北师大版（2024）八年级上册（2024）4 二元一次方程与一次函数优秀随堂练习题

这是一份北师大版（2024）八年级上册（2024）4 二元一次方程与一次函数优秀随堂练习题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图)，则所解的二元一次方程组是( )
A. y=2x+1,y=x+2B. y=3x+1,y=x−5C. y=−2x+1,y=x−1D. y=−x+3,y=3x−5
2.一次函数y=kx+b的图象如图所示，则下列说法正确的是 ( )
A. b−1
9.方程2x2+x−2=0的近似根可以看作是下列哪两个函数图象交点的横坐标( )
A. y=2x2和y=x−2B. y=2x2+x和y=2
C. y=2x2−2和y=xD. y=−2x2和y=x+2
10.下列图象中，以二元一次方程2x+y=−5的解为坐标的点组成的图象，可能是( )
A. B. C. D.
11.已知关于x、y的方程组y=3x−1y=mx+n的解为x=1y=a，则直线l1：y=3x−1与直线l2：y=mx+n的交点P的坐标为( )
A. (2,1)B. (−2,1)C. (1,2)D. (1,−2)
12.如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组y=ax+b,y=kx的解是( )
A. x=−2,y=−4B. x=−4,y=−2C. x=2,y=−4D. x=−4,y=2
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知二元一次方程组x+y=6,2x−y=6的解为x=4,y=2,则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y= 与直线l2：y= 的交点坐标为 ．
14.如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23cm，小红所搭的“小树”的高度为22cm，设每块A型积木的高为xcm，每块B型积木的高为ycm，则x= ，y= ．
15.如图，直线l1，l2交点的坐标可以看作方程组 的解．
16.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=10，将△ABC绕某点逆时针旋转90°得到△BDE，AC与BE相交于点F.若C是BD的中点，则DF的长是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点Ca,a，且交x轴于点Am,0，交y轴于点B0,n，且m，n满足 m−6+n−122=0．
(1)求直线AB的解析式；
(2)求出点C的坐标；
(3)设过点C的直线交x轴于点D，使得S▵AOB=S▵ACD，求点D的坐标．
18.
(1)请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解．
(2)你还能写出其他无解的二元一次方程组吗？如果能，请观察这些方程组中两个方程有什么共同特征．
19.(本小题8分)
汽车出发前油箱内有油50L，行驶一段时间在加油站加油若干升．汽车出发后，油箱中的剩余油量y(单位：L)与行驶时间t(单位：ℎ)之间的关系如图所示．
(1)汽车行驶 ℎ在加油站加油 L.
(2)求加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t之间的关系式．
(3)如果加油前、加油后汽车都以70km/ℎ的速度匀速行驶，加油站距离目的地210km，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．
20.(本小题8分)
对于密闭容器内的气体，其压强p(单位：kPa)是温度t(单位：℃)的一次函数．现测得某密闭容器内气体的压强p与温度t之间的关系如图所示．
(1)求60℃时该容器内气体的压强；
(2)通常情况下，当压强不超过1200kPa时，该容器是安全的(否则会有破裂甚至爆炸的风险)，求该容器的安全温度(超过该温度就有安全风险)．
21.(本小题8分)
如图，正比例函数y=−3x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点P(m,6)，一次函数图象经过点B(3,1)，与x轴的交点为C．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求△COP的面积；
(3)结合函数图象，直接写出方程组y+3x=0,y−kx−b=0的解．
22.(本小题8分)
如图，直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P(1,b)，与x轴分别交于A，B两点．
(1)求直线l2的表达式；
(2)①关于x，y的方程组2x−y=−1mx−y=−4的解是______；
②关于x的不等式(2−m)x−3≤0的解集为______；
(3)若垂直于x轴的直线x=a与直线l1，l2分别交于点C，D，线段CD的长为3，求△BCD的面积．
23.(本小题8分)
已知直线y1=k1x+b1，经过原点和点(−2,−4)，直线y2=k2x+b2经过点(1,5)和点(8,−2)，求：
