2026年中考数学压轴题专项练习-方程与不等式中的新定义问题（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学压轴题专项练习-方程与不等式中的新定义问题（学生版+名师详解版），共42页。试卷主要包含了【阅读理解】，【情境呈现】，阅读理解，定义一种新运算，定义一种新运算“”，定义等内容，欢迎下载使用。
A．0或B．0或2C．2或D．0或或2
2．（2025秋•寻乌县期末）【阅读理解】
定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点在直线上，射线，，位于直线同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”．
【迁移运用】
（1）如图1，射线 （选填“是”或“不是” 射线，的“双倍和谐线”；射线 （选填“是”或“不是” 射线，的“双倍和谐线”；
（2）如图2，点在直线上，，，射线从出发，绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，当射线与射线重合时，运动停止．
①当射线是射线，的“双倍和谐线”时，求的值；
②若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”时，求的度数．
3．（2025春•姜堰区期末）【情境呈现】
在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：令、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为．
【灵活运用】
（1）若方程组的解为，则方程组的解为 ；
（2）若方程组的解为，其中为常数．
①求方程组的解：
②是否存在负整数，使得①中方程组的解满足，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
4．（2024秋•蓬江区校级期中）对任意四个有理数，，，，定义新运算：．
（1）若，则 ；
（2）若，求的值．
5．（2025春•东阳市期末）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于，的二元一次方程与是“相伴方程”，求正整数的值．
6．（2025春•西峡县期末）阅读理解
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．
问题解决
（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 ．（填序号）
（2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围；
（3）若方程，都是关于的不等式组的“子方程”，试求的取值范围．
7．（2025春•罗庄区期末）定义一种新运算：，例：，．
（1）解不等式：；
（2）若，
①求函数解析式，指出取值范围：在坐标系中画出函数图象；
②写出函数与的图象的交点个数．
8．（2025春•淮安期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，．
（1）填空： ， ；
（2）若，则的取值范围为 ；
（3）已知，求的取值范围．
9．（2025春•石林县期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，如果两个不等式的解集相同，则称不等式与为同解不等式．
（1）若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值；
（2）若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是整数，试求，的值．
10．（2025春•常熟市期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程的解为，而一元一次不等式的解集为，不难发现在范围内，则一元一次方程是一元一次不等式的“伴随方程”．
（1）在①，②，③，三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“伴随方程”的有 （填序号）；
（2）若关于的一元一次方程是关于一元一次不等式的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于的一元一次不等式的“伴随方程”．
①求的取值范围；
②直接写出代数式的最大值．
11．（2025春•浦东新区期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．例如： 的解为，则该方程是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：
（1）判断方程 （回答“是”或“不是” “奇异方程”；
（2）若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求的值；若没有，请说明理由．
12．（2025春•即墨区期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号）
（2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？
13．（2025春•扬州月考）阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．
例如：解方程．
解：，
在数轴上与原点距离为6的点对应的数为，即该方程的解为．
【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
我们定义：形如“，，，” 为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
由图1可以得出：绝对值不等式的解集是或，
绝对值不等式的解集是．
例如：解不等式．
解：如图2，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程的解为 ．
（2）不等式的解集是 ．
（3）不等式的解集是 ．
（4）不等式的解集是 ．
（5）若对任意的都成立，则的取值范围是 ．
14．（2025春•温江区校级期中）我们定义一种新的运算“”；对于两个数进行“”运算时，同号相乘，异号相除，0与任何数进行“”
运算，结果为0．例如：，，．
（1） ；
（2）对于任意有理数，，计算：；
（3）比较大小； 0（填“”或“” ；若，且，求的值；
（4）在（3）的条件下，求代数式的值．
15．（2025春•巴中期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
