2026年中考数学压轴题专项练习-猜想归纳思想（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学压轴题专项练习-猜想归纳思想（学生版+名师详解版），共49页。试卷主要包含了观察图，解答下列问题，观察下面的几个算式，阅读材料，观察下列各式的大小关系等内容，欢迎下载使用。
解：，如图1，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是求的最小值．
设点关于轴的对称点为，则，因此，求的最小值，只需求的最小值，而点、间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以，即原式的最小值为．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
【基础训练】（1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点 的距离之和；（填写点的坐标）
【能力提升】（2）求代数式的最小值为 ；
【拓展升华】（3）如图2，在等腰直角中，，点，分别为，上的动点，且．当的值最小时，求的长．
2．（2024秋•安溪县校级月考）观察图，解答下列问题．
（1）图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第七层有几个小圆圈？第层呢？
（2）某一层上有77个圆圈，这是第几层？
（3）数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．
比如：前两层的圆圈个数和为或，
由此得，．
同样，
由前三层的圆圈个数和得：．
由前四层的圆圈个数和得：．
由前五层的圆圈个数和得：．
根据上述请你猜测，从1开始的个连续奇数之和是多少？用公式把它表示出来．
（4）计算：的和；
（5）计算：的和．
3．（2024秋•东海县期末）某餐厅中，一张桌子可坐6人，有如图所示的两种摆放方式：
（1）当有张桌子时，第一种摆放方式能坐 人；
第二种摆放方式能坐 人；（结果用含的代数式直接填空）
（2）一天中午餐厅要接待52位顾客同时就餐，但餐厅只有13张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算如何用这两种方式摆放餐桌，才能让顾客恰好坐满席？说明理由．
4．（2024春•市中区校级期末）观察下面的几个算式：
①；
②；
③；
（1）仿照上面的书写格式，请迅速写出的结果；
（2）请你自己模仿上面数的特点再举出一个例子，并按照上面格写出结果；
（3）用多项式的乘法验证你所发现的规律（提示：可设这两个两位数分别是，，其中
5．（2024秋•睢宁县期中）如图，在一些大小相等的正方形内分别紧密排列着一些等圆．
（1）根据你的观察与分析，你认为正方形内圆的数目是否呈规律性的变化？如果是，则第个图形中共有 个圆；
（2）若正方形的边长是，分别计算图①、②、③中阴影部分的面积；
（3）分析（2）中计算的结果，你有什么发现？请你求出第个图形中阴影部分的面积来说明你的发现．
6．如图1，在中，，，点在线段上移动，点在射线上，满足，设，．
（1）甲同学通过画图和测量得到以下近似数据：
猜想：与是什么函数关系，根据数据求出这个函数表达式．
（2）乙同学觉得甲同学的猜想肯定是对的，但猜想不能代替证明，于是他利用甲的猜想，发现，只要能证明，那么（1）中猜想就可以证明了，然而怎么证明呢？丙同学觉得可以构造，使得，再证明，请你根据两位同学的想法，完成（1）中猜想的证明．
（3）如图2，作，，垂足分别为，，，，求的面积．
7．（2025春•宝塔区期末）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动．
（1） ， ，点的坐标为 ；
（2）当点移动4秒时，请指出点的位置，并求出点的坐标；
（3）在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，求点移动的时间．
8．（2025春•市南区校级月考）阅读材料：
大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：？经过研究，这个问题的一般性结论是，其中是正整数．
问题提出：在这个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于，共有多少种取法？
问题解决：
我们研究数学问题时经常采用“特殊到一般”的解决问题的思想，因此我们首先取几个特殊值试试．
（1）在这5个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于5，共有多少种取法？我们可以这样来研究：若最小的数取1，则另一个数只能取5，有一种取法；若最小的数取2，则另一个数可以取4、5，有两种取法；若最小的数取3，则另一个数可以取4、5，有两种取法；若最小的数取4，则另一个数只能取5，有一种取法；所以共有种取法．
