初中数学青岛版（2024）八年级上册（2024）第2章 全等三角形2.2 三角形全等的判定优秀课时练习

这是一份初中数学青岛版（2024）八年级上册（2024）第2章 全等三角形2.2 三角形全等的判定优秀课时练习，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=5 3，点P在线段BC上运动(含B、C两点)，将点P为绕点A逆时针旋转60°到点Q，连接DQ，则线段DQ的最小值为( )
A. 52B. 5 2C. 5 33D. 3
2.如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是( )
A. 4
B. 2
C. 1
D. 12
3.如图，在四边形ABCD中，已知∠BAC=∠DAC.添一个条件，使△ABC≌△ADC，则不能作为这一条件的是( )
A. ∠ACB=∠ACDB. ∠B=∠D
C. AB=ADD. BC=DC
4.如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上一点，EF⊥BC，EG⊥AB，垂足分别是F，G，若BG=4，BF=5，则DE的长是( )
A. 3
B. 6
C. 21
D. 41
5.如图，已知CA=CD，∠1=∠2，如果只添加一个条件(不加辅助线)使▵ABC≌▵DEC，则添加的条件不能为( )
A. AB=DEB. ∠B=∠EC. BC=ECD. ∠A=∠D
6.如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是( )
A. 32B. 2C. 2 2D. 10
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AC上，点E在边BC上，DE=AD，DF⊥AB于点F，AF=CE，连接BD，若AB=10，CE=2，则线段BE的长是( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
8.如图，在△ABC中，∠BAC=135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD.当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是( )
A. △ABC≌△DECB. ∠ADC=45°
C. AD= 2ACD. AE=AB+CD
9.如图，在△ABC中，∠BAC=135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD.当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是( )．
A. △ABC≌△DECB. ∠ADC=45°
C. AD= 2ACD. AE=AB+CD
10.如图，已知AB=AC，AF=AE，∠EAF=∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是( )
①△ AFB≌△ AEC； ②BF=CE； ③∠BFC=∠EAF； ④AB=BC．
A. ①②③B. ①②④C. ①②D. ①②③④
11.如图，已知△ABC和△CDE均是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上；BE与AD交于点O，AD与CE交于点N，AC与BE交于点M，连接OC、MN，则下列结论：①AD=BE；②ME=BM；③MN//BD；④∠BOC=∠DOC；其中正确的结论个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
12.如图，以RtΔABC的斜边BC为一边在ΔABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=3，AO= 2，那么AC的长等于( )
A. 8B. 7C. 6D. 5
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，正方形ABCD边长为1，点M，N分别是边AD，CD上的动点且AM=CN，作NP⊥BM于点P，则AP的最小值是______．
14.如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，AD是边BC上的中线，AD=2，则△ACB的面积是 ．
15.如图，AD是▵ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为点F，DE=DG，若▵ADG和▵AED的面积分别为20和16，则▵EDF的面积为 ．
16.如图，将n个边长都为1 cm的正方形按如图所示的方式摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则5个这样的正方形重叠部分的面积和为 ，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 (用含n的代数式表示)．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，AB=AD，AC=AE，CB=DC=DE。求∠CFE的大小。
18.(本小题8分)
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.如图，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB=AD，AC是它的一条对角线.写出图中相等的角，并说明理由．
19.(本小题8分)