（1）请判断方程与方程是否互为“美好方程”；
（2）若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值；
（3）若关于方程与是“美好方程”，求关于的方程的解．
16．（2025春•朝阳区校级期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”．
（1）若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值．
（2）若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为，求的值．
17．（2025秋•余姚市月考）【阅读理解】
若，，为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离2倍，我们就称点是，的“妙点”．例如，如图1，点表示的数为，点表示的数为2．表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是，的“妙点”．又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是，的“妙点”，但点是，的“妙点”．
【知识应用】
如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4．
（1）数3 （填“是”或“不是” ，的“妙点”，数2 （填“是”或“不是” ，的“妙点”．
（2）若数轴上有一点表示的数是，且点是，的妙点，求的值．
（3）如图3，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当为何值时，点，和中恰有一个点为其余两点的“妙点”？（请直接写出答案）
18．（2025春•岳麓区校级期末）新定义：对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，，，试解决下列问题：
（1）填空：
① 为圆周率），
②如果，则实数的取值范围 ；
（2）若点位于第一象限，其中，是方程组的解，求的取值范围：
（3）若是正整数），例：（3）．下列结论：
①（1）；②；③；④或1．
正确的有 （填序号）．
19．（2025秋•锦江区校级期末）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“友好方程”．
（1）已知关于的方程：①，②，
以上哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？
请直接写出正确的序号是 ．
（2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请求出的值．
（3）如关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请直接写出的值．
20．（2025春•庐阳区校级期中）阅读以下材料：对于三个数，，，用，，表示这三个数的平均数，用，，表示这三个数中最小的数．例如：，2，，，2，；，2，．
解决下列问题：
（1）如果，，，则的取值范围为 ．
（2）如果，，，，，求的值．
（3）根据（2），你发现结论“若，，，，”，那么，，之间有怎样的大小关系？简单说明理由．
21．（2025•宝应县一模）对于实数、，定义一种新运算“☆”，规定如下：☆．例如3☆．
（1）若1☆，则满足条件的值为 ；
（2）对于☆，存在两个不同的数值，求的取值范围；
（3）若2☆☆2时，求的取值范围．
22．（2025秋•市中区期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定☆．如：1☆．
（1）☆ ；
（2）若☆☆，求的值；
（3）“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式、的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则．若2☆，☆（其中为有理数），试比较，的大小．
23．（2025秋•仓山区期末）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足为正数），则称方程与方程是“差解方程”．
（1）请通过计算判断关于的方程与关于的方程是不是“2差解方程”；
（2）若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，求的值；
（3）若关于的方程，与关于的方程是“差解方程”，试用含的式子表示．
24．（2025秋•达川区校级期末）阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝ ，x+y＝ ；
（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值．
25．（2025春•井研县期末）深化理解：
新定义：对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为，
即：当为非负整数时，如果，则；
反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：，，，，
试解决下列问题：
（1）填空：① 为圆周率）；
②如果，则实数的取值范围为 ．
（2）若关于的不等式组的整数解恰有3个，求的取值范围．
（3）求满足的所有非负实数的值．
1．（2025•路北区校级一模）定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为
A．0或B．0或2C．2或D．0或或2
【解答】解：，，
，
①时，，解得；
②时，，解得或（舍；
③时，，解得或（舍；
④时，方程无解；
综上所述：方程的解为或或，
故选：．
二．解答题（共29小题）
2．（2025秋•寻乌县期末）【阅读理解】
定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点在直线上，射线，，位于直线同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”．
【迁移运用】
（1）如图1，射线 不是 （选填“是”或“不是” 射线，的“双倍和谐线”；射线 （选填“是”或“不是” 射线，的“双倍和谐线”；
（2）如图2，点在直线上，，，射线从出发，绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，当射线与射线重合时，运动停止．
①当射线是射线，的“双倍和谐线”时，求的值；
②若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”时，求的度数．