（2）在这6个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于6，共有多少种取法？我们可以这样来研究：若最小的数取1，则另一个数只能取6，有一种取法；若最小的数取2，则另一个数可以取5、6，有两种取法；若最小的数取3，则另一个数可以取4、5、6，有三种取法；若最小的数取4，则另一个数可以取5、6，有两种取法；若最小的数取5，则另一个数只能取6，有一种取法；所以共有种取法．
请继续探究并直接填写答案：
（3）在这7个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于7，共有 种取法．
（4）在这8个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于8，共有 种取法．
经过以上尝试，我们就可以找到问题的答案：
①当为奇数时，在这个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于，共有多少种取法？
根据前面的探究，我们可以列出算式，化简后，共有 种取法．
②当为偶数时，在这个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于，共有多少种取法？请你列出算式、化简并写出结论．
新知运用：
某次知识竞赛中，一共有20个小题，对应的分值为分，某选手从中任选两题，得分高于20分的可能性共有 种．
问题拓展：
各边长都是整数，最大边长为12的三角形有多少个？请直接说出答案．
9．（2025春•乐陵市期中）随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】【类比应用】【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题，
阅读观察：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如，化简．
解：将分子、分母同乘以得，．
类比应用：
（1）化简： ；
（2）化简：．
拓展延伸：
宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
（3）黄金矩形的长 ；
（4）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论：
（5）在图②中，请连接，则点到线段的距离为 ．
10．（2025秋•建邺区校级月考）（1）观察下列各式的大小关系：
；
；
；
．
归纳： （用“”或“”或“”或“”或“”填空）；
【应用】
（2）根据上题中得出的结论，若，，求的值．
【延伸】
（3），，满足什么条件时，．
11．（2025•李沧区二模）【阅读理解】
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．
例如：求的值（其中是正整数）．
如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求的值，方案如下：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，，个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有行，每行有个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即．
【问题提出】
求的值（其中是正整数）．
【问题解决】
为解决上述问题，我们借鉴已有的经验，采用由特殊到一般，归纳的研究方法，利用数形结合法，借助图形进行推理获得结论．
探究1
如图2，可以看成1个的正方形的面积，即．
探究2
如图3，表示1个的正方形，其面积为：；表示1个的正方形，其面积为：；，分别表示1个的长方形，其面积的和为：；，，的面积和为，而，，，恰好可以拼成一个的大正方形．
由此可得：．
探究3
请你类比上述探究过程，借助图形探究： ．（要求自己构造图形并写出推证过程）
【结论归纳】
将上述探究过程发现的规律，推广到一般情况中去，通过归纳，我们便可以得到： ．（要求直接写出结论，不必写出推证过程）
【结论应用】
图4是由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？
为了准确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即数出棱长分别是1，2，3，4，5，6的正方体的个数，再求总和．
例如：棱长是1的正方体有：个，
棱长是2的正方体有：个，
棱长是6的正方体有：个；
然后利用上面归纳的结论，通过计算，可得图4中大小正方体的个数为 ．
【逆向应用】
如果由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，大小正方体一共有36100个，那么棱长为1的小正方体的个数为 ．
【拓展探究】
观察下列各式：；；；；
若为正整数）按上面规律展开后，发现等式右边含有“2025”这个数，则的值 ．
12．（2025春•青岛期末）【提出问题】
一个边形，内部有个点，用这些点以及边形的个顶点，可把原三角形分割成多少个互不重叠的小三角形？
【探究问题】
为了解决上面的问题，我们先从简单和具体的情形入手：
