如“深蓝2号”养殖网箱、“天问二号”小行星取样、“博物馆文创”等素材，在常规考点（如​、二次函数、概率统计、几何图形等）中加强应用背景。这种基于真实情境的命题凸显数学与现实的交融，推动学生关注社会与科学前沿。
3.知识融合与思维深度显著增强
部分题目将代数、几何、数据分析、多视图综合运用，如正多边形外接内切关系与点的坐标变换、函数与几何的变换结合，侧重考查数形结合的综合解题能力。同时，探究型与推理型题目增多，对学生的迁移运用与逻辑证明提出更高要求。
4.对学生综合素养提出新要求
一方面侧重运算与推理的基础能力；另一方面强化了信息辨析、模型建构、数据处理等高阶思维能力的培养。考试对答题过程的完整性与表达的条理性提出更严格要求，鼓励学生以严谨、清晰的数学语言呈现解题思路。
本套试题共有 23 道小题，试卷结构为：
• 第 1～10 题为选择题（每题 3 分，共 30 分）；
• 第 11～15 题为填空题（每题 3 分，共 15 分）；
• 第 16～23 题为解答题（共 75 分）。
下表对各题号的分值、题型、考查内容以及难易程度作了汇总分析：
从整体来看，试卷中：
易度题（约占全卷 44%），例如第 1、2、4 题等，主要考查基础运算和简单概念识记，要求学生能够熟练运用基本知识点，难度较低。
中度题（约占全卷 48%），例如第 7、9、17、19 等，常常需要将基础概念综合运用到几何、函数和数据分析之中，体现了一定的思维深度。
难度题（约占全卷 8%），主要集中在第 22、23 题，多以综合性、探究性问题的形式出现，要求学生具有较高的综合分析能力与较强的逻辑推理能力。
这样的难度分布能够较好地考查学生对于基础知识的掌握和综合运用能力，符合初中学业水平考试的命题趋势与要求。
本套试题内容覆盖全面，题型设置多样，既考查了基础计算与概念理解，也注重几何推理、数形结合以及函数思想的综合运用。为帮助同学们在后续备考中更好地查漏补缺、提高应试能力，特提出以下建议：
一. 复习规划与知识侧重点
1.代数模块：
强化对实数、代数式运算的熟练度，尤其是幂的运算、分式有意义的条件等基础概念；
关注一次函数与二次函数的图象特征、对称轴、顶点坐标等；当涉及判别式大于 0、等于 0、小于 0 时，要熟记
Δ=b2−4ac
的相关结论及推论；
注意反比例函数与一次函数应用题中对自变量取值范围的分析，结合不等式解法提高正确率。
2.几何模块：
重点掌握圆与直线的切线判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理与解直角三角形等核心内容；
熟练运用平行四边形、矩形、正方形等常见图形的类似性质来简化题目；
面对坐标几何问题时，要将几何特征（如正方形面积、直角坐标系中的距离公式）和代数思想结合起来，灵活运用数形结合思想。
3.统计与概率：
掌握频数分布表和直方图的绘制方法、平均数和方差的区别与意义；
在概率问题中，先用列表法或树状图列举所有等可能结果，再求满足条件的结果数。
二. 多种题型的应试技巧
1.选择题：
第一遍阅读题干时，对数字、关键字做出标记，尤其要注意选项间的异同点；
若能直接得出结论则迅速作答；如遇到陌生或较难试题，可借助特殊值代入、排除法、数量级估算等技巧，排除不符合实际的选项。
避免在简单计算上出错，必要时可采用极端情况或边界条件检验正确性。
2.填空题：
填空题常考基础运算、关键公式和结论，只要牢固掌握基础知识，利用所给条件合理推导即可；
计算量不大，但要求过程准确，尤其要避免因为分母为零、符号看错等导致结果失效。
3.解答题：
注意书写步骤的完整性：先写已知条件，再进行推导，最后得出结论；
应用题中要先审清数量关系，再列方程或函数表达式处理；
几何证明题要分点进行，保证逻辑连贯，出现新的辅助线段时，一定说明作法及用意；
题目若涉及x、y、k等字母或数学符号，务必在解题过程以及最后结论处标注清晰，避免混淆或漏写。
三. 常见易错与易混提醒
1.分式“有意义”条件中易漏解或误解：
分式中分母不得为 0，若分母是x+2或x(x−1)等形式，要格外留意不可取值。
2.三角形外角性质与角平分线关系：
计算外角时，常常用到外角等于远端内角和，应注意区分哪个是外角；
若题目提到角平分线，应及时标明被平分的角度并注意与其他已知角的关系。
3.函数递增、递减的范围判定：
在二次函数开口向上时，对称轴左侧递减，右侧递增；开口向下则相反。要根据a
的正负性确定开口方向后再判断递增区间。
4.立体图形的三视图：
必须分清主视图、左视图、俯视图的观察角度；正多棱柱、圆柱的主视图常呈矩形或正多边形形状，切忌望文生义。
四. 后期复习与阶段性针对训练
1.专题过关：
根据试卷中反映出的容易失分板块（如二次函数、概率与统计、几何综合题等）设立针对性专题，进行集中强化练习。
2.分层训练：
对基础较薄弱的同学，先保证常见公式、定理的熟练运用；对基础扎实的同学，可增加适度拔高和综合题目。
3.限时训练：
模拟真正考试环境，定时完成整套限时卷，重点提升在规定时间内分析题目、合理分配时间的能力。
五. 心理调适与应考心态
1.合理安排：
复习进度要稳中有序，不必盲目追求难题，保证基础落实、稳步提升；
2.自信从容：
考前常见紧张、焦虑，可通过适度运动、音乐放松等方式调节情绪，树立积极的自我暗示；
3.考试临场策略：
先易后难，检查时从大环节到小细节逐一排查，保证知识点不遗漏、填写位置不出错。
六. 命题趋势展望
1.与实际生活结合更紧密：
材料背景可能涵盖新能源、科技创新、“双碳”目标等热点话题，从中考查抽象建模与真实情景下的数学思维。
2.思维综合与推理能力：
题目或将进一步增加开放性综合试题，如函数与几何结合、概率与统计综合分析等，要求融会贯通、多角度思考。
3.多样形式：
多视图图形、图表、坐标平面应用依然是常考题型，重视对图象信息的判读和几何变换规律的使用。
祝同学们在接下来的备考中稳扎稳打、查漏补缺，通过阶段性训练和心理调整，收获扎实的数学能力和良好的应试状态，在中考中取得理想成绩。加油！
2025年山东省中考真题数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．如图，数轴上表示的点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴，弄清数轴上表示数的位置是解题的关键．
观察数轴得到表示的点即可．
【详解】解：如图，在数轴上的点M、N、P、Q中，表示的点是M．