【解答】解：（1）平分，
，
射线不是射线，的“双倍和谐线”；
平分，
．
射线是射线，的“双倍和谐线”．
故答案为：不是；是；
（2）①由题意得：，．
射线是射线，的“双倍和谐线”，
或．
当时，如图，
则：．
解得：．
当时，如图，
则：．
解得：．
综上，当射线是射线，的“双倍和谐线”时，的值为或．
②由题意得：，，，．
当射线与射线重合时，运动停止，
此时．
．
．
当秒时，运动停止，此时．
射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”，
或．
当时，如图，
即：，
则：．
解得：．
．
当时，如图，
即：．
则：．
解得：．
．
综上，当射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”时，的度数为或．
3．（2025春•姜堰区期末）【情境呈现】：
在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：令、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为．
【灵活运用】：
（1）若方程组的解为，则方程组的解为 ；
（2）若方程组的解为，其中为常数．
①求方程组的解：
②是否存在负整数，使得①中方程组的解满足，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意得
，
解得；
故答案为：；
（2）①由题意可得：
解得，
②由①得：，
，
，
，
又为负整数，
不存在负整数使得①中方程组的解满足．
4．（2024秋•蓬江区校级期中）对任意四个有理数，，，，定义新运算：．
（1）若，则 3 ；
（2）若，求的值．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：；
故答案为：3；
（2）由已知得，，
整理得：，
当时，；
当时，方程有无数解．
5．（2025春•东阳市期末）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于，的二元一次方程与是“相伴方程”，求正整数的值．
【解答】解：（1）一元一次方程与分式方程不是“相似方程”，理由如下：
解一元一次方程，
解得：，
解分式方程，
解得：，
检验：当时，，
原分式方程无解，
一元一次方程与分式方程不是“相似方程”；
（2）由题意，两个方程由相同的整数解，
，
，
①当时，方程无解，
②当，即时，，即，
，均为整数，
，2，，，
又取正整数，
或3．
6．（2025春•西峡县期末）阅读理解：
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．
问题解决：
（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 ③ ．（填序号）
（2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围；
（3）若方程，都是关于的不等式组的“子方程”，试求的取值范围．
【解答】解：（1）①，
解得：，
②，
解得：，
③，
解得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
不等式组的“子方程”是：③，
故答案为：③；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
，
解得：，
方程是不等式组的“子方程”，
，
解得：；
（3），
解得：，
，
解得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
方程，都是关于的不等式组的“子方程”，
，
解得：．
7．（2025春•罗庄区期末）定义一种新运算：，例：，．
（1）解不等式：；
（2）若，
①求函数解析式，指出取值范围：在坐标系中画出函数图象；
②写出函数与的图象的交点个数．
【解答】解：（1）由题知，
当，即时，．
又，即，解得，
所以．
当，即时，．
又，即，解得．
所以．
综上所述：
此不等式得解集为：或．
（2）由题知，
当时，．
当时，．
所以函数解析式为：，
函数图象如图所示：
②因为，所以，
则．
所以当时，两个函数的图象交点个数为1，
当时，两个图象的交点个数为2．
故时，交点个数为1；时，交点个数为2．
8．（2025春•淮安期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，．
（1）填空： ， ；
（2）若，则的取值范围为 ；
（3）已知，求的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：；
；
故答案为：；；
（2），
，
，
，
，
故答案为：；
（3）分两种情况：
当时，即时，
，
，
，
，
，
（舍去）；
当时，即时，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述：的取值范围为．
9．（2025春•石林县期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，如果两个不等式的解集相同，则称不等式与为同解不等式．
（1）若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值；
（2）若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是整数，试求，的值．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，
，
不等式，不等式是同解不等式，
，
解得：，
的值为；
（2），
，
，
，
不等式，不等式是同解不等式，
，
，
，是整数，
，或，或，或，．
10．（2025春•常熟市期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程的解为，而一元一次不等式的解集为，不难发现在范围内，则一元一次方程是一元一次不等式的“伴随方程”．
（1）在①，②，③，三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“伴随方程”的有 ②③ （填序号）；
（2）若关于的一元一次方程是关于一元一次不等式的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于的一元一次不等式的“伴随方程”．
①求的取值范围；
②直接写出代数式的最大值．
【解答】解：（1）①，
，
，
；
②，
，
，
；
③，
，
，
；
，
，
，
，
，