探究一：以的三个顶点和它内部的1个点，共4个点为顶点，可把分割成3个互不重叠的小三角形．（如图①
探究二：以的三个顶点和它内部的2个点，共5个点为顶点，可把分割成5个互不重叠的小三角形．
探究三：以的三个顶点和它内部的3个点，共6个点为顶点，可把分割成7个互不重叠的小三角形．
【解决问题】
以的三个顶点和它内部的个点，共个点为顶点，可把分割成 个互不重叠的小三角形．
【拓展探究】一个正方形内部有若干个点，用这些点以及正方形的四个顶点、、、，可把原正方形分割成多少个互不重叠的小三角形？完成下列表格．
（1）填写下表：
（2）原正方形能否被分制成2024个三角形？若能，此时正方形内有多少个点？若不能，请说明理由？
【实际应用】
以五边形的5个点和它内部的2025个点，共2027个顶点，可把原五边形分割成 个互不重叠的小三角形．
【归纳总结】
边形的内部的个点，共个点作为顶点，可把原边形分割成 个互不重叠的小三角形．
13．（2025春•莱芜区月考）第一次用一条直径将圆周分成两个半圆（如图），在每个分点标上质数，记2个数的和为；第二次将两个半圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：
．
观察发现
； ．
初步应用
利用（1）的结论，解决以下问题：
①把拆成两个分子为1的正的真分数之差，即 ；
②把拆成两个分子为1的正的真分数之和，即 ；
深入探究
定义“”是一种新的运算，若，，，则计算的结果是 ．
两个数的和的，记4个数的和为；第三次将四个圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记8个数的和为；第四次将八个圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记16个数的和为；，如此进行了次．
① （用含有，的代数式表示）；
②若，求的值．
14．（2025秋•海淀区校级期末）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，依此类推，第个数记为为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中，，，，，，规定运算．即从这列数的第一个数开始依次加到第个数，如在上面的一列数中，．
（1）已知一列数1，，3，，5，，7，，9，，那么 ， ；
（2）已知这列数1，，3，，5，，7，，9，，，按照规律可以无限写下去，那么 ， ；
（3）在（2）的条件下，若存在正整数使等式成立，直接写出的值．
15．（2025春•长宁区校级期中）沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数、、、满足，那么就可以交换、的位置，这称为一次操作．
（1）如图1，圆周上放着数1、2、3、4、5、6，问：能否经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数、、、，都有？如果能，请在图2中填写出满足要求的最后结果；如果不能，请说明理由． （2）若圆周上从小到大按顺时针依次放着2025个正整数1、2、3、、2025，问：能否经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数、、、，都有？请说明理由．
16．（2025春•东湖区期中）观察下列各等式：
①
②
③
④
（1）按以上等式规律，请完成第⑤个等式 ；
（2）按以上等式规律，请完成第个等式 ，并证明这个等式的正确性；
（3）直接写出等式右边等于20251的等式．
17．（2025•德州模拟）阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依次类推，排在第位的数称为第项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，，，．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示．如：数列1，3，5，7，为等差数列，其中，，公差为．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列5，10，15，的公差为 ，第5项是 ．
（2）如果一个数列，，，，，是等差数列，且公差为，那么根据定义可得到：，，，，，．
所以，
，
，
由此，请你填空完成等差数列的通项公式： ．
（3）是不是等差数列，，的项？如果是，是第几项？
（4）如果一个数列，，，，，是等差数列，且公差为，前项的和记为，请用含，，的代数式表示， ．
18．（2025春•赣榆区期中）已知：在中，．
【感知】在图1中、的角平分线交于点，则可计算的角度，请写出计算过程；
【探究】（1）在图2中，设、的两条三等分角线分别对应交于、，请你计算出的度数；
（2）请你猜想，当、同时被等分时，条等分角线分别对应交于、，如图3，则 （用含和的代数式表示）．
【拓展】如图4，在四边形中，，当、同时被等分时，条等分角线分别对应交于、，如图4，则的度数是 ．
19．（2025春•垫江县校级月考）阅读材料，回答下列问题：