如图，已知AB//DE，AB=DE.点B、E、C、F在同一条直线上并且BE=CF．
(1)试说明：△ABC≌△DEF；
(2)判断线段AC与线段DF的数量关系和位置关系，说明理由．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，作∠ACB的平分线CM，交AB于点M.在射线CB上，截取线段CD，使CD=AC．
(1)请用直尺和圆规补全图形.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接MD，求证：AM=DM．
21.(本小题8分)
如图，AB=AC，AD=AE，∠DAC=∠EAB．
(1)求证：BD=EC．
(2)用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥BC，垂足为F.(不写作法，保留作图痕迹)
22.(本小题8分)
如图，已知AB//CF，DE=EF．
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若AB=7，CF=4，求BD长．
23.(本小题8分)
△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AB上，点E在BC上，且AD=BE，BD=AC，连DE、CD．
(1)找出图中全等图形，并证明；
(2)求∠ACD的度数；
24.(本小题8分)
如图，△ABC中，AD，CF为高，且AD与CF交于点E，∠CAD=∠DBE，BE=AC．
(1)求证：△ACD≌△BED；
(2)若AF=4，BF=12，求△AEC的面积．
25.(本小题8分)
正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
(1)求证：EF=FM；
(2)当AE=1时，求EF的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．
由旋转可知：AP=AQ，∠PAQ=60°，
∵△ABF，△APQ都是等边三角形，
∴∠BAF=∠PAQ=60°，BA=FA，PA=QA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP=∠BAD=90°，
∴∠BAP=∠FAQ，
在△BAP和△FAQ中，
BA=FA∠BAP=∠FAQPA=QA，
∴△BAP≌△FAQ(SAS)，
∴∠ABP=∠AFQ=90°，
∵∠FAE=90°−60°=30°，
∴∠AEF=90°−30°=60°，
∵AB=AF=5，AE=AF÷cs30°=10 33，
∴点Q在射线FE上运动，
∵AD=BC=5 3，
∴DE=AD−AE=5 33，
∵DH⊥EF，∠DEH=∠AEF=60°，
∴DH=DE⋅sin60°=5 33× 32=52，
根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为52，
故选：A．
如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H.利用全等三角形的性质证明∠AFQ=90°，推出∠AEF=60°，推出点Q在射线FE上运动，求出DH，可得结论．
本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线FE上运动，属于中考选择题中的压轴题．
2.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABD是正方形，
∴OA=OB，∠OAE=∠OBF=45°，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
∠AOE=∠BOFOA=OB∠OAE=∠OBF，
∴△AOE≌△BOF(ASA)，
∴△AOE的面积=△BOF的面积，
∴四边形AFOE的面积=14正方形ABCD的面积=14×22=1；
故选：C．
证明△AOE≌△BOF(ASA)，得出△AOE的面积=△BOF的面积，得出四边形AFOE的面积=14正方形ABCD的面积=14×22=1即可．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
根据全等三角形的判定定理判断求解即可．
【解答】
解：已知∠BAC=∠DAC，AC=AC，
添加∠ACB=∠ACD，利用ASA得出△ABC≌△ADC，故A不符合题意；
添加∠B=∠D，利用AAS得出△ABC≌△ADC，故B不符合题意；
添加AB=AD，利用SAS得出△ABC≌△ADC，故C不符合题意；
添加BC=DC，不能得出△ABC≌△ADC，故D符合题意；
故选：D．
4.【答案】D
【解析】解：延长GE交DC于点H，如图：
则EH=EF=4，
∴GH=9，即正方形的边长为9，
∴CH=4，DH=5，
在Rt△DEH中，DE= 42+52= 41，
故选：D．
延长GE交DC于点H，则EH=EF=4，正方形的边长为9，DH=5，运用勾股定理即可求解．
本题考查正方形的性质及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定，能理解和运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，难度适中．
先求出∠ACB=∠DCE，再根据全等三角形的判定定理(SAS,ASA,AAS,SSS)逐个判断即可．
【解答】
解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE，
∴∠ACB=∠DCE，
A、根据AB=DE，CA=CD，∠ACB=∠DCE不能推出△ABC≌△DEC，故本选项正确；