在①，②，③，三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“伴随方程”的有②③，
故答案为：②③；
（2）①，
，
，
，
，
，
，
，
方程是关于一元一次不等式的“伴随方程”，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
方程不是关于的一元一次不等式的“伴随方程”，
，
，
，
综上所述：，
的取值范围为：；
②，
当时，的值最大，最大值，
代数式的最大值是7．
11．（2025春•浦东新区期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．例如： 的解为，则该方程是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：
（1）判断方程 不是 （回答“是”或“不是” “奇异方程”；
（2）若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求的值；若没有，请说明理由．
【解答】解：（1），
解得，
，
，
不是奇异方程．
故答案为：不是．
（2），
，
，
，
即时有符合要求的“奇异方程”．
12．（2025春•即墨区期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ①② ；（填序号）
（2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？
【解答】解：（1）①，
，
，
，
；
②，
，
；
③，
，
，
，
；
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
不等式组的“关联方程”是①②，
故答案为：①②；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
，
，
，
关于的方程是不等式组的“关联方程”，
，
解得：，
的取值范围为：．
13．（2025春•扬州月考）阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．
例如：解方程．
解：，
在数轴上与原点距离为6的点对应的数为，即该方程的解为．
【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
我们定义：形如“，，，” 为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
由图1可以得出：绝对值不等式的解集是或，
绝对值不等式的解集是．
例如：解不等式．
解：如图2，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程的解为 ， ．
（2）不等式的解集是 ．
（3）不等式的解集是 ．
（4）不等式的解集是 ．
（5）若对任意的都成立，则的取值范围是 ．
【解答】解：（1）方程的解为：，．
（2）
根据数轴，方程的解为：，即到0的距离为4的点对应的数为，4，
则的解集为到0的距离大于4的点对应的所有数，
所以原不等式的解集为或．
（3），
，
，
根据数轴，方程的解为：，，即到的距离为4的点对应的数为2，，
则的解集为到的距离小于4的点对应的所有数，
所以原不等式的解集为．
（4）
根据数轴，方程的解，即到和3的距离为4的点对应的数为在和3之间的数都符合，
则的解集为在左边和3右边所有的数，
所以原不等式的解集为或．
（5）方程的解，即到3的距离和到的距离之差为的点对应的数，
则的解集分三种在左侧，在和3之间，在3右侧的取值范围，
①当时，不等式，
②当时，不等式，又，，，
③当时，不等式，
所以．
14．（2025春•温江区校级期中）我们定义一种新的运算“”；对于两个数进行“”运算时，同号相乘，异号相除，0与任何数进行“”
运算，结果为0．例如：，，．
（1） ；
（2）对于任意有理数，，计算：；
（3）比较大小； 0（填“”或“” ；若，且，求的值；
（4）在（3）的条件下，求代数式的值．
【解答】解：（1），
；
故答案为：；
（2），
当时，，
当时，，
当时，；
（3），
，
若时，，，
，
，
，
；
故答案为：1；
（4）当时，原式．
15．（2025春•巴中期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
（1）请判断方程与方程是否互为“美好方程”；
（2）若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值；
（3）若关于方程与是“美好方程”，求关于的方程的解．
【解答】解：（1）方程与方程是互为“美好方程”，理由：
解方程得：
，
方程的解为：
．
，
方程与方程是互为“美好方程”；
（2）关于的方程的解为：，
方程的解为：，
关于的方程与方程是“美好方程”，
，
；
（3）方程的解为：，
关于方程与是“美好方程”，
方程的解为：．
关于的方程就是：，
，
．
关于的方程的解为：．
16．（2025春•朝阳区校级期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”．
（1）若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值．
（2）若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为，求的值．
【解答】解：（1）方程解为，
关于的方程与方程是“友好方程”，
关于的方程的解为，
，
；
（2）某“友好方程”的一个解为，
“友好方程”的另一个解为，
或，
或．
．
17．（2025秋•余姚市月考）【阅读理解】
若，，为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离2倍，我们就称点是，的“妙点”．例如，如图1，点表示的数为，点表示的数为2．表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是，的“妙点”．又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是，的“妙点”，但点是，的“妙点”．
【知识应用】
如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4．
（1）数3 不是 （填“是”或“不是” ，的“妙点”，数2 （填“是”或“不是” ，的“妙点”．
（2）若数轴上有一点表示的数是，且点是，的妙点，求的值．
（3）如图3，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当为何值时，点，和中恰有一个点为其余两点的“妙点”？（请直接写出答案）
【解答】解：（1），，且5不等于1的2倍，