有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504．
（1）若一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数．经过探索发现，原三位数与其反序数之差的绝对值始终等于198，请说明理由．
（2）若一个两位数，与其反序数之和是一个整数的平方，请求出满足上述条件的所有两位数．
20．（2025•开平区一模）设，，，容易知道，，，如果一个数能表示为8的倍数，我们就说它能被8整除，所以，，都能被8整除．
（1）试探究是否能被8整除，并用文字语言表达出你的结论．
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，试找出，，这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并说出当满足什么条件时，为完全平方数．
1．（2025春•鄂城区期中）【阅读材料】说明代数式的几何意义，并求它的最小值．
解：，如图1，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是求的最小值．
设点关于轴的对称点为，则，因此，求的最小值，只需求的最小值，而点、间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以，即原式的最小值为．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
【基础训练】（1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点 或 的距离之和；（填写点的坐标）
【能力提升】（2）求代数式的最小值为 ；
【拓展升华】（3）如图2，在等腰直角中，，点，分别为，上的动点，且．当的值最小时，求的长．
【解答】解：（1）原式化为的形式，
代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点或的距离之和，
故答案为，；
（2）原式化为的形式，
所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和，
如图所示：设点关于轴的对称点为，则，
的最小值，只需求的最小值，而点、间的直线段距离最短，
的最小值为线段的长度，
，，
，，，
，
代数式的最小值为10．
（3）过点作，使得，连接，过点作于点．
，，，
，
，
，
当，，共线时，的值最小，
，
，
．
故答案为：．
2．（2024秋•安溪县校级月考）观察图，解答下列问题．
（1）图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第七层有几个小圆圈？第层呢？
（2）某一层上有77个圆圈，这是第几层？
（3）数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．
比如：前两层的圆圈个数和为或，
由此得，．
同样，
由前三层的圆圈个数和得：．
由前四层的圆圈个数和得：．
由前五层的圆圈个数和得：．
根据上述请你猜测，从1开始的个连续奇数之和是多少？用公式把它表示出来．
（4）计算：的和；
（5）计算：的和．
【解答】解：（1）第七层有13个小圆圈，第层有个小圆圈；
（2）令，
得，．
所以，这是第39层；
（3）；
（4）；
（5）
．
3．（2024秋•东海县期末）某餐厅中，一张桌子可坐6人，有如图所示的两种摆放方式：
（1）当有张桌子时，第一种摆放方式能坐 人；
第二种摆放方式能坐 人；（结果用含的代数式直接填空）
（2）一天中午餐厅要接待52位顾客同时就餐，但餐厅只有13张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算如何用这两种方式摆放餐桌，才能让顾客恰好坐满席？说明理由．
【解答】解：（1）第一种：1张桌子可坐人数为：；2张桌子可坐人数为：；3张桌子可坐人数为：；
故当有张桌子时，能坐人数为：，即人；
第二种：1张桌子能坐人数为：；2张桌子能坐人数为：；3张桌子能坐人数为：；
故当有张桌子时，能坐人数为：，即人．
（2）因为设，解得．的值不是整数．
，解得．
所以需要两种摆放方式一起使用．
①若13张餐桌全部使用：
设用第一种摆放方式用餐桌张，则由题意可列方程．
解得．
则第二种方式需要桌子：（张．
②若13张餐桌不全用．当用11张按第一种摆放时，（人．
而（人，用一张餐桌就餐即可．
答：当第一种摆放方式用10张，第二种摆放方式用3张，或第一种摆放方式用11张，再用1张餐桌单独就餐时，都能恰好让顾客坐满席．
故答案为：（1），．
4．（2024春•市中区校级期末）观察下面的几个算式：
①；
②；
③；
（1）仿照上面的书写格式，请迅速写出的结果；
（2）请你自己模仿上面数的特点再举出一个例子，并按照上面格写出结果；
（3）用多项式的乘法验证你所发现的规律（提示：可设这两个两位数分别是，，其中
【解答】解：（1）
（2）例如：
（3）证明：设这两个两位数分别是，，其中
则：
即：
5．（2024秋•睢宁县期中）如图，在一些大小相等的正方形内分别紧密排列着一些等圆．
