（人教A版）必修一高一数学上册 期末专项练习专题02 恒成立、能成立问题（2份，原卷版+教师版）

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1、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
2、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.
【题型归纳目录】
题型一：分离参数
题型二：判别式法
题型三：数形结合
题型四：多变量的恒成立问题
题型五：主元法
题型六：直接法
【典型例题】
题型一：分离参数
例1．已知.
(1)求函数f（x）的表达式；
(2)判断函数f（x）的单调性；
(3)若对恒成立，求k的取值范围．
【解析】（1）设，，可得.，即
（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，，
∵，∴，，∴∴，∴为R上的增函数．
（3）由对恒成立，
即对恒成立，
可得 ，
则 ，
，
.
设，，由（2）知，故原不等式可化为在恒成立，
，当时， ，∴，
∴的取值范围是．
例2．已知，函数定义域为.
(1)求的值（用含a的式子表示）；
(2)函数在单调递增，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若对内的任意实数x，不等式恒成立，求a的取值范围.
【解析】（1）由函数可得：；
（2）任取，则
因为函数在单调递增，所以.
因为，所以，，所以，
即在上恒成立.
因为，所以，所以，所以.
即实数a的取值范围为.
（3）由（1）可知，，所以不等式可化为：不等式.
因为在单调递增，所以恒成立，即在上恒成立.
记.
令，则，所以在上单调递增，所以.
所以，即实数a的取值范围为.
例3．已知函数，函数.
(1)若函数有唯一零点，求；
(2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围；
【解析】（1）当时,，函数有唯一零点，
当时，由，解得，函数有唯一零点1，
综上：或2；
（2）依题意得，即在上恒成立，
转化为在上恒成立，即上恒成立，
转化为在上恒成立．
令，则问题可转化为在上恒成立，
因为在上单调递减，所以当时，，
所以，所以的取值范围为.
变式1．已知函数，.
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)若关于x的不等式对于恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】（1）为奇函数.证明如下：
由，得，
令，则的定义域为，故定义域关于原点对称，
，故为奇函数，即为奇函数.
（2）由得，
，由于,所以，
由于，所以，故，
记，由于在上单调递增，故，所以，故的最大值为，所以
题型二：判别式法
例4．若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，分两种情况讨论：
①当时，即，
若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集；
若时，原不等式为，无解，不符合题意；
②当时，即，
若的解集是空集，则有，解得，
则当不等式的解集不为空集时，有或且，
综合可得：实数的取值范围为；故选：C．
例5．关于x的不等的解集为R，则a∈（ ）
A．B．(0，+∞)C．(0，1)D．
【答案】D
【解析】当时，对恒成立，符合题意；当时，构造，
要使对恒成立，由二次函数的图像可知：且，解得：，
综上：．故选：D．
例6．已知定义域为的函数是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)判断并证明函数的单调性；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围．
【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即，
，解得.故，.则
，符合题意
（2）由(1)中知，，由指数函数的单调性，在上单调递减，
证明：设，，，则，
由指数函数单调性可知，，即，故，即，
所以在上单调递减.
（3）因为是上的奇函数，
所以，
因为在上单调递减，所以，即，
从而对任意的，恒成立，
当时，不等式恒成立，满足题意；
当时，欲使对任意的，恒成立，
只需，解得.综上所述，k的取值范围为.
变式2．记函数（）．
(1)判断并证明的奇偶性；
(2)证明：当时，在上单调递增；
(3)当时，关于x的方程有解，求b的取值范围．
【解析】（1）为奇函数，证明如下：的定义域为，且对，
都有，故为奇函数；
（2）证明：任取且，
则，
由知：，，，即有，即，
故在上单调递增；
（3）当时，由得：，即，
令（），则关于t的方程（）有解，则，
解得或.