表示的点不是，的“妙点”，
，，且2不等于4的2倍，
表示的数不是，的“妙点”，
故答案为：不是，不是．
（2）若点在、两点之间，则，
解得；
若点在点的左侧，则，
解得；
若点在点的右侧，则，且，
解得，不符合题意，舍去，
综上所述，的值为0或．
（3）由图可知，，，，
根据题意可得，，
当点是，的“妙点”时，则，
解得；
当点是，的“妙点”时，则
解得；
当点是，的“妙点”时，则，
解得；
当点是，的“妙点”时，则，
解得，不符合题意；
当点是，的“妙点”时，则，
解得；
当点是，的“妙点”时，则，
解得，不符合题意；
综上，为10秒、20秒、15秒时，点，和中恰有一个点为其余两点的“妙点”．
18．（2025春•岳麓区校级期末）新定义：对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，，，试解决下列问题：
（1）填空：
① 3 为圆周率），
②如果，则实数的取值范围 ；
（2）若点位于第一象限，其中，是方程组的解，求的取值范围：
（3）若是正整数），例：（3）．下列结论：
①（1）；②；③；④或1．
正确的有 （填序号）．
【解答】解：（1）①根据题意知；
②，
，
解得，
故答案为：①3；②．
（2）解关于，是方程组得，
点位于第一象限，
，
解得，
则，
；
（3）（1），故①正确；
，故②正确；
当时，，而（3），故③错误；
当为自然数）时，，当为其它的正整数时，，所以④正确；
故答案为：①②④．
19．（2025秋•锦江区校级期末）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“友好方程”．
（1）已知关于的方程：①，②，
以上哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？
请直接写出正确的序号是 ② ．
（2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请求出的值．
（3）如关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请直接写出的值．
【解答】解：（1）的解为，
方程的解是，；故不是“友好方程”；
方程的解是或，当时，，故是“友好方程”，
故答案为：②
（2）方程的解是或，一元一次方程的解是，
若，，则，解得；
若，，则，解得；
答：的值为97或95．
（3），解得，
，
；
；
；
即．
分母不能为0；
，即；
；
答：的值为16．
20．（2025春•庐阳区校级期中）阅读以下材料：对于三个数，，，用，，表示这三个数的平均数，用，，表示这三个数中最小的数．例如：，2，，，2，；，2，．
解决下列问题：
（1）如果，，，则的取值范围为 ．
（2）如果，，，，，求的值．
（3）根据（2），你发现结论“若，，，，”，那么，，之间有怎样的大小关系？简单说明理由．
【解答】解：（1）由，，，
得，
解得，
故答案为：；
（2），，，，，
而，，，
，
解得：，
；
（3），
理由：由，，，，，可令，即；
又，
解之得：，；
把代入 可得；
把代入可得；
；
将代入得；
．
21．（2025•宝应县一模）对于实数、，定义一种新运算“☆”，规定如下：☆．例如3☆．
（1）若1☆，则满足条件的值为 2或 ；
（2）对于☆，存在两个不同的数值，求的取值范围；
（3）若2☆☆2时，求的取值范围．
【解答】解：（1）☆，
，即，
，
或，
或，
故答案为：2或；
（2）由题意得：，
即，，
存在两个不同的数值，
，
解得，且．
（3）由题意得：，
解得，或．
22．（2025秋•市中区期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定☆．如：1☆．
（1）☆ ；
（2）若☆☆，求的值；
（3）“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式、的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则．若2☆，☆（其中为有理数），试比较，的大小．
【解答】解：（1）原式
；
故答案为：．
（2）根据题意得：
整理得，
解得：；
（3）已知等式整理得：，，
，
．
23．（2025秋•仓山区期末）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足为正数），则称方程与方程是“差解方程”．
（1）请通过计算判断关于的方程与关于的方程是不是“2差解方程”；
（2）若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，求的值；
（3）若关于的方程，与关于的方程是“差解方程”，试用含的式子表示．
【解答】解：（1）的解为，
的解为，
，
关于的方程与关于的方程是“2差解方程”；
（2）方程的解为，
方程的解为，
两个方程是“差解方程”，
，
，
或；
（3）方程的解为，
方程的解为，
两个方程是“差解方程”，
，
，
或．
24．（2025秋•达川区校级期末）阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝ ﹣1 ，x+y＝ 5 ；
（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值．
【解答】解：（1），
由①﹣②得：x﹣y＝﹣1，
①+②得：3x+3y＝15，
∴x+y＝5，
故答案为：﹣1，5；
（2）设铅笔单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
由题意得：，
由①×2﹣②得：m+n+p＝6，
∴5m+5n+5p＝5×6＝30，
答：购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需30元；
（3）由题意得：，
由①×3﹣②×2可得：a+b+c＝﹣11，
∴1*1＝a+b+c＝﹣11．
25．（2025春•井研县期末）深化理解：
新定义：对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为，
即：当为非负整数时，如果，则；
反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：，，，，
试解决下列问题：
（1）填空：① 3 为圆周率）；
②如果，则实数的取值范围为 ．
（2）若关于的不等式组的整数解恰有3个，求的取值范围．
（3）求满足的所有非负实数的值．
【解答】解：（1）①由题意可得：；
故答案为：3，
②，
；
故答案为：；
（2）解不等式组得：，
由不等式组整数解恰有3个得，，
故；
（3），为整数，
设，为整数，则，
，
，，
，
，1，2，
则，，．