人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示随堂练习题

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\l "_Tc4225" 【题型1 求空间点的坐标】 PAGEREF _Tc4225 \h 1
\l "_Tc18829" 【题型2 空间向量运算的坐标表示】 PAGEREF _Tc18829 \h 3
\l "_Tc26397" 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 PAGEREF _Tc26397 \h 4
\l "_Tc1736" 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 PAGEREF _Tc1736 \h 6
\l "_Tc1894" 【题型5 空间向量模长的坐标表示】 PAGEREF _Tc1894 \h 8
\l "_Tc19610" 【题型6 空间向量平行的坐标表示】 PAGEREF _Tc19610 \h 11
\l "_Tc13829" 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 PAGEREF _Tc13829 \h 13
\l "_Tc25633" 【题型8 空间向量夹角余弦的坐标表示】 PAGEREF _Tc25633 \h 15
【知识点1 空间直角坐标系】
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系及相关概念
①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.
②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标
在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq \(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 eq \(OA,\s\up6(→)) 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
【题型1 求空间点的坐标】
【例1】空间直角坐标系中，已知A−1,1,3，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为（ ）
A．1,1,−3B．−1,−1,−3C．1,1,3D．−1,−1,3
【解题思路】根据空间直角坐标系中点关于yOz平面的对称点的特征可得答案.
【解答过程】根据空间直角坐标系的对称性可得A−1,1,3关于yOz平面的对称点的坐标为1,1,3，
故选：C.
【变式1-1】已知点A(3,−1,0)，若向量AB=−1,6,−3，则点B的坐标是（ ）
A．(1,−6,3)B．(5,4,−3)C．(−1,6,−3)D．(2,5,−3)
【解题思路】设Bx,y,z，表达出AB=x−3,y+1,z，从而列出方程组，求出点B的坐标为2,5,−3.
【解答过程】设Bx,y,z，则AB=x−3,y+1,z，
因为AB=−1,6,−3，所以x−3=−1,y+1=6,z=−3，解得：x=2,y=5,z=−3，
故点B的坐标为2,5,−3.故选：D.
【变式1-2】若点A1,2,3，点B4,−1,0，且AC=2CB，则点C的坐标为（ ）
A．3,0,1B．2,1,2
C．32,−32,−32D．52,12,32
【解题思路】设Cx,y,z，根据AC=2CB列方程组即可求解.
【解答过程】设Cx,y,z，则AC=x−1,y−2,z−3，CB=4−x,−1−y,−z，
因为AC=2CB，所以x−1=24−xy−2=2−1−yz−3=2−z，解得x=3y=0z=1.故点C的坐标为3,0,1.故选:A.
【变式1-3】在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z)下列叙述中正确的是（ ）
①点P关于x轴的对称点是P1(x,−y,z)
②点P关于yOz平面的对称点是P2(−x,y,z)
③点P关于y轴的对称点是P3(x,−y,z)
④点P关于原点的对称点是P4(−x,−y,−z)
A．①②B．①③C．②④D．②③
【解题思路】根据空间坐标的对称性进行判断即可．
【解答过程】点P关于x轴的对称点的坐标是(x，−y，−z)，故①错误；
点P关于yOz平面的对称点的坐标是(−x，y，z)，则②正确；
点P关于y轴的对称点的坐标是(−x，y，−z)，则③错误；
点P关于原点的对称点的坐标是(−x，−y，−z)，故④正确，故正确的命题的序号是②④，故选：C.
【知识点2 空间向量的坐标运算】
1．空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
【题型2 空间向量运算的坐标表示】
【例2】已知向量a=3,−4,2，b=2,−3,1，则a−2b=（ ）
A．7,−10,4B．5,−7,3C．1,−1,1D．−1,2,0
【解题思路】根据向量线性运算的坐标表示得出答案.
【解答过程】a−2b=3−2×2,−4−2×−3,2−2×1=−1,2,0，故选：D.
【变式2-1】已知向量AB=2,3,1,AC=4,5,3，那么BC=（ ）
A．−2,−2,−2B．（8，15，3）C．（6，8，4）D．（2，2，2）
【解题思路】利用向量减法的法则及坐标运算即可求解.
【解答过程】因为AB=2,3,1,AC=4,5,3，所以BC=AC−AB=4−2,5−3,3−1=2,2,2.
故选：D.
【变式2-2】已知向量a=2,3,−4,b=−4,−3,−2,b=12c−2a,则c=（ ）
A．0,3,−6B．0,6,−20C．0,6,−6D．6,6,−6
【解题思路】推导出c=4a+2b,利用向量坐标运算法则直接求解.
【解答过程】∵向量a=2,3,−4,b=−4,−3,−2,b=12c−2a,∴c=4a+2b=8,12,−16+−8,−6,−4=0,6,−20.故选:B.
【变式2-3】在空间四边形ABCD中，若向量AB=（﹣3，5，2），CD=（﹣7，-1，﹣4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF的坐标为（ ）
A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3）
C．（5，﹣2，1）D．（﹣5，2，﹣1）
【解题思路】根据空间向量的加法减法运算及三角形中线的性质求解.
【解答过程】如图，取AC中点M，连接ME,MF, 如图，
则ME=12AB=(−32,52,1), MF=12CD=(−72,−12,−2),而EF=MF−ME=(−2,−3,−3),故选：B.
【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】
【例3】若A(2,−4,−1)，B(−1,5,1)，C(3,−4,1)，则CA⋅CB=（ ）
A．-11B．3C．4D．15
【解题思路】先求出CA，CB的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可
【解答过程】由已知，CA=(2−3,−4−(−4),−1−1)=(−1,0,−2)，
CB=(−1−3,5−(−4),1−1)=(−4,9,0)，∴CA⋅CB=4+0+0=4.故选：C．
【变式3-1】若a=2,3,2,b=1,2,2,c=−1,2,2，则a−b⋅c的值为（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【解题思路】直接利用数量积的坐标运算即可求得.
【解答过程】因为a=2,3,2,b=1,2,2,c=−1,2,2，所以a−b⋅c=1,1,0⋅−1,2,2=−1+2+0=1.故选：C.
【变式3-2】已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则AO1⋅AC1的值为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出AO1⋅AC1.
【解答过程】建立如图所示空间直角坐标系，A1,0,0,O112,12,1,C10,1,1，
AO1=−12,12,1,AC1=−1,1,1，AO1⋅AC1=−12,12,1⋅−1,1,1=12+12+1=2
故选：D.
【变式3-3】已知正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，P是正六棱柱内（不含表面）的一点，则AP⋅AB的取值范围是（ ）
A．(−12,32)B．(−32,12)
C．(−12,1)D．(0,32)
【解题思路】建立空间直角坐标系，设P(x,y,z)，由正六边形的性质可知−12