变式3．对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【解析】当，即时，恒成立，满足题意.当时，则有，解得：综上，实数的取值范围是故选：B
变式4．已知不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】D
【解析】当时，不等式为，即，不符合题意；当时，不等式对任意实数都成立，由一元二次函数性质可知，且判别式 ，
解得．故选:D．
题型三：数形结合
例7．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于，恒成立，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．
【解析】解：由题可知，的图象关于轴对称，且函数在上递减，由函数的图象特征可得在，上恒成立，得在，上恒成立，所以．故选：．
例8．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．，D．
【解析】解：函数在区间上单调递增，当时，，
若不等式恒成立，则且即，，故选：．
例9．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：函数在区间上单调递增，当时，，
若不等式恒成立，则且即，，故选：．
题型四：多变量的恒成立问题
例10．已知函数．
(1)若不等式的解集为，求不等式的解集；
(2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题意，为方程的两个不等实数根，
，所以不等式为，
解得或，所以不等式解集为.
（2）对恒成立，
令，即对恒成立，
因为函数开口向上，故只需满足，
解得，所以的取值范围为
（3）当时，，开口向上，对称轴为
当时，，，，时，，由题意，
对任意，总存在，使成立，即函数的值域是函数的值域的子集，
即，，解得，所以的取值范围为.
例11．已知函数，，
(1)当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；
(2)当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；
(3)若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，；
（2）因为，，且函数在，上单调递减，在，上单调递增，
又因为在，上的最大值为，所以，
即，整理可得，
所以，所以，即；
（3）由不等式对任意，，恒成立，
即，
可令，等价为在，上单调递增，
而，
分以下三种情况讨论：
①当即时，可得，解得，矛盾，无解；
②，即时，函数的图象的走向为减、增、减、增，
但是中间增区间的长度不足1，要想在，递增，只能，即，矛盾，无解；
③即时，此时在，上单调递增，
要想在，递增，只能，即，所以．
综上可得满足条件的的取值范围是．
例12．已知定义在上的函数满足，且，．
(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题意知，，
即，所以，
故，∴，
因为函数为增函数，函数在其定义域上单调递增，
所以单调递增，又 为增函数，所以函数在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，即恒成立，
设，则，，当且仅当，即时取等号，所以，
故实数a的取值范围是；
（2）因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，所以当时，，
∴，即存在，使成立，
令，因为在上单调递增，在上单调递增，
∴在上单调递增，∴，∴，
所以实数m的取值范围是.
变式6．已知函数.
(1)若存在实数，使得成立，试求的最小值；
(2)若对任意的，都有恒成立，试求的取值范围.
【解析】（1）由题意，由得，，即，
，令，则，
由于函数在为增函数，在为减函数，，即的最小值为1.
（2）二次函数的开口向上，对称轴为，
若对任意的，都有恒成立，
则当时，，
①当，即时，，
故，解得，又，故无解；
②当，即时，，
，
要使得，只需且，
故，
，故；
③当，即时，，
则，即，解得，与矛盾，无解.
综上，实数的取值范围是.
变式7．已知定义在R上的函数满足且，．
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；
(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
【解析】（1）由题意知，，
即，所以，故.
（2）由（1）知，，所以在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于， 即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时取等号，所以，
故实数a的取值范围是.
（3）因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，所以，
综上可知，实数m的取值范围是.
变式8．已知函数，
(1)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明；
(2)若对任意的时，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）在上单调递减，在上单调递增，
理由如下：取，且，
，
因为，，故，，
，所以，所以在上单调递减；
取，且，
，
因为，，故，，
，所以，所以在上单调递增；
（2）若对任意的时，恒成立，时，无意义，舍去，
当时，，此时无解，舍去，所以，
只需求出的最大值，
当时，单调递减，当时，单调递增，
故，
又因为，，故，
故，所以，因为，故解得：或
实数的取值范围是.
变式9．已知定义域为R的函数满足.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，都有恒成立，求实数x的取值范围；
(3)若使得，求实数a的取值范围.