B、因为∠ACB=∠DCE，CA=CD，∠B=∠E，所以符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本选项错误；
C、因为BC=CE，∠ACB=∠DCE，AC=CD，所以符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本选项错误；
D、因为∠A=∠D，∠ACB=∠DCE，CA=CD，所以符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本选项错误；
故选A．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中档题．
根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，CE=AD，就可以求出DE的值．
【解答】
解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°．
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
∠E=∠ADC∠EBC=∠DCABC=AC
∴△CEB≌△ADC(AAS)，
∴BE=DC=1，CE=AD=3．
∴DE=EC−CD=3−1=2，
故选：B．
7.【答案】B
【解析】解：∵DF⊥AB于点F，∠C=90°，
∴△ADF和△EDC都是直角三角形，
在Rt△ADF和Rt△EDC中，
AD=EDAF=EC，
∴Rt△ADF≌Rt△EDC(HL)，
∴AF=EC，DF=DC，∠DFB=∠C=90°，
∵AB=10，CE=2，
∴AF=2，
∴BF=AB−AF=10−2=8，
在Rt△BDF和Rt△BDC中，
BD=BDDF=DC，
∴Rt△BDF≌Rt△BDC(HL)，
∴BF=BC=8，
∴BE=BC−CE=8−2=6，
故选：B．
根据题意，可证Rt△ADF≌Rt△EDC(HL)，得到AF=2，则有BF=8，再证Rt△BDF≌Rt△BDC(HL)，得到BF=BC=8，由BE=BC−CE=8−2=6，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握其判定的方法和性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】略
9.【答案】D
【解析】略
10.【答案】A
【解析】解：∵∠EAF=∠BAC，
∴∠BAF=∠CAE，
∵AF=AE，AB=AC，
∴△AFB≌△AEC(SAS)，故①正确，
∴BF=EC，故②正确，
∴∠ABF=∠ACE，
∵∠BDF=∠ADC，
∴∠BFD=∠DAC，
∴∠BFD=∠EAF，故③正确，
无法判断AB=BC，
故选A．
本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
想办法证明△AFB≌△AEC(SAS)，利用全等三角形的性质即可解决问题；
11.【答案】C
【解析】解：∵△ABC和△CDE均是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∠ECD=∠EDC=∠CDE=60°，AB=AC=BC，CE=CD=DE，
∴∠ACD=∠BCE，∠ACN=60°，
在△ACD与△BCE中，
∵AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，
故结论①正确，该选项符合题意；
∴∠CAN=∠CBM，
在△ACN与△BCM中
∵∠ACN=∠BCM=60°∠CAN=∠CBMAC=BC，
∴△ACN≌△BCM(AAS)，
∴CM=CN，BM=AN，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠MNC=∠ECD=60°，
∴MN/​/BD，
∴△AMN∽△ACD，△EMN∽△EBC，
∴ANAD=MNCD，MEBE=MNBC，
∵AD=BE，BC>DC，
∴AN>ME，
故结论②错误，该选项不符合题意；结论③正确，该选项符合题意；
过C作CF⊥BE，CG⊥AD，
∵CF⊥BE，CG⊥AD，
∴∠BFC=∠ANC=90°，
在△BCF与△ACN中，
∵∠BFC=∠ANC=90°∠CBF=∠CANBC=AC，
∴△BCF≌△ACN(AAS)，
∴CF=CG，
∴OC平分∠BOD，
故结论④正确，该选项符合题意，
综上所述，正确的结论是②③④，共3个，
故选：C．
根据△ABC和△CDE均是等边三角形得到∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∠ECD=∠EDC=∠CDE=60°，AB=AC=BC，CE=CD=DE，即可得到∠ACD=∠BCE即可得到△ACD≌△BCE，即可判断①，从而证明△BCM≌△ACN即可得到CM=CN，得到△CMN是等边三角形即可判断②③，过C作CF⊥BE，CG⊥AD，证明△BCF≌△ACN，即可得到CF=CG，即可得到角平分线即可判断④．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查正方形的性质，本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．在AC上取一点G，使CG=AB=3，连接OG，可证得△OGC≌△OAB，从而得到OG=OA= 2，再可证△AOG是等腰直角三角形，根据求出AG，也就求得AC．
【解答】
解：在AC上取一点G使CG=AB=3，连接OG，
∵∠ABO=90°−∠AHB，∠OCG=90°−∠OHC，∠OHC=∠AHB