故选：A．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
3．我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形成为解题的关键．
根据主视图是从正面看到的图形即可解答．
【详解】解：根据三视图的概念，可知该正六棱柱的主视图为
．
故选：C．
4．好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省2024年全年接待游客超9亿人次．数据“9亿”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将“9亿”写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：“9亿”．
故选C．
5．已知，则下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法法则逐项判断即可解答．
【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意；
B．，故该选项正确，符合题意；
C．与不是同类项，无法合并为，故该选项错误，不符合题意；
D．，故该选项错误，不符合题意．
故选：B．
6．某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了运用列表法求概率，根据题意正确列表确定所有等可能结果数和符合题意的结果数是解题的关键．
先用列表法确定所有等可能结果数和符合题意的结果数，然后用概率公式计算即可．
【详解】解：设三款镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”分别用A、B、C表示：
根据题意列表如下：
则共有9种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的结果数为1，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是．
故选A．
7．明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键．
设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答．
【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个，
然后根据题意可得：．
故选D．
8．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外切圆、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
如图：连接相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，，，再运用勾股定理可得，则，最后根据圆的面积公式求解即可．
【详解】解：如图：连接相交于O，
∵正方形的内切圆的半径是2，
∴，，
∴，，
∴图中阴影部分的面积是．
故选D．
9．如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形是面积为4的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形、反比例函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
由题意可设点B的坐标为，易得，即点B的坐标为，再结合反比例函数图象即可解答．
【详解】解：∵四边形是面积为4的正方形，设点B的坐标为，
∴，解得：（已舍弃负值）．
∴点B的坐标为，
∵函数的图象经过点，
∴满足的的取值范围为．
故选A．
10．在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ）

A．当时，随的增大而减小B．当时，有最大值
C．当时，D．当时，
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项．
【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意；
B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意；
C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意；
D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意．
故选B．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．写出使分式有意义的的一个值 ．
【答案】1（不唯一）
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键．
先根据分式有意义的确定x的取值范围，然后确定x的可能取的值即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，解得：．
∴的取值可以为．
故答案为：1（不唯一）．
12．在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了点的平移，掌握平移规律“左减右加，上加下减”是解题的关键．
直接运用平移规律“上加下减”即可解答．
【详解】解：将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是，即，
故答案为：．
13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
14．取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴点的横坐标为1，
∴点的坐标为，
∴点的纵坐标为1，
∴点的坐标为，
同理点的横坐标为，
∴点的坐标为，
点的坐标为，
∴四个点一个循环，
∵余1，
∴点的坐标与点相同，是，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