【解析】（1），令，则，
故，所以；
（2）可看作关于的一次函数，
要想对任意的，都有恒成立，
只需要，
解①得：，解②得：，
则与求交集得，
实数x的取值范围是；
（3）若使得，只需在上成立，
的对称轴为，当时，在上单调递增，
所以，，
由，解得：，与取交集得：；
当时，在上单调递减，所以，，
由，解得：，与取交集得：；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
且，所以，，
由，解得：或，或与取交集得：，
当时，在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，，
，解得：或，或与取交集得：，
综上：或
实数a的取值范围是
变式10．设函数的定义域是，且对任意的正实数、都有恒成立，已知，且时.
(1)求与的值；
(2)求证：对任意的正数、，；
(3)解不等式.
【解析】（1）对任意的正实数、都有恒成立，
所以，，则，
，可得，，可得.
（2）证明：对任意的正实数、都有恒成立，
令，则，可得，对任意的正数、，则，
所以，，故.
（3）由，可得，
由（2）可知，函数在上为增函数.
所以，，解得或.故原不等式的解集为.
题型五：主元法
例13．已知函数对任意实数恒有，当时，，且
(1)判断的奇偶性；
(2)求函数在区间上的最大值；
(3)若恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）令，则，可得，
令，则，可得，
又定义域为R，故为奇函数.
（2）令，则，且，
因为时，，所以，
故，即在定义域上单调递减，
所以在区间上的最大值为.
（3）由（2），在上，
恒成立，即恒成立，
所以恒成立，显然时不成立，
则，可得；，可得；
综上，或.
例14．已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】恒成立，即，对任意得恒成立，
令，，当时，，不符题意，故，当时，函数在上递增，则，解得或（舍去），
当时，函数在上递减，则，解得或（舍去），综上所述，实数的取值范围是.故选：D.
例15．若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】命题“”为假命题，其否定为真命题，
即“”为真命题．令，
则，即，解得，所以实数x的取值范围为.故选：C
变式11．已知，，不等式恒成立，则的取值范围为
A．，，B．，，
C．，，D．
【答案】C
【解析】令，则不等式恒成立转化为在上恒成立．有，即，整理得：，解得：或．
的取值范围为．故选：C．
变式12．（1）关于的不等式的有解，求的取值范围.
（2）若不等式对满足的所有都成立，求的范围.
【解析】(1)不等式的化为：，而，于是得，即时，取最大值2，关于的不等式的有解，即存在实数x使不等式成立，则，
所以的取值范围是；
(2)不等式等价于，令，
于是有恒成立，而是一次型函数，因此得：，
即有，解得或，解得，综合得，所以的范围是.
题型六：直接法
例16．已知函数，其中实数.
(1)当时，的最小值为2，求实数a的值.
(2)记，设，若恒有解，求实数a的取值范围.
【解析】（1）由题意得：，
故在单调递增，在单调递减，当时，的最小值为2，
∴当时，，解得；
当时，，此时无解，
综上；
（2）在上恒有解，只需要；
当，即时，不成立，
当，即时， ，
①当，即，，解得，因此；
②当，，，解得，因此，
综上.
例17．已知函数（为实常数）.
（1）当时，试判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（2）设，若不等式在有解，求实数的取值范围.
【解析】（1）为上的增函数，证明如下：任取，且
则
所以；所以为上的增函数
（2）由，得
令，则有解，当且仅当
当即时，
当即时，
综上， 当时，.当时，
【过关测试】
一、单选题
1．若关于x的不等式在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−，5)B．(5，+)C．(−4，+)D．(−，4)
【答案】A
【解析】设，开口向上，对称轴为直线，所以要使不等式在区间(1，5)内有解，只要即可，即，得，所以实数a的取值范围为，故选：A
2．若不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，所以，设，，函数在时，函数单调递减，在时，函数单调递增，因为，，所以函数在时，最大值为，要想不等式在区间上有解，只需，故选：C
3．若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【解析】因正实数、满足，则，当且仅当时取“=”，又因不等式有解，于是得，即，解得或，
所以实数的取值范围是或.故选：B
4．当时，若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】不等式有解即不等式有解，令，
当时，，因为当时不等式有解，所以，实数的取值范围是，故选：A.
