高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线精品学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线精品学案，共6页。
《双曲线的定义与标准方程》


、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 双曲线eq \f(x2,3)－y2=1的焦点坐标是( )


A．(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0) B．(－2,0)，(2,0)


C．(0，－eq \r(2))，(0，eq \r(2)) D．(0，－2)，(0,2)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 双曲线eq \f(x2,m)-y2=1的焦点到渐近线的距离为( )


A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．1 D．eq \f(1,2)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为( )


A．eq \f(x2,20)-eq \f(y2,5)=1 B．eq \f(x2,5)-eq \f(y2,20)=1 C．eq \f(x2,80)-eq \f(y2,20)=1 D．eq \f(x2,20)-eq \f(y2,80)=1





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线eq \f(x2,m2＋16)-eq \f(y2,4m－3)=1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为( )


A．±eq \f(5,4) B．±eq \f(4,5) C．±eq \f(5,3) D．±eq \f(3,5)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点相同，若以点F为圆心，eq \r(2)为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为( )


A．eq \f(y2,3)-x2=1 B．eq \f(x2,3)-y2=1 C．eq \f(y2,2)-eq \f(x2,2)=1 D．eq \f(x2,2)-eq \f(y2,2)=1





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y=－2x，则该双曲线的离心率是( )


A．eq \f(\r(5),2) B．eq \r(3) C．eq \r(5) D．2eq \r(3)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 下列双曲线中，渐近线方程不是y=±eq \f(3,4)x的是( )


A.eq \f(x2,144)－eq \f(y2,81)=1 B.eq \f(y2,18)－eq \f(x2,32)=1 C.eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)=1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)=1





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )


A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)=1 B．eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)=1 C.eq \f(x2,10)－eq \f(y2,6)=1 D．eq \f(x2,6)－eq \f(y2,10)=1














LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若eq \(BA,\s\up10(→))=2eq \(AF,\s\up10(→))，且|eq \(BF,\s\up10(→))|=4，则双曲线C的方程为( )


A.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,5)=1 B．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,12)=1 C.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)=1 D．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,6)=1





LISTNUM OutlineDefault \l 3 方程表示双曲线，则m的取值范围为( )


A.-2＜m＜2 B.m＞0 C.m≥0 D.|m|≥2





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为eq \f(π,6)，则双曲线的渐近线方程为( )


A．y=±2x B．y=±eq \f(1,2)x C．y=±eq \f(\r(2),2)x D．y=±eq \r(2)x





LISTNUM OutlineDefault \l 3 过双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的右焦点F作圆x2＋y2=a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为( )


A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．eq \r(5)





、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 设点P是双曲线eq \f(x2,9)-eq \f(y2,16)=1上任意一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|=10，则|PF2|=________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,2)=1(a＞0)和抛物线y2=8x有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．








LISTNUM OutlineDefault \l 3 双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=eq \f(3,5)x，则a=________.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的离心率e=2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________．























、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 求与双曲线有相同焦点且过点P(2，1)的双曲线的方程.






































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线的两焦点为F1，F2.


(1)若点M在双曲线上，且eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))=0，求点M到x轴的距离；


(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3eq \r(2)，2)，求双曲线C的方程.





























答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：B；





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：焦点F(eq \r(m＋1)，0)到渐近线x±eq \r(m)y=0的距离d=eq \f(|\r(m＋1)±0|,\r(1＋\r(m)2))=1，故选C．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：∵eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1的焦距为10，∴c=5=eq \r(a2＋b2)．①


又双曲线渐近线方程为y=±eq \f(b,a)x，且P(2，1)在渐近线上，∴eq \f(2b,a)=1，即a=2b．②


由①②解得a=2eq \r(5)，b=eq \r(5)，则C的方程为eq \f(x2,20)-eq \f(y2,5)=1．故选A．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：由m2＋16=52，解得m=3(m=-3舍去)．所以a=5，b=3，从而±eq \f(b,a)=±eq \f(3,5)，故选D．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：


设双曲线C的方程为eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)，而抛物线y2=8x的焦点为(2，0)，即F(2，0)，


∴4=a2＋b2．又圆F：(x-2)2＋y2=2与双曲线C的渐近线y=±eq \f(b,a)x相切，


由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为eq \f(2b,\r(b2＋a2))=eq \r(2)，∴a2=b2=2，


故双曲线C的方程为eq \f(x2,2)-eq \f(y2,2)=1．故选D．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：由双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y=±eq \f(b,a)x，


且双曲线的一条渐近线方程为y=－2x，得eq \f(b,a)=2，则b=2a，


则双曲线的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(a2＋b2),a)=eq \f(\r(a2＋4a2),a)=eq \f(\r(5)a,a)=eq \r(5).故选C.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A.


解析：已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c=4，a=2，b2=12，


即双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)=1，故选A.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D.


解析：不妨设B(0，b)，由eq \(BA,\s\up10(→))=2eq \(AF,\s\up10(→))，F(c，0)，可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2c,3)，\f(b,3)))，


代入双曲线C的方程可得eq \f(4,9)×eq \f(c2,a2)－eq \f(1,9)=1，即eq \f(4,9)·eq \f(a2＋b2,a2)=eq \f(10,9)，所以eq \f(b2,a2)=eq \f(3,2)，①


又|eq \(BF,\s\up10(→))|=eq \r(b2＋c2)=4，c2=a2＋b2，所以a2＋2b2=16，②


由①②可得，a2=4，b2=6，所以双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,6)=1，故选D.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；解析：∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2-m)＞0.∴-2＜m＜2.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：


不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a，


又|PF1|＋|PF2|=6a，所以|PF1|=4a，|PF2|=2a．又因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2c>2a，,4a>2a，))所以∠PF1F2为最小内角，


故∠PF1F2=eq \f(π,6)．由余弦定理，可得eq \f(4a2＋2c2－2a2,2·4a·2c)=eq \f(\r(3),2)，c2=3a2，b2=c2-a2=2a2⇒eq \f(b,a)=eq \r(2)，


所以双曲线的渐近线方程为y=±eq \r(2)x，故选D．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：连接OM．由题意知OM⊥PF，且|FM|=|PM|，∴|OP|=|OF|，∴∠OFP=45°，


∴|OM|=|OF|·sin45°，即a=c·eq \f(\r(2),2)，∴e=eq \f(c,a)=eq \r(2)．故选A．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：16或4；


解析：由双曲线的标准方程得a=3，b=4.于是c=eq \r(a2＋b2)=5.


(1)若点P在双曲线的左支上，则|PF2|-|PF1|=2a=6，∴|PF2|=6＋|PF1|=16；


(2)若点P在双曲线的右支上，则|PF1|-|PF2|=6，∴|PF2|=|PF1|-6=10-6=4.


综上，|PF2|=16或4.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \r(2)；


解析：易知抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，所以双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,2)=1的焦点为(2,0)，


则a2＋2=22，即a=eq \r(2)，所以双曲线的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(2,\r(2))=eq \r(2).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：5；


解析：∵双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)=1(a＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y=±eq \f(3,a)x.


又双曲线的一条渐近线方程为y=eq \f(3,5)x，∴a=5.














LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：x2-eq \f(y2,3)=1；


解析：由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c－a＝1，,\f(c,a)＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,c＝2，))则b=eq \r(3)，故所求方程为x2-eq \f(y2,3)=1．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：