（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步题型讲与练专题1.6 空间角的向量求法大题专项训练（2份，原卷版+解析版）

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专题1.6 空间角的向量求法大题专项训练1．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60∘.  (1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值.2．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP=AB=AD=1，且直线PB与CD所成角的大小为π3．  (1)求BC的长；(2)求二面角D−PB−C的余弦值．3．如图1，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AC=12，∠BAC=π3，E，F都在AC上，且AE:EF:FC=3:4:5，BE//FG，将△AEB，△CFG分别沿EB，FG折起，使得点A，C在点P处重合，得到四棱锥P−EFGB，如图2.  (1)求异面直线PF，BG所成角的余弦值；(2)若M为PB的中点，求钝二面角B−FM−E的余弦值.4．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB//CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，∠ACB=90°.  (1)求证：BC⊥平面PAC；(2)试确定PA的值为多少时？二面角A−PC−D的余弦值为55.5．在直角梯形ABCD中，CD⊥AD，AB=BC=2CD=2，AD=3，现将△ACD沿着对角线AC折起，使点D到达点P位置，此时二面角P−AC−D为π3．  (1)求异面直线PA，BC所成角的余弦值；(2)求点A到平面PBC的距离．6．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=π2，AO=4，BO=2，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B−AO−C是直二面角．动点D在线段AB上．  (1)当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值；(2)求CD与平面AOB所成角的正弦值的最大值．7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，在底面ABCD中，BC//AD,CD⊥AD, AD=CD=1,BC=2．(1)求证：AC⊥平面PAB；(2)若平面PAB与平面PCD的夹角等于π3，求异面直线PB与CD所成角的余弦值．8．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，直线AC⊥平面BDEF，点O为AC与BD的交点，AB＝2，且∠DAB＝∠DBF＝60°.  (1)求异面直线DE与CF所成角的余弦值；(2)求二面角A−FB−C的余弦值.9．如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长都相等，平面CDD1C1⊥平面ABCD，AD⊥DC，二面角D1−AD−C的大小为120°，E为棱C1D1的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)点F在棱CC1上，AE//平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值．10．如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PD的中点，PA＝2，AB＝1，AD＝2．  (1)求证：PB∥平面ACE；(2)求直线CP与平面ACE所成角的正弦值；11．如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90∘.点D、E、N分别为棱PA、PC、BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.  (1)求证：MN//平面BDE；(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BH所成角的余弦值为721，求线段AH的长．12．如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB//CD，DA=DC=2，AB=C1D1=1，∠ADC=120∘，∠D1DA=∠B1BA=90∘．  (1)证明：平面D1C1CD⊥平面ABCD；(2)若四棱台ABCD−A1B1C1D1的体积为734，求直线AA1与平面AB1C1所成角的正弦值．13．如图，圆柱O1O2的底面半径与高均为2，AB为⊙O2的直径，C,D分别为⊙O1，⊙O2上的点，直线CD与线段O1O2交于O点.  (1)证明：O为线段O1O2的中点；(2)若AC与下底面所成的角为π6，求直线BC与平面ACD所成角的正弦值.14．已知正方体ABCD−A1B1C1D1，点E为A1D1中点，直线B1C1交平面CDE于点F.  (1)证明：点F为B1C1的中点；(2)若点M为棱A1B1上一点，且直线MF与平面CDE所成角的正弦值为6525，求A1MA1B1的值.15．如图，在几何体ABCDEF中，菱形ABCD所在的平面与矩形BDEF所在的平面互相垂直.  (1)若M为线段BF上的一个动点，证明：CM//平面ADE；(2)若∠BAD=60∘，AB=2，直线CF与平面BCE所成角的正弦值为1510，求BF的长.16．如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=22,PA=PC=AC=4，平面ABC⊥平面PAC.  (1)求异面直线AC与PB间的距离；(2)若点M在棱BC上，且二面角M−PA−C为30∘，求PC与平面PAM所成角的正弦值.17．如图，在正三棱柱A1B1C1−ABC中，D为AB的中点，C1E=λC1C0