∴∠ABO=∠OCG
∵OB=OC，CG=AB
∴△OGC≌△OAB(SAS)
∴OG=OA= 2，∠BOA=∠GOC
∵∠GOC+∠GOH=90°
∴∠GOH+∠BOA=90°
即：∠AOG=90°
∴△AOG是等腰直角三角形，AG=2(勾股定理)
∴AC=5．
故选D．
13.【答案】 2−1
【解析】解：延长PN，BC交于点H，
由正方形ABCD边长为1，AM=CN，NP⊥BM，
得∠H=90°−∠PBH=∠ABM，
又由∠NCH=90°=∠BAM，
得△NCH≌△BAM，
得CH=AB=BC，
得PC=12BH=BC=1，
由AP≥AC−PC= 2−1．
得AP的最小值是 2−1．
故答案为： 2−1．
延长PN，BC交于点H，由正方形ABCD边长为1，AM=CN，NP⊥BM，得∠H=90°−∠PBH=∠ABM，又由∠NCH=90°=∠BAM，得△NCH≌△BAM，得CH=AB=BC，得PC=12BH=BC=1，即可得AP≥AC−PC= 2−1．
本题主要考查了正方形中的最小值问题，解题关键是构造全等三角形．
14.【答案】6
【解析】如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．∵D为BC的中点，∴CD=BD.又∵∠ADC=∠EDB，∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴BE=AC=5，∠CAD=∠E.又∵AE=2AD=4，AB=3，∴BE2=AE2+AB2，∴△ABE是直角三角形，∠EAB=90∘，∴S△ACB=2S△ABD=2×12×2×3=6．
15.【答案】2
【解析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，根据题意证明Rt▵DEF≌Rt▵DGH、▵ADF≌▵ADH是解题的关键．过D作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到DF=DH；根据HL定理得到Rt▵DEF≌Rt▵DGH，由全等三角形的面积相等得到S▵DEF=S▵DGH；由∠AED=∠AHD，∠BAD=∠CAD，AD=AD，根据AAS得到▵ADF≌▵ADH，由全等三角形的面积相等得到S▵ADF=S▵ADH；根据S▵ADF=S▵ADE+S▵DEF，S▵ADH=S▵ADG−S▵DGH，把▵ADG和▵AED的面积分别为20和16代入计算得到答案．
【详解】解：过D作DH⊥AC于H，
∵DF⊥AB，
∴∠AFD=∠AHD=∠DHG=90∘，
∵AD是▵ABC的角平分线，
∴DF=DH，∠BAD=∠CAD，
∵DE=DG，
∴Rt▵DEF≌Rt▵DGH(HL)，
∴S▵DEF=S▵DGH，
∵∠AFD=∠AHD，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴▵ADF≌▵ADH(AAS)，
∴S▵ADF=S▵ADH，
∴S▵DEF+16=20−S▵DGH，
∴S▵DEF=2．
故答案为：2
16.【答案】1
n−14

【解析】略
17.【答案】解：在△ADC和△ABC中，AD=AB,DC=BC,CA=CA,
所以△ADC≌△ABC(SSS)，
所以∠DCA=∠BCA，∠CDA=∠B。
同理可证△ADC≌△ADE，
所以∠CDA=∠EDA，∠DCA=∠DEA。
又因为∠FEB=∠DEA，所以∠CDA=∠EDA=∠B，∠DCA=∠BCA=∠FEB。
又因为∠CFE=∠FEB+∠B，∠CDF+∠DCF+∠CFE=180°，
所以3∠CFE=180°，即∠CFE=60°。

【解析】见答案
18.【答案】∠ACD=∠ACB，见解析
【详解】解：∠ACD=∠ACB，理由：延长CB至点E，使BE=DC，连接AE，如图，
∵四边形ABCD是邻等对补四边形，∴∠ABC+∠D=180 ∘，∵∠ABC+∠ABE=180 ∘，∴∠ABE=∠D，∵AB=AD，∴▵ABE≌▵ADCSAS，∴∠E=∠ACD，AE=AC，∴∠E=∠ACB，∴∠ACD=∠ACB．

【解析】略
19.【答案】见解析；
AC=DF，AC/​/DF.理由见解析．
【解析】(1)证明：∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF，
∵点B、E、C、F在同一条直线上并且BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠B=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)；
(2)解：AC=DF，AC/​/DF；理由如下：
由(1)知：△ABC≌△DEF，
∴AC=DF，∠ACB=∠DFE，
∴AC/​/DF．
(1)直接利用全等三角形的判定方法SAS可得出答案；
(2)由全等三角形的性质可得出结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件．
20.【答案】解：补全图形如图所示：
证明：如图，连接DM，
∵CM 为∠ACB 的平分线，
∴∠ACM=∠DCM，
在△ACM 和△DCM 中，
AC=DC∠ACM=∠DCMCM=CM，
∴△ACM≌△DCM(SAS)，
【解析】(1)解：根据角平分线的作法和线段的作法，补全图形如图所示：
(2)证明：如图，连接DM，
∵CM 为∠ACB 的平分线，
∴∠ACM=∠DCM，
在△ACM 和△DCM 中，
AC=DC∠ACM=∠DCMCM=CM，
∴△ACM≌△DCM(SAS)，
∴AM=DM．
(1)根据角平分线的作法和线段的作法即可补全图形；
(2)连接MD，由角平分线的定义得∠ACM=∠DCM，再根据SAS证△ACM≌△DCM，即可证出结论．
