人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示练习题

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1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系及相关概念
①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.
②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标
在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq \(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 eq \(OA,\s\up6(→)) 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
3．空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
4．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
5．空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))；
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)) \r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3))).
6．空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
则P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).
【题型1 求空间点的坐标】
【方法点拨】
(1)求某点M的坐标的方法：
作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在
z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．
(2)空间点对称问题的解题策略：
①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
【例1】平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC→=(1，2，3)，C1(−1，2，4)，则点A1的坐标为（ ）
A．（0，4，7）B．（﹣2，0，1）C．（2，0，﹣1）D．（2，0，1）
【变式1-1】设点M（1，1，1），A（2，1，﹣1），O（0，0，0）．若OM→=AB→，则点B的坐标为（ ）
A．（1，0，﹣2）B．（3，2，0）C．（1，0，2）D．（3，﹣2，0）
【变式1-2】空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于平面yOz对称的点P1的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2，﹣3）B．（1，2，﹣3）C．（1，﹣2，﹣3）D．（1，2，3）
【变式1-3】如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2菱形，∠CBB1＝60°，BC1交B1C于点O，AO⊥侧面BB1C1C，且△AB1C为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则点A1的坐标为（ ）
A．(−1，3，1)B．(−3，1，1)C．(−1，2，3)D．(−2，1，3)
【题型2 空间向量运算的坐标表示】
【方法点拨】
空间向量坐标运算的规律及注意点:
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．
【例2】已知a→=（1，2，3），b→=（0，﹣1，4），则2a→+3b→等于（ ）
A．（﹣4，6，14）B．（﹣4，0，6）C．（﹣4，3，6）D．（2，1，18）
【变式2-1】在空间直角坐标系中，向量a→=(2，−3，5)，b→=(−2，4，5)，则向量a→+b→=（ ）
A．（0，1，10）B．（﹣4，7，0）
C．（4，﹣7，0）D．（﹣4，﹣12，25）
【变式2-2】已知向量a→=（2，3，﹣4），b→=（﹣4，﹣3，﹣2），b→=12c→−2a→，则c→=（ ）
A．（0，3，﹣6）B．（0，6，﹣20）C．（0，6，﹣6）D．（6，6，﹣6）
【变式2-3】已知a→=（2，﹣3，1），b=（2，0，3），c→=（0，1，﹣2），则a→+4b→−3c→等于（ ）
A．（4，﹣4，6）B．（﹣6，﹣6，﹣5） C．（10，0，7）D．（10，﹣6，19）
【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】
【例3】已知a→=(−1，−3，2)，b→=(1，2，0)，则a→⋅b→=（ ）
A．﹣5B．﹣7C．3D．13
【变式3-1】若A（2，﹣4，﹣1），B（﹣1，5，1），C（3，﹣4，1），则CA→⋅CB→=（ ）
A．﹣11B．3C．4D．15
【变式3-2】已知a→=(1，3，5)，b→=(2，6，x)，a→⋅b→＜0，则x的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣4）B．（﹣∞，10）C．（﹣4，+∞）D．（10，+∞）
【变式3-3】若向量a→、b→的坐标满足a→+b→=(−2，−1，2)，a→−b→=(4，−3，−2)，则a→•b→等于（ ）
A．﹣1B．﹣5C．5D．7
【题型4 空间向量的模与两点间的距离】
【方法点拨】
求空间中两点间的距离的步骤:
(1)建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标A()，B()；
(2)利用公式|AB|= ||==求A、B间的距离.
【例4】若AB→=（﹣1，2，3），BC→=（1，﹣1，﹣5），则|AC→|=（ ）
A．5B．10C．5D．10
【变式4-1】在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，﹣1，1）关于y轴的对称点为B，则|AB|＝（ ）
A．22B．26C．25D．6
【变式4-2】已知向量a→=（0，﹣1，1），b→（4，1，0），|λa→+b→|=29且λ＞0，则λ＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣3D．3
【变式4-3】在空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称点为点B'，若点C（1，1，﹣2）关于Oxz平面的对称点为点C'，则|B'C'|＝（ ）
A．2B．6C．14D．30
【题型5 空间向量夹角问题】
【方法点拨】
建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标，求出相关向量的坐标表示，利用空间向量的夹角的余弦
值公式进行求解即可.
【例5】已知a→=(2，−2，−3)，b→=(2，0，4)，则cs〈a→，b→〉=（ ）
A．48585B．−48585C．0D．1
【变式5-1】已知向量a→=(3，0，1)，b→=（k，2，0），若a→与b→夹角为2π3，则k的值为（ ）
A．−2B．2C．﹣1D．1
【变式5-2】已知a→=(1，0，1)，b→=(x，1，−2)，且a→⋅b→=−3，则向量a→与b→的夹角为（ ）
A．5π6B．2π3C．π3D．π6
【变式5-3】已知向量a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣4，2，t）的夹角为钝角，则实数t的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣6）B．(−∞，−6)∪(−6，103)
C．(103，+∞)D．(−∞，103)
【题型6 空间向量的平行与垂直】
【方法点拨】
(1)利用空间向量证明两直线平行的步骤
①建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标；②求出直线的方向向量；③证明两向量共线；④说明
其中一个向量所在直线上的点不在另一个向量所在直线上，即表示方向向量的有向线段不共线，即可得证.
(2)利用空间向量证明两直线垂直的步骤
①建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标；②求出直线的方向向量的坐标；③计算两向量的数量
积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直.