(1)y1和y2的函数关系式，并在同一坐标系中画出函数图象；
(2)将y1=k1x+b1和y2=k2x+b2联立方程组，利用图象求方程组的解；
(3)若两直线交于点M，直线y2与x轴交于点N，试求△MON的面积．
24.(本小题8分)
已知直线y=kx+b(k≠0)经过点A(3,0)，B(1,2)
(1)求直线y=kx+b的函数表达式；
(2)若直线y=x−2与直线y=kx+b相交于点C，求点C的坐标；
(3)写出不等式kx+b>x−2的解．
25.(本小题8分)
为落实学生每天“阳光一小时”校园体育活动，郑州市某学校计划购买一批新的体育用品．经调查了解到甲、乙两个体育用品商店的优惠活动如下：
甲商店：所有商品按标价8折出售；
乙商店：一次购买商品总额不超过200元的按原价计费，超过200元的部分打6折．
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买应付y甲元，去乙商店购买应付y乙元，其函数图象如图所示．
(1)分别求y甲、y乙与x的关系式；
(2)两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
(3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个商店购买体育用品更合算．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】略
2.【答案】D
【解析】由图象可知，直线与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,2)，y随x的增大而减小， 把(4,0)，(0,2)的坐标代入解析式，得4k+b=0,b=2,解得k=−12,b=2,∴一次函数的表达式为y=−12x+2，故 D选项正确；∴b=2>0，故A选项错误； 方程kx+b=0的解是x=4，故C选项错误； 若A(1,y1)，B(3,y2)两点在该函数图象上，则y1>y2，故B选项错误．故选D．
3.【答案】D
【解析】略
4.【答案】B
【解析】略
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查图形的翻折变换，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理
先确定点A、点B的坐标，再根据折叠的性质得到AB=AB′，可得AB′的长度，得出点B′的坐标，设OM=x，则B′M=BM=8−x，在Rt△OMB′中利用勾股定理求出x的值，得出M的坐标后，利用待定系数法可求出AM所对应的函数解析式．
【解答】
解：y=−34x+6中，
当x=0时，y=6，即A(0,6)，
当y=0时，y=−34x+6=0，则x=8，
即B(8,0)，
所以AB=10，
由折叠的性质得，AB=AB′=10，B′M=BM，
∴OB′=10−6=4，
∴B′(−4,0)，
设OM=x，则B′M=BM=BO−MO=8−x，
在Rt△B′OM中，B′O2+OM2=B′M2
∴42+x2=(8−x)2
解得，x=3
∴M(3,0)
又∵A(0,6)
设直线AM的解析式为y=kx+b，
则3k+b=0b=6,
解得：k=−2b=6
故直线AM的解析式为：y=−2x+6．
故选C．
6.【答案】B
【解析】解：由题可知，设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)；
根据y值变化的规律性，9，5，1是以4为间隔逐渐减小的，
所以把(−3,9)，(−2,5)代入解析式中；
∴−3k+b=9−2k+b=5；
解得：k=−4，b=−3；
∴y=−4x−3；
当x=0时，y=−3；
∴函数值−4是错误的；
故选：B．
直接根据表格中的有序实数对，列方程组求函数解析式即可，
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，根据给定点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：根据给出的图象上的点的坐标，(−2,0)、(2,4)、(6,0)；
分别求出图中两条直线的解析式为y=x+2，y=−x+6，
∴所解的二元一次方程组是x−y+2=0x+y−6=0．
故选：A．
依据题意，由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组．
本题主要考查了一次函数与二元一次方程，掌握方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】根据表中数据，利用待定系数法，可得出此一次函数为y=2x+2．
A、由表格的数据可知图象经过第一、二、三象限，故A正确；
B、图象经过第一、二、三象限，函数的值随自变量的增大而增大，故B错误；
C、由x=−1时，y=0可知方程ax+b=0的解是x=−1，故C正确；
D、由函数的值随自变量的增大而增大，所以不等式ax+b>0，解集是x>−1，故D正确；
故选B．