（1）根据你的观察与分析，你认为正方形内圆的数目是否呈规律性的变化？如果是，则第个图形中共有 个圆；
（2）若正方形的边长是，分别计算图①、②、③中阴影部分的面积；
（3）分析（2）中计算的结果，你有什么发现？请你求出第个图形中阴影部分的面积来说明你的发现．
【解答】解：（1）图形①圆的个数是1，
图形②圆的个数是4，
图形③圆的个数是9，
图形④圆的个数是16，
图形⑤圆的个数是25，
图形⑥圆的个数是36；
第个正方形中圆的个数为个；
（2）图①中
图②中
图③中；
（3）三个图形中阴影部分的面积均相等，与圆的个数无关．
第图形中阴影部分的面积是
它是一个与的取值无关的数值，
因此：按以上规律得到的所有图形的阴影部分的面积
是一个与无关的定值．
6．如图1，在中，，，点在线段上移动，点在射线上，满足，设，．
（1）甲同学通过画图和测量得到以下近似数据：
猜想：与是什么函数关系，根据数据求出这个函数表达式．
（2）乙同学觉得甲同学的猜想肯定是对的，但猜想不能代替证明，于是他利用甲的猜想，发现，只要能证明，那么（1）中猜想就可以证明了，然而怎么证明呢？丙同学觉得可以构造，使得，再证明，请你根据两位同学的想法，完成（1）中猜想的证明．
（3）如图2，作，，垂足分别为，，，，求的面积．
【解答】（1）解：猜想与是一次函数关系，
设，
把，代入得：，
解得：，
，
即是的一次函数；
（2）证明：如图1，作点关于的对称点，连接交于点，连接、，
则，，，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
即，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图2，过作于点，过作于点，
则，四边形是矩形，
，，
，
，
，
由（2）可知，，
，
，
，
即，
，
，
，，
由（2）中全等三角形的性质和对称的性质可知，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
7．（2025春•宝塔区期末）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动．
（1） 4 ， ，点的坐标为 ；
（2）当点移动4秒时，请指出点的位置，并求出点的坐标；
（3）在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，求点移动的时间．
【解答】解：（1）、满足，
，，
解得，，
点的坐标是，
故答案为：4；6；；
（2）点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，
，
，，
当点移动4秒时，在线段上，离点的距离是：，
即当点移动4秒时，此时点在线段上，离点的距离是2个单位长度，点的坐标是．
（3）由题意可得，在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况，
第一种情况，当点在上时，
点移动的时间是：秒，
第二种情况，当点在上时，
点移动的时间是：秒，
故在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，点移动的时间是2.5秒或5.5秒．
8．（2025春•市南区校级月考）阅读材料：
大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：？经过研究，这个问题的一般性结论是，其中是正整．
问题提出：
在这个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于，共有多少种取法？
问题解决：
我们研究数学问题时经常采用“特殊到一般”的解决问题的思想，因此我们首先取几个特殊值试试．
（1）在这5个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于5，共有多少种取法？我们可以这样来研究：若最小的数取1，则另一个数只能取5，有一种取法；若最小的数取2，则另一个数可以取4、5，有两种取法；若最小的数取3，则另一个数可以取4、5，有两种取法；若最小的数取4，则另一个数只能取5，有一种取法；所以共有种取法．
（2）在这6个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于6，共有多少种取法？我们可以这样来研究：若最小的数取1，则另一个数只能取6，有一种取法；若最小的数取2，则另一个数可以取5、6，有两种取法；若最小的数取3，则另一个数可以取4、5、6，有三种取法；若最小的数取4，则另一个数可以取5、6，有两种取法；若最小的数取5，则另一个数只能取6，有一种取法；所以共有种取法．
请继续探究并直接填写答案：
（3）在这7个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于7，共有 12 种取法．
（4）在这8个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于8，共有 种取法．
经过以上尝试，我们就可以找到问题的答案：