15．如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识点，掌握平行四边形对角线相互平分是解题的关键．
由勾股定理可得，设与交于点O，过O作于点，由四边形作是平行四边形得、，根据垂线段最短可得当时，即P与重合时，最小；再运用三角函数求得，进而求得即可解答．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
如图，设与交于点O，过O作于点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴、
∴当线段长最小，则线段的长最小，
由垂线段最短可得：时，即P与重合时，最小；
∵，
∴，解得：．
∴线段长最小为．
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）2；（2），4
【分析】本题考查了实数的混合运算，分式化简求值．
（1）根据零指数，算术平方根的性质，进行计算即可求解；
（2）先根据分式的加减计算括号内的，然后进行乘法进行化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
当时，原式．
17．在中，，，的平分线交于点．如图1．
(1)求的度数；
(2)已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了三角形的外角性质，垂直平分线的作法和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）由角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求解即可；
（2）由作图知是线段的垂直平分线，求得，求得，，再证明，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴；
（2）解：由作图知是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
18．山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米．
(1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式；
(2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？
【答案】(1)
(2)注水5小时可供发电万千瓦时．
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，正确列出函数解析式和方程是解题的关键．
（1）根据蓄水池的水位高度等于注水时水位每小时升高的高度乘以注水时间与本次注水前蓄水池的水位高度的和，据此列出函数关系式即可；
（2）根据y与x的函数关系式以及已知条件列关于x的一元一次方程并求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式．
（2）解：根据题意，得，
解得．
答：注水5小时可供发电万千瓦时．
19．在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的值进行了整理、描述及分析．
【收集数据】
甲基地水体的值数据：
7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26．
乙基地水体的值数据：
7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21．
【整理数据】
【描述数据】
【分析数据】
根据以上信息解决下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)填空：______，______；
(3)请判断甲、乙哪个基地水体的值更稳定，并说明理由；
(4)已知两基地对水体值的日变化量（值最大值与最小值的差）要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的值是否符合要求．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)甲基地水体的值更稳定，理由见详解；
(4)甲符合要求，乙不符合要求．
【分析】本题考查了直方图与统计表，中位数及众数，方差等知识点．
（1）先求得a的值，即可补全频数分布直方图；
（2）根据中位数及众数的定义求解即可；
（3）根据方差的意义求解即可；
（4）计算值最大值与最小值的差即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，
补全频数分布直方图如图；
；
（2）解：甲基地水体的值数据中，7.67出现了4次，出现次数最多，
则；
乙基地水体的值数据中，由小到大排列中间两个数为7.77和7.81：
则；
故答案为：；；
（3）解：∵甲的方差为0.10，乙的方差为0.13，，
∴甲基地水体的值更稳定；
（4）解：甲基地对水体值的日变化量：，
乙基地对水体值的日变化量：，
∴该日两基地的值甲符合要求，乙不符合要求．
20．如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线．
(1)求证：为的切线；
(2)若的半径为2，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等．
（1）利用等边对等角求得，由角平分线的定义求得，可证明，即可证明为的切线；
（2）先证明等腰三角形，求得，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
即且为半径，
∴为的切线；
（2）解：∵，又，
∴等腰直角三角形，
∵的半径为2，
∴，
∴，
∴．
21．【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1．
【问题提出】
部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求．
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）．
操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度．