【例6】已知向量a→=(λ，−2，0)，b→=(1+λ，1，λ2)，若a→⊥b→，则实数λ的值为（ ）
A．1B．1或﹣2C．﹣2D．2
【变式6-1】已知A（2，1，3），B（1，3，1），C（4，y，z），若AB→∥AC→，则y﹣2z＝（ ）
A．﹣20B．﹣17C．11D．4
【变式6-2】已知AB→=（1，5，﹣2），BC→=（3，1，z），若AB→⊥BC→，则实数z的值为（ ）
A．5B．2C．3D．4
【变式6-3】已知向量a→=（1，1，0），b→=（﹣1，0，2），且ka→−b→与2a→+b→互相平行，则k＝（ ）
A．1B．﹣2C．﹣1D．2
专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示-重难点题型检测
一．选择题
1空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于平面yOz对称的点P1的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2，﹣3）B．（1，2，﹣3）C．（1，﹣2，﹣3）D．（1，2，3）
2．已知a→=（1，2，1），b→=（2，﹣4，1），则2a→+b→等于（ ）
A．（4，﹣2，0）B．（4，0，3）C．（﹣4，0，3）D．（4，0，﹣3）
3．已知直线l的一个方向向量m→=（2，﹣1，3），且直线l过A（0，y，3）和B（﹣1，2，z）两点，则y﹣z＝（ ）
A．0B．1C．32D．3
4．已知a→=(csα，−1，sinα)，b→=(sinα，−1，csα)，则向量a→+b→与a→−b→的夹角为（ ）
A．90°B．60°C．30°D．0°
5．已知a→=（1﹣t，2t﹣1，0），b→=（3，t，t），则|b→−a→|的最小值为（ ）
A．63B．423C．143D．143
6．已知M（1，2，3），N（2，3，4），P（﹣1，2，﹣3），若|PQ→|=3|MN→|且PQ→∥MN→，则Q点的坐标为（ ）
A．（2，5，0）B．（﹣4，﹣1，﹣6）或（2，5，0）
C．（3，4，1）D．（3，4，1）或（﹣3，﹣2，﹣5）
7．设向量u→=(a，b，0)，v→=(c，d，1)，其中a2+b2＝c2+d2＝1，则下列判断错误的是（ ）
A．向量v→与z轴正方向的夹角为定值（与c，d之值无关）
B．u→⋅v→的最大值为2
C．u→与v→的夹角的最大值为3π4
D．ad+bc的最大值为1
8．在空间直角坐标系中，OA→=(2a，2b，0)，OB→=(c−1，d，1)，O为坐标原点，满足a2+b2＝1，c2+d2＝4，则下列结论中不正确的是（ ）
A．OA→⋅OB→的最小值为﹣6B．OA→⋅OB→的最大值为10
C．|AB|最大值为26D．|AB|最小值为1
二．多选题
9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A．点B1的坐标为（4，5，3）
B．点C1关于点B对称的点为（5，8，﹣3）
C．点A关于直线BD1对称的点为（0，5，3）
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）
10．若a→=(−1，λ，−2)，b→=(2，−1，1)，a→与b→的夹角为120°，则λ的值为（ ）
A．17B．﹣17C．﹣1D．1
11．已知直线l1、l2的方向向量分别是AB→=（2，4，x），CD→=（2，y，2），若|AB→|＝6且l1⊥l2，则x+y的值可以是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
12．已知空间四点O（0，0，0），A（0，1，2），B（2，0，﹣1），C（3，2，1），则下列说法正确的是（ ）
A．OA→⋅OB→=−2B．cs＜OA→，OB→＞=−25
C．点O到直线BC的距离为5D．O，A，B，C四点共面
三．填空题
13．已知A（1，2，3），B（4，5，9），AC→=13AB→，则AC→的坐标为 ．
14．动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，记D1PD1B=λ，当∠APC为钝角时，λ的取值范围是 ．
15．已知向量a→=（1，﹣3，2），b→=（﹣2，1，1），点A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．则|2a→+3b→|＝ ；在直线AB上存在一点E，使得OE→⊥b→，则点E的坐标为 ．
16．在空间直角坐标系O﹣xyz中，给出以下结论：
①点A（﹣2，1，3）关于z轴的对称点的坐标是（2，﹣1，3）；
②点B（4，﹣2，5）关于yOz平面对称的点的坐标是（4，2，﹣5）；
③若AB→=(0，−1，2)，CD→=(1，3，0)，则＜AB→，CD→＞=2π3．
其中所有正确结论的序号是 ．
四．解答题
17．已知点A，B关于点P（1，2，3）的对称点分别为A′，B′，若A（﹣1，3，﹣3），A'B'→=（3，1，5），求点B的坐标．
18．已知：a→=（x，4，1），b→=（﹣2，y，﹣1），c→=（3，﹣2，z），a→∥b→，b→⊥c→，求：
（1）a→，b→，c→；
（2）a→+c→与b→+c→所成角的余弦值．
19．如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为（32，12，0），点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°．
（1）求向量CD→的坐标．
（2）求AD→与BC→的夹角的余弦值．
20．已知a→=（1，1，0），b→=（﹣1，0，2），
（1）求|2a→−b→|；
（2）若ka→+b→与2a→−b→的夹角为钝角，求实数k的取值范围．
21．已知空间向量a→=（2，4，﹣2），b→=（﹣1，0，2），c→=（x，2，﹣1）．
（Ⅰ）若a→∥c→，求|c→|；
（Ⅱ）若b→⊥c→，求cs＜a→，c→＞的值．
22．已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．
（1）求△ABC的面积；
（2）若向量CD→∥AB→，且|CD→|=21，求向量CD→的坐标．
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积
a·b
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3