①当为奇数时，在这个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于，共有多少种取法？
根据前面的探究，我们可以列出算式，化简后，共有 种取法．
②当为偶数时，在这个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于，共有多少种取法？请你列出算式、化简并写出结论．
新知运用：
某次知识竞赛中，一共有20个小题，对应的分值为分，某选手从中任选两题，得分高于20分的可能性共有 种．
问题拓展：
各边长都是整数，最大边长为12的三角形有多少个？请直接说出答案．
【解答】解：（3）由题干可知在这7个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于7，共有种取法，
故答案为：12，
（4）由题干可知在这8个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于7，共有种取法，
故应填16，
①
，
故答案为：，
②为偶数时，可列算式为：
，
当为偶数时，在这个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于，共有种取法，
新知运用：
是偶数，故应代入中，
（种，
故答案为：100，
问题拓展：
当三角形为不等边三角形时：就是求个数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于12，
因为12是偶数，所以代入中，
得，
当三角形为等腰三角形时，还有7，7，12；8，8，12；9，9，12；10，10，12；11，11，12；12，12，12这6种，
（种，
共有42种．
9．（2025春•乐陵市期中）随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】【类比应用】【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题，
阅读观察：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如，化简．
解：将分子、分母同乘以得，．
类比应用：
（1）化简： ；
（2）化简：．
拓展延伸：
宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
（3）黄金矩形的长 ；
（4）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论：
（5）在图②中，请连接，则点到线段的距离为 ．
【解答】解：（1）．
故答案为：．
（2）原式．
（3）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽，
黄金矩形的长为：．
故答案为：．
（4）矩形是黄金矩形，理由如下：
由裁剪可知：，
根据黄金矩形的性质可知：，
，
，
所以矩形是黄金矩形；
（5）如图，连接，，过点作于点，
，，
，
，
，，
解得，
以点到线段的距离为．
故答案为：．
10．（2025秋•建邺区校级月考）（1）观察下列各式的大小关系：
；
；
；
．
归纳： （用“”或“”或“”或“”或“”填空）；
【应用】
（2）根据上题中得出的结论，若，，求的值．
【延伸】
（3），，满足什么条件时，．
【解答】解：（1）当、同号时，，
当、不同号时，，
，
故答案为：；
（2），，
，
、异号，
当，时，，
，
解得或；
当，时，，
，
或；
综上所述：的值为或或或；
（3）当、、同号时，，
当、、中有两个时异号时，．
11．（2025•李沧区二模）【阅读理解】
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．
例如：求的值（其中是正整数）．
如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求的值，方案如下：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，，个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有行，每行有个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即．
【问题提出】
求的值（其中是正整数）．
【问题解决】
为解决上述问题，我们借鉴已有的经验，采用由特殊到一般，归纳的研究方法，利用数形结合法，借助图形进行推理获得结论．
探究1
如图2，可以看成1个的正方形的面积，即．
探究2
如图3，表示1个的正方形，其面积为：；表示1个的正方形，其面积为：；，分别表示1个的长方形，其面积的和为：；，，的面积和为，而，，，恰好可以拼成一个的大正方形．
由此可得：．
探究3
请你类比上述探究过程，借助图形探究： ．（要求自己构造图形并写出推证过程）
【结论归纳】
将上述探究过程发现的规律，推广到一般情况中去，通过归纳，我们便可以得到： ．（要求直接写出结论，不必写出推证过程）
【结论应用】
图4是由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？