根据表格数据判定图象经过第一、二、三象限，再根据一次函数的性质进行解答．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：A、由2x2+x−2=0得：2x2=−x+2，则方程可看作函数y=2x2和y=−x+2的图象的交点，故错误；
B、由2x2+x−2=0得：2x2+x=2，则方程可看作函数y=2x2+x和y=2的图象的交点，故正确；
C、由2x2+x−2=0得：2x2−2=−x，则方程可看作函数y=2x2−2和y=−x的图象的交点，故错误；
D、由2x2+x−2=0得：−2x2=x−2，则方程可看作函数y=−2x2和y=x−2的图象的交点，故错误；
故选：B．
逐项分析即可．
本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，正确变形是关键．
10.【答案】B
【解析】解：当x=0时，则0+y=−5，
解得：y=−5，
∴二元一次方程2x+y=−5的解为坐标的点组成的图象与y轴交于点(0,−5)，
当y=0时，则2x=−5，
解得：x=−52，
∴二元一次方程2x+y=−5的解为坐标的点组成的图象与x轴交(−12,0)，
则二元一次方程2x+y=−5的解为坐标的点组成的图象交x轴的负半轴，交y轴的负半轴，
观察函数图象，只有选项B符合题意．
故选：B．
根据坐标轴上点的坐标特征求出直线2x+y=−5与坐标轴的交点坐标，然后根据所求的坐标对各选项进行判断．
本题考查了一次函数与二元一次方程的关系，一次函数图象与坐标轴交点，函数图象上点坐标为二元一次方程的解，难度不大．
11.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
一次函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，据此即可求解．
【解答】
解：将x=1，y=a代入y=3x−1得，
a=2，
所以关于x、y的方程组y=3x−1y=mx+n的解为x=1y=2,
则点(1,2)既在直线y=3x−1上，又在直线y=mx+n上，
所以直线l1：y=3x−1与直线l2：y=mx+n交点坐标为(1,2)．
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．
【解答】
解：根据函数图象可知，
函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P的坐标是(−4,−2)，
故关于x，y的二元一次方程组y=ax+by=kx的解是x=−4y=−2，
故选：B．
13.【答案】−x+6
2x−6
(4,2)

【解析】略
14.【答案】4
5

【解析】略
15.【答案】x−y=−12x−y=1
【解析】解：设直线l1的函数表达式为y=k1x+b1，将点(−1,0)和(2,3)的坐标分别代入y=k1x+b1，得−k1+b1=0,2k1+b1=3,解得k1=1,b1=1,
所以直线l1的函数表达式为y=x+1．
设直线l2的函数表达式为y=k2x+b2，
将点(0,−1)和(2,3)的坐标分别代入y=k2x+b2，
得b2=−1,2k2+b2=3,解得k2=2,b2=−1,
所以直线l2的函数表达式为y=2x−1．
所以直线l1与l2的交点坐标可以看作方程组x−y=−1,2x−y=1的解．
16.【答案】2 10
【解析】解：以点B为原点，BD所在直线为x轴，建立如图平面直角坐标系．
∵将△ABC绕某点逆时针旋转90°得到△BDE，
∴BD=AB=10，BC=DE，∠BDE=∠ABC=90°，
∵C为BD中点，∴BC=CD=DE=5，
∴A(0,10)，C(5,0)，E(10,5)，D(10,0)，
∴直线AC解析式为y=−2x+10，直线BE解析式为y=12x，
联立{=−2x+10,y=12x,得{=4,y=2.
∴F(4,2)，
∴DF= 10−42+2−02=2 10．
17.【答案】【小题1】
解：因为 m−6+n−122=0，所以m=6，n=12，
所以A6,0，B0,12，设直线AB解析式为y=kx+b，
则：b=12，6k+b=0，解得：k=−2，b=12，
所以直线AB解析式为y=−2x+12；
【小题2】
因为直线AB经过点Ca,a，所以a=−2a+12，
所以a=4，所以点C坐标为4,4；
【小题3】
如图所示，
因为A6,0，B0,12，
所以S▵AOB=12⋅OA⋅OB=12×6×12=36，S▵ADC=12×4×AD=36
所以AD=18，设Dc,0，所以c−6=18或者c−6=−18.即c=24或者c=−12，
所以点D坐标为−12,0或者24,0．

【解析】1. 略
2. 略
3. 略
18.【答案】【小题1】
解：y=2x−3,y=2x+5.(答案不唯一，只要两个方程无共同的解即可)
【小题2】
能．在方程组y=k1x+b1,y=k2x+b2中，k1=k2，b1≠b2．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
19.【答案】【小题1】
3
31
【小题2】
设加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式为y=kt+b．
根据题意，得50=b,14=3k+b,解得b=50,k=−12.
