内蒙古赤峰市红山区2024-2025学年九年级（上）期末数学试卷【含答案】

这是一份内蒙古赤峰市红山区2024-2025学年九年级（上）期末数学试卷【含答案】，共24页。
1.下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. 赵爽弦图B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线D. 斐波那契螺旋线
2.成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴.下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是( )
A. 竹篮打水B. 水中捞月C. 水涨船高D. 守株待兔
3.如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C，D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为( )
A. 2
B. 1
C. 4
D. 3
4.将抛物线y=2x2+3的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为( )
A. y=2(x+1)2−2B. y=2(x−1)2−2
C. y=2(x−5)2+2D. y=2(x+5)2+4
5.已知⊙O的半径是一元二次方程x2−2x−3=0的一个根，圆心O到直线l的距离d=2，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A. 相切B. 相交C. 相离D. 平行
6.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B′恰好在边BC上.若∠AB′C′=66°，则旋转角的度数为( )
A. 33°
B. 48°
C. 58°
D. 66°
7.某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为62万元.若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为( )
A. 25(1+x)=62B. 25(1+x)×2=62
C. 25(1+x)2=62D. 25(1+x)+25(1+x)2=62
8.一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
9.“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面.测量得这个水容器所能装满水的最大深度是18cm(水面是AB时的深度)，开口AB宽为12cm，则这个水容器截面的半径为( )
A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 14cm
10.关于x的一元二次方程x2+(2m−3)x+m2+1=0的两实根x1，x2满足2x1+2x2=1，则m的值为( )
A. 1或5B. 1或−5C. −5D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
11.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是______．
12.若点P(x,−3)与点Q(4,y)关于原点对称，则(x+y)2024= ______．
13.已知二次函数y=(a−1)x2+a2−2的最高点为(0,2)，则a= ______．
14.如图，线段AB在第二象限，点A(−2,5)，点B(−4,3).将线段AB绕点O旋转90°得到线段A′B′.那么点A的对应点A′的坐标是 ．
15.抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，是国家级的非物质文化遗产之一.如图AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P.若∠P=120°，⊙O的半径为8cm，则图中CD的长为 cm(结果保留π)．
16.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PC(点C为切点)，则线段PC长的最小值为______．
三、解答题：本题共7小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：
(1)x2−12x−4=0；
(2)3(x−2)2=x(x−2)．
18.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，其中A(1,1)，B(4,4)，C(5,1)．
(1)画出△ABC的中心对称图形△A1B1C1，使点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1；
(2)将△ABC绕着点O顺时针旋转90°，点A，B，C的对应点分别为点A2，B2，C2，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点A2，B2，C2的坐标．
19.(本小题10分)
我国大力发展职业教育，促进劳动力就业.某职业教育培训中心开设：A(旅游管理)、B(信息技术)、C(酒店管理)、D(汽车维修)四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个.该培训中将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据图中信息解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有______人；扇统计图中A(旅游管理)专业所对应的圆心角的度数为______；
(2)请补全条形统计图，若该中学有2000名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有______人；
(3)从选择D(汽车维修)专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．
20.(本小题10分)
企鹅塔祖尼是第9届女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销.某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间存在一次函数关系y=−5x+150(其中8≤x≤15，且x为整数)．
(1)当每件售价为10元时，每天的销售量是______件；
(2)若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，求每件玩偶的售价为多少元？
(3)设该商店销售这种玩偶每天获利w(元)，当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
21.(本小题8分)
已知：如图，⊙O及⊙O外一点P．
求作：直线PB，使PB与⊙O相切于点B．
李华同学经过探索，想出了两种作法.具体如下：
请仔细阅读，并完成相应的任务：
(1)“作法一”中的“依据”是指______；
(2)请在下面写出“作法二”的证明过程．
22.(本小题12分)
综合与实践某校数学小组的同学把“用数学的眼光观察校园”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了活动报告，请根据该活动报告完成后面的任务．
任务：
(1)如图1，请以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式．
(2)如图2，若学校从防护栏的顶点G处开始向下拉横幅，为了不遮挡防护栏上的彩色栏杆，则横幅最宽为多宽？
(3)若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为0.15米，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？
23.(本小题12分)
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，连接DA，将线段DA绕点D顺时针旋转60°得到线段DE.(1)如图1，当点D与点B重合时，连接AE，交BC于点H，求证：AE⊥BC；
(2)当BD≠CD时(图2中BDCD)，F为线段AC的中点，连接EF.在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题：
①依题意，补全图形；
②猜想∠AFE的大小，并证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.是中心对称图形，但不是轴对称图形；不符合题意；
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形；不符合题意；
C.既是轴对称图形，也是中心对称图形；符合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；不符合题意；
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可作答．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练地掌握定义并能够区分轴对称图形和中心对称图形是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A.竹篮打水是不可能事件，故该选项不符合题意；
B.水中捞月是不可能事件，故该选项不符合题意；
C.水涨船高是必然事件，故该选项不符合题意；
D.守株待兔是随机事件，故该选项符合题意；
故选：D．
根据不可能事件的定义进行逐一判断即可，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
本题考查了事件的分类，熟知随机事件的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=BC，∠CDB=30°，
∴∠A=∠CDB=30°，
∵AB=2，
∴BC=12AB=1，
故选：B．
先由AB是直径，得出∠ACB=90°，再由BC=BC，得∠A=∠CDB=30°，由根据直角三角形30度角的性质即可解决问题．
本题考查圆周角定理，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4.【答案】B
【解析】解：抛物线y=2x2+3的顶点坐标为(0,3)，把(0,3)先向右平移1个单位，再向下平移5个单位所得对应点的坐标为(1,−2)，所以平移后的抛物线解析式为y=2(x−1)2−2．
故选：B．
先得到抛物线y=2x2+3的顶点坐标为(0,3)，再利用点平移的规律得到点(0,3)平移后对应点的坐标为(1,−2)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．
5.【答案】B
【解析】解：∵x2−2x−3=0，
∴(x−3)(x+1)=0，
∴x−3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=−1(不符合题意，舍去)，
∴⊙O的半径等于3，
∵圆心O到直线l的距离d=2，⊙O的半径等于3，且2