为了准确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即数出棱长分别是1，2，3，4，5，6的正方体的个数，再求总和．
例如：棱长是1的正方体有：个，
棱长是2的正方体有：个，
棱长是6的正方体有：个；
然后利用上面归纳的结论，通过计算，可得图4中大小正方体的个数为 ．
【逆向应用】
如果由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，大小正方体一共有36100个，那么棱长为1的小正方体的个数为 ．
【拓展探究】
观察下列各式：；；；；
若为正整数）按上面规律展开后，发现等式右边含有“2025”这个数，则的值 ．
【解答】解：探究3，
如图，表示1个的正方形，其面积为：；表示1个的正方形，其面积为：；，分别表示1个的长方形，其面积的和为：；，，的面积和为；表示1个的正方形，其面积为：；，分别表示1个的长方形，其面积的和为：，，分别表示1个的长方形，其面积的和为：，，，，的面积和为；，，，，的面积和为，而，，，，，，，，恰好可以拼成一个的大正方形．
由此可得：．
【结论归纳】．
【结论应用】图4中大小正方体的个数为．
【逆向应用】设大正方体的棱长为，根据这个大正方体中的大小正方体一共有，由此得出，由此得出，相邻的两个整数的乘积是380，分析出，由此得出大正方体的体积为，棱长为1的小正方体的个数为6859．
【拓展探究】；；；；则，由【结论归纳】可知，，观察得出．若为正整数）按上面规律展开后，发现等式右边含有“2025”这个数．当，得出，求得不是正整数，说明等式右边还有大于2025的数；由相邻的两个正整数的乘积大于2025，则最小是45，由此得出．
12．（2025春•青岛期末）提出问题
一个边形，内部有个点，用这些点以及边形的个顶点，可把原三角形分割成多少个互不重叠的小三角形？
探究问题
为了解决上面的问题，我们先从简单和具体的情形入手：
探究一：以的三个顶点和它内部的1个点，共4个点为顶点，可把分割成3个互不重叠的小三角形．（如图①
探究二：以的三个顶点和它内部的2个点，共5个点为顶点，可把分割成5个互不重叠的小三角形．
探究三：以的三个顶点和它内部的3个点，共6个点为顶点，可把分割成7个互不重叠的小三角形．
解决问题
以的三个顶点和它内部的个点，共个点为顶点，可把分割成 个互不重叠的小三角形．
拓展探究一个正方形内部有若干个点，用这些点以及正方形的四个顶点、、、，可把原正方形分割成多少个互不重叠的小三角形？完成下列表格．
（1）填写下表：
（2）原正方形能否被分制成2024个三角形？若能，此时正方形内有多少个点？若不能，请说明理由？
实际应用
以五边形的5个点和它内部的2025个点，共2027个顶点，可把原五边形分割成 个互不重叠的小三角形．
归纳总结
边形的内部的个点，共个点作为顶点，可把原边形分割成 个互不重叠的小三角形．
【解答】解：解决问题：由题意可得，这些三角形的个数是从3开始的连续奇数，
可把分割成个互不重叠的小三角形，
故答案为：；
（1）观察图形可得到规律：第个图形中分割成三角形的个数为：，
故答案为：6，8，10，；
（2）能，
结合（1）可列式子：，
解得，
原正方形能否被分制成2024个三角形，此时正方形内有多1007个点；
实际应用五边形的5个点和它内部的2024个点，共2025个顶点，可把原五边形分割成个互不重叠的三角形，
故答案为：4037；
归纳总结边形的内部的个点，共个点作为顶点，可把原边形分割成个互不重叠的小三角形，
故答案为：．
13．（2025春•莱芜区月考）第一次用一条直径将圆周分成两个半圆（如图），在每个分点标上质数，记2个数的和为；第二次将两个半圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：
．
观察发现
； ．
初步应用
利用（1）的结论，解决以下问题：
①把拆成两个分子为1的正的真分数之差，即 ；
②把拆成两个分子为1的正的真分数之和，即 ；
深入探究
定义“”是一种新的运算，若，，，则计算的结果是 ．
两个数的和的，记4个数的和为；第三次将四个圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记8个数的和为；第四次将八个圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记16个数的和为；，如此进行了次．
① （用含有，的代数式表示）；
②若，求的值．
【解答】解：（1）观察发现：；
；
故答案为：；；
（2）初步应用
①；
②由，得，
，即；
故答案为：；；
（3），
故答案为：；
（4）①，，，，
，
故答案为：；
②，且为质数，
对4420分解质因数可知，
，
，
，，
，，
．
14．（2025秋•海淀区校级期末）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，依此类推，第个数记为为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中，，，，，，规定运算．即从这列数的第一个数开始依次加到第个数，如在上面的一列数中，．