5．已知分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且（为自然对数的底数），若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意，，又分别为定义域为R的偶函数和奇函数，则，由解得，，，关于的不等式在上恒成立，等价于，令，，令，令，，所以，则，则.故实数的取值范围是.故选：C
6．已知函数，g（x）＝ax2＋2x＋a－1，若对任意的实数x1∈[0，＋∞)，总存在实数x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为对任意的实数x1∈[0，＋∞)，总存在实数x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以函数f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集．当0≤x0，此时函数g（x）的对称轴为，故函数g（x）在[0，＋∞)上单调递增，此时g（x）的值域为[a－1，＋∞)，由得，，即．综上可得：实数a的取值范围为．
故选：D．
7．已知函数满足，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为且，又单调递减，在定义域上单调递增，
所以在定义域上单调递减，因为在区间上恒成立，所以恒成立，所以，解得，即；故选：C
二、多选题
8．若，不等式恒成立，则实数m可以取的值有（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】ABC
【解析】当时，，成立；当时，，解得，综上所述，.
故选：ABC.
9．函数满足对定义域内任意两个实数、，都有成立，则该函数称为函数，下列函数为函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】对于A选项，函数的定义域为，对任意的、，
，函数为函数，A满足条件；
对于B选项，函数的定义域为，任取、，
，
函数为函数，B满足条件；
对于C选项，函数的定义域为，对任意的、，
，所以，，则函数为函数，C满足条件；
对于D选项，取，，则，，
此时，故函数不是函数，D不满足条件.故选：ABC.
三、填空题
10．设函数，，若对于，或成立，则实数m的取值范围为___________.
【答案】
【解析】当m=0时，，，所以对，或不恒成立，
当时，对，，则，要使对，或成立，
则对恒成立，因为的对称轴 ，所以，
解得，此时，当时，对，，则，
要使对，或成立，则，对恒成立，
因为的图象此时开口向下，，对不恒成立，所以实数m的取值范围为，
故答案为：
11．已知函数，对，使得成立，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】当时，，
当时，，则，
因为对，使得成立，所以，
所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.
12．若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是____________
【答案】
【解析】因为不等式对于任意恒成立，
即不等式对于任意恒成立，因为，所以，
所以不等式对于任意恒成立，令，，
因为在上单调递减，在上单调递增，所以，
即，所以，所以或，
解得或，即；故答案为：
四、解答题
13．已知定义域为，对任意，都有.当时，，且.
(1)求的值；
(2)判断函数单调性，并证明；
(3)若，都有恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）令，则，∴，
令，，则，又由，∴.
（2）设，
则，
又∵，∴，∴，∴，∴是上的单调递减函数.
（3）若，都有恒成立，
即，
∴，，恒成立，
令，，则，
∴，，恒成立，
由为上的单减函数，∴，，恒成立，
即使得成立，即，令，则即可，
①当时，在上单调递增，∴，∴；
②当时，在上单调递减，∴，∴；
③当时，∴，∴，∴.
综上所述：实数的取值范围为.
14．已知函数，．
(1)求函数的定义域；
(2)若不等式在上恒成立，求实数m取值范围．
【解析】（1），
函数定义域满足，解得，
函数的定义域为；
（2），所以，即
因为函数在上单调递增
所以在上恒成立，又，所以
又函数在上单调递增，所以
则.
15．已知函数.若为奇函数.
(1)求实数m的值；
(2)判断函数在上的单调性，并给予证明；
(3)若成立，求实数t的取值范围.
【解析】（1）因为为奇函数，且由得
所以，即.∴∴，∴
（2）由（1）得，在上为递减的函数.设对，且，则
∵，且，∴，∴
∴，即，所以在上单调递减.
（3）由题意得，
因为而∵，∴∴，
（令，则∴或）∴所以，∴.
15.已知函数为定义域上的奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)已知函数的定义域为，且满足，利用定义证明函数在定义域上单调递增:
(3)当时，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）的定义域为，
由，即，得，故，
（2），则，
设，且，则，
而，故，则，故在单调递增，
（3）时，，故即，
设，则对恒成立，
因为在上单调递增，所以当时，取最大值，故，
即的取值范围是.