所以函数关系式为y=−12t+50(0≤t≤3)．
【小题3】
够用．理由：加油前汽车行驶210km所用时间为3ℎ，此时用油量为50−14=36(L)，而中途加油后油箱中剩余油量为45L．
因为汽车加油前与加油后行驶的速度相同，
所以行驶相同的路程所用的油量也相同，
所以加油后行驶210km的用油量也是36L．
因为45L>36L，所以油箱中的油够用．

【解析】1. 略
2. 见答案
3. 见答案
20.【答案】【小题1】
解：设压强p与温度t之间的函数表达式为p=kt+b，
把(0,550)，(100,750)分别代入p=kt+b，得
b=550,100k+b=750,解得k=2,b=550,则p=2t+550．
当t=60时，p=2×60+550=670，即60℃时该容器内气体的压强为670kPa．
【小题2】
由题图知，随着温度的增加，压强变大，当p=1200时，2t+550=1200，解得t=325．
所以该容器的安全温度是325℃．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
21.【答案】解：(1)由条件可知−3m=6，m=−2，
∴P(−2,6)，
把(3,1)和(−2,6)代入一次函数y=kx+b，
得3k+b=1−2k+b=6，
解得b=4k=−1；
∴一次函数解析式是y=−x+4；
(2)由(1)知一次函数解析式是y=−x+4，
∴点C(4,0)，
∴OC=4，
∵P(−2,6)，
∴△COP的面积=12OC⋅|yp|=12×4×6=12；
(3)由图象可知，正比例函数y=−3x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点P(−2,6)，
∴方程组的解为x=−2y=6．
【解析】(1)将点P(m,6)代入y=−3x，求出m，得到P(−2,6).把P、B两点的坐标代入y=kx+b，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
(2)根据一次函数的解析式即可求出C点的坐标；根据三角形的面积公式列式即可求出△COP的面积；
(3)两函数图象的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解．
本题考查了求一次函数解析式，两直线围成三角形面积，一次函数与二元一次方程组，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系．
22.【答案】直线l2的表达式为y=−x+4；
①x=1y=3；②x≤1；
6或3．
【解析】(1)由题意，将点P(1,b)代入y=2x+1，∴2+1=b，即b=3．
∴P为(1,3)．
又将点P(1,3)代入y=mx+4，
∴m+4=3，
∴m=−1．
∴直线l2的表达式为y=−x+4．
(2)①结合(1)得，直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P(1,3)，
∴关于x，y的方程组2x−y=−1mx−y=−4的解是x=1y=3．
故答案为：x=1y=3．
②由题意，∵(2−m)x−3≤0，
∴2x+1−(mx+4)≤0．
∴2x+1≤mx+4．
∴关于x的不等式(2−m)x−3≤0的解集为函数y=2x+1的图象在y=mx+4图象下方时对应的自变量取值范围．
∴结合图象可得，x≤1．
故答案为：x≤1．
(3)由题意得，点C的坐标为(a,2a+1)，点D的坐标为(a,−a+4)，
∵线段CD的长为3，
∴|2a+1−(−a+4)|=3，
∴a=0或2．
∴C(0,1)，D(0,4)或C(2,5)，D(2,2)．
∵直线l2的表达式为y=−x+4与x轴交于点B，
∴B(4,0)．
∵CD⊥x轴，
∴B到直线CD的距离ℎ为4或2．
∴S△BCD=12CD⋅ℎ=12×3×ℎ=32ℎ.