本题考查了作角平分线，全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
21.【答案】∵∠DAC=∠EAB，
∴∠DAC−∠BAC=∠EAB−∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC．
在△ADB和△AEC中，
AB=AC∠DAB=∠EACAD=AE，
∴△DAB≌△EAC(SAS)，
∴BD=EC；
如图，AF即为所求．

【解析】(1)证明：∵∠DAC=∠EAB，
∴∠DAC−∠BAC=∠EAB−∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC．
在△ADB和△AEC中，
AB=AC∠DAB=∠EACAD=AE，
∴△DAB≌△EAC(SAS)，
∴BD=EC；
(2)解：过点A作AF⊥BC，垂足为F.如图，AF即为所求．
(1)根据题意证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形性质求解，即可解题；
(2)利用等腰三角形底边上三线合一，可知过点A作AF⊥BC，即作BC的垂直平分线，根据垂直平分线作法作图，即可解题．
本题考查作图−基本作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质，以及垂直平分线作法，解题的关键在于结合等腰三角形性质理解过点A作AF⊥BC，即作BC的垂直平分线．
22.【答案】(1)证明：∵AB/​/CF，
∴∠A=∠FCE，
在△ADE和△CFE中，
∠A=∠FCE∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△ADE≌△CFE(AAS)．
(2)解：∵△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=4，
∴BD=AB−AD=7−4=3．
【解析】(1)根据AAS证明△ADE≌△CFE即可；
(2)利用全等三角形的性质即可解决问题；
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】解：
(1)△ADC≌△BED，
理由如下：
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
且AD=BE，BD=AC，
∴△ADC≌△BED(SAS)
(2)∵△ADC≌△BED，
∴∠ACD=∠BDE，CD=DE，
∵∠BDC=∠A+∠ACD=∠CDE+∠BDE，
∴∠CDE=∠A=45°，且DC=DE，
∴∠DCE=67.5°，
∴∠ACD=∠ACB−∠DCE=22.5°．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ADC≌△BED是本题的关键．
(1)由“SAS”可证△ADC≌△BED；
(2)由全等三角形的性质可得∠ACD=∠BDE，CD=DE，由外角性质和等腰三角形的性质可求∠DCE=67.5°，即可求解．
24.【答案】(1)证明：△ABC中，AD，CF为高，
∴AD⊥BC，CF⊥AB，
∴∠ADC=∠BDE=∠BFC=∠AFE=90°，
在△ACD和△BED中，
∠CAD=∠DBE∠ADC=∠BDEAC=BE，
∴△ACD≌△BED(AAS)；
(2)解：∵△ACD≌△BED，AF=4，BF=12，
∴AD=BD，CD=DE，
∴∠ABD=∠BAD=∠DEC=∠ECD=∠AEF=45°，
∴BF=FC=12，AF=FE=4，
∴EC=FC−FE=8，
∴S△AEC=12EC×AF=16．
【解析】(1)证明∠ADC=∠BDE=∠BFC=∠AFE=90°，利用已知∠CAD=∠DBE和BE=AC即可证明△ACD≌△BED；
(2)根据全等的性质得到AD=BD，CD=DE，得到∠ABD=∠BAD=∠DEC=∠ECD=∠AEF=45°，则BF=FC=12，AF=FE=4，求出EC=FC−FE=8，利用三角形面积公式即可求出答案．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
25.【答案】(1)证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，
DE=DM∠EDF=∠MDFDF=DF，
∴△DEF≌△DMF(SAS)，
∴EF=MF；
(2)解：设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，
∴BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM−MF=BM−EF=4−x，
∵EB=AB−AE=3−1=2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，
即22+(4−x)2=x2，
解得：x=52，
则EF=52．
【解析】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．
(1)由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；
(2)由第一问的全等得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB−AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM−FM=BM−EF=4−x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．