【问题解决】
已知，的长度要求是．
（1）求的度数；
（2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：）
【结果反思】
（3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．
【答案】（1）；（2）该部件的长度符合要求；（3）见解析
【分析】本题考查了切线长定理，解直角三角形的应用．
（1）根据切线长定理求解即可；
（2）解直角三角形求得，推出，据此求解即可；
（3）能，将圆柱换成正方体．
【详解】解：（1）∵分别与，相切于点，，
∴，；
（2）∵钢柱的底面圆半径为，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理，
∴，
∵，
∴该部件的长度符合要求；
（3）能，将圆柱换成正方体．如图，
设正方体的棱长为，用游标卡尺测量出的长度．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．已知二次函数，其中，为两个不相等的实数．
(1)当、时，求此函数图象的对称轴；
(2)当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围；
(3)若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、因式分解的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键．
（1）将、代入化简，然后根据二次函数的性质即可解答；
（2）代入化简可得，然后根据二次函数的性质即可解答；
（3）先求出，然后代入进行求解即可．
【详解】（1）解：当、时，二次函数可化为：，
∴此函数图象的对称轴为．
（2）解：当时，二次函数可化为：，
∴抛物线对称轴为，
∵，
∴抛物线开口方向向上，
∵在时，y随的增大而减小；
∴，
∵在时，随的增大而增大；
∴，
∴．
（3）解：∵若点，，均在该函数的图象上，
∴，
，
∴
；
；
∵，
∴，整理得：
∵，为两个不相等的实数，
∴，
∴，解得：．
23．【图形感知】
如图1，在四边形中，已知，，．
（1）求的长；
【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．
在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点．
（2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由；
②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长；
（3）如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）①四边形是矩形，理由见解析；②；（3）线段的最小值为．
【分析】（1）利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）①由折叠的性质得，，再证明，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解；
②延长和相交于点，连接，证明四边形是正方形，再证明，据此求解即可；
（3）先利用折叠的性质求得，推出点在以为直径的上，连接，，得到，据此求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）①四边形是矩形，理由如下，
由折叠的性质得，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
②延长和相交于点，连接，
由折叠的性质得，，，
∵点恰好落在边上，
∴，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∵，
∴点在对角线上，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）由折叠的性质得，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴点在以为直径的上，连接，，
∴，即点在上时，线段存在最小值，
∵，
∴线段的最小值为．
【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识点，难度较大，第三问判断点在以为直径的上是解题的关键．
题号
分值
题型
考查内容
难易分析
1
3
选择题
数轴上负数的位置
易
2
3
选择题
轴对称图形与中心对称图形
易
3
3
选择题
几何体三视图（正六棱柱的主视图）
易
4
3
选择题
科学记数法
易
5
3
选择题
代数式的合并与幂的运算
易
6
3
选择题
基本概率（列表法求事件概率）
易
7
3
选择题
二元一次方程组的应用（头手问题）
中
8
3
选择题
求阴影部分的面积（正方形内切圆、外接圆）
中
9
3
选择题
坐标与正方形面积、反比例函数不等式应用
中
10
3
选择题
一次函数、二次函数图象与性质（生长速度与光照强度）
中
11
3
填空题
分式有意义的条件
易
12
3
填空题
平面直角坐标系中点的向下平移
易
13
3
填空题
一元二次方程判别式
中
14
3
填空题
坐标几何中的规律探索与坐标计算
中
15
3
填空题
平行四边形的性质及最短线段问题
中
16
6
解答题
实数混合运算、分式化简求值
易
17
8
解答题
几何：三角形的外角、角平分线、作图（垂直平分线）与全等三角形等
中
18
8
解答题
一次函数模型（蓄水池蓄水发电）
易
19
8
解答题
数据收集、整理、描述和分析（pH 值的统计）
中
20
10
解答题
圆与切线、三角形平分线及相关性质
中
21
10
解答题
圆的切线长、解直角三角形及空间几何思路应用
中
22
10
解答题
二次函数的性质、图象及综合运用
难
23
15
解答题
几何折叠、等腰三角形的判定、勾股定理、垂直平分线、相似与圆周角应用综合
难
A
B
C
A
A，A
A，B
A，C
B
B，A
B，B
B，C
C
C，A
C，B
C，C
甲
2
5
7
7
3
乙
4
2
9
a
2
平均数
众数
中位数
方差
甲
7.79
b
7.81
0.10
乙
7.78
7.77
c
0.13