∴S△BCD=6或3．
(1)依据题意，将点P(1,b)代入y=2x+1，可得P为(1,3)，又将点P(1,3)代入y=mx+4，求出m后即可判断得解；
(2)①依据题意，结合(1)得，直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P(1,3)，从而可以判断得解；
②依据题意，由(2−m)x−3≤0，可得2x+1≤mx+4，故关于x的不等式(2−m)x−3≤0的解集为函数y=2x+1的图象在y=mx+4图象下方时对应的自变量取值范围，进而结合图象即可判断得解；
(3)依据题意得，点C的坐标为(a,2a+1)，点D的坐标为(a,−a+4)，又线段CD的长为3，故可得a=0或2，从而可得C(0,1)，D(0,4)或C(2,5)，D(2,2)，又直线l2的表达式为y=−x+4与x轴交于点B，可得B(4,0)，进而求出B到直线CD的距离ℎ为4或2，最后根据S△BCD=12CD⋅ℎ=12×3×ℎ=32ℎ，即可判断得解．
本题主要考查了一次函数与二元一次方程(组)、一次函数的性质、一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】y1=2x；y2=−x+6；
x=2y=4；
12．
【解析】(1)∵y1=k1x+b1过原点和点(−2,−4)，
∴0=b1，−2k1=−4，
∴k1=2，
∴−4=−2k1+b1=0，
∴b1=0．
∴y1=2x，
又∵y2=k2x+b2过点(1,5)和(8,−2)，
∴5=k2+b2解之得k2=−1，
−2=8k2+b2b2=6，
∴y2=−x+6；
(2)∵方程组的解中x的值就是两直线交点的横坐标，y的值就是交点的纵坐标，
∴方程组为y=2xy=−x+6，
由−x+6=2x解之得x=2，
代入，得y=−x+6y=4，
∴方程组的解是x=2y=4；
(3)由(2)知M(2,4)，
当y2=0时，
−x+6=0，得x=6，
∴N(6,0)，
∴S△MON=12×6×4=12．
(1)利用待定系数法即可求解；
(2)解两条直线组成的方程组，方程组的解中x的值就是两直线交点的横坐标，y的值就是交点的纵坐标；
(3)在直线y2中令y=0，即可求得直线与x轴交点的横坐标，即可求得N的坐标，再根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了两条直线相交或平行问题、一次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法是关键．
24.【答案】解：(1)根据题意得3k+b=0k+b=2，解得k=−1b=3，
∴直线解析式为y=−x+3；
(2)解方程组y=−x+3y=x−2得x=52y=12，
∴C点坐标为(52,12)；
(3)解不等式−x+3>x−2得xx−2的解集为xx−2得不等式kx+b>x−2的解集．
25.【答案】解：(1)由题意可得，甲商店：y甲=0.8x，
乙书店：当0⩽x⩽200，y乙与x的函数关系式为y乙=x;
当x>200时，y乙=200+(x−200)×0.6=0.6x+80，
由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙=x,(0⩽x⩽200)0.6x+80,(x>200)．
(2)由y甲=0.8xy乙=0.6x+80可得x=400y=320,
∴A点坐标为(400,320)
A的实际意义是当买的书标价为400元时，去甲、乙两书店购书应付的费用相同，都是320元．
(3)由点A的意义，结合图象可知，
当x400，选择乙商店更省钱．
【解析】【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数的应用有关知识．
(1)根据题意给出的等量关系即可求出答案；
(2)把两函数关系式组成方程组求出交点坐标，从而即可解答；
(3)先求出两书店所需费用相同时的书本数量，从而可判断哪家书店省钱．
【解答】解：(1)由题意可得，甲商店：y甲=0.8x，
乙书店：当0⩽x⩽200，y乙与x的函数关系式为y乙=x;
当x>200时，y乙=200+(x−200)×0.6=0.6x+80，
由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙=x,(0⩽x⩽200)0.6x+80,(x>200)．
(2)由y甲=0.8xy乙=0.6x+80可得x=400y=320,
∴A点坐标为(400,320)
A的实际意义是当买的书标价为400元时，去甲、乙两书店购书应付的费用相同，都是320元．
(3)由点A的意义，结合图象可知，
当x400，选择乙商店更省钱．x
…
−3
−2
−1
0
1
2
…
y
…
9
5
1
−4
−7
−11
…
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
y
−4
−2
0
2
4
6
8