（1）已知一列数1，，3，，5，，7，，9，，那么 5 ， ；
（2）已知这列数1，，3，，5，，7，，9，，，按照规律可以无限写下去，那么 ， ；
（3）在（2）的条件下，若存在正整数使等式成立，直接写出的值．
【解答】解：（1）由题意可得，
，
；
故答案为：5，3；
（2）由题意可得，
，
，
故答案为：，；
（3）在（2）的条件下存在正整数使等式成立，
当为奇数时，
，
解得，，
当为偶数时，
，解得，．
15．（2025春•长宁区校级期中）沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数、、、满足，那么就可以交换、的位置，这称为一次操作．
（1）如图1，圆周上放着数1、2、3、4、5、6，问：能否经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数、、、，都有？如果能，请在图2中填写出满足要求的最后结果；如果不能，请说明理由． （2）若圆周上从小到大按顺时针依次放着2025个正整数1、2、3、、2025，问：能否经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数、、、，都有？请说明理由．
【解答】解：（1）能，如图：
故答案为：
（2）能，
理由如下：
设这2025个数的相邻两数乘积之和为，
则，
经过次操作后，这2025个数字的相邻两数乘积之和为，
若圆周上依次相连的四个数、、、满足不等式，
即，交换、位置后这2025个数的相邻两数乘积之和为，
则有．
所以，
即每次操作，相邻两数的乘积和至少减少1，由于相邻两数乘积总大于0，
故经过有限次操作后，对于依次相连的任意4个数、、、，都有．
16．（2025春•东湖区期中）观察下列各等式：
①
②
③
④
（1）按以上等式规律，请完成第⑤个等式 61 ；
（2）按以上等式规律，请完成第个等式 ，并证明这个等式的正确性；
（3）直接写出等式右边等于20251的等式．
【解答】解：（1）；
故答案为：61；
（2）．
证明：左边
，
为大于或等于1的整数，
．
左边右边．
成立；
故答案为：；
（3）等式右边等于20251的等式为：．理由：
由题意得：
．
．
．
解得：或．
为大于或等于1的整数，
．
等式右边等于20251的等式为：．
17．（2025•德州模拟）阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依次类推，排在第位的数称为第项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，，，．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示．如：数列1，3，5，7，为等差数列，其中，，公差为．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列5，10，15，的公差为 5 ，第5项是 ．
（2）如果一个数列，，，，，是等差数列，且公差为，那么根据定义可得到：，，，，，．
所以，
，
，
由此，请你填空完成等差数列的通项公式： ．
（3）是不是等差数列，，的项？如果是，是第几项？
（4）如果一个数列，，，，，是等差数列，且公差为，前项的和记为，请用含，，的代数式表示， ．
【解答】解：（1），，
，后面的几项分别是20、25、，
第5项是25．
故答案为：5，25．
（2），
，
，
．
故答案为：．
（3），
，
解得，
是等差数列，，的项，是第1346项．
（4）．
故答案为：．
18．（2025春•赣榆区期中）已知：在中，．
【感知】在图1中、的角平分线交于点，则可计算的角度，请写出计算过程；
【探究】（1）在图2中，设、的两条三等分角线分别对应交于、，请你计算出的度数；
（2）请你猜想，当、同时被等分时，条等分角线分别对应交于、，如图3，则 （用含和的代数式表示）．
【拓展】如图4，在四边形中，，当、同时被等分时，条等分角线分别对应交于、，如图4，则的度数是 ．
【解答】解：感知：在中，，
，
、的角平分线交于点，
，，
；
探究：（1）在中，，
，
和分别是、的三等分线，
，
；
（2）在中，，
，
和分别是、的等分线，
，
．
故答案为：；
拓展：在四边形中，，
，
和分别是、的等分线，
，
．
故答案为：．
19．（2025春•垫江县校级月考）阅读材料，回答下列问题：
有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504．
（1）若一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数．经过探索发现，原三位数与其反序数之差的绝对值始终等于198，请说明理由．
（2）若一个两位数，与其反序数之和是一个整数的平方，请求出满足上述条件的所有两位数．
【解答】解：（1）设连续自然数中间的一个为，则其他的两个为，，
根据题意得：，
则原三位数与其反序数之差的绝对值等于198；
（2）设两位数十位数字为，个位数字为，
根据题意得：，
由和为完全平方数，得到，
，；，；，；，；，；，；，；，，
则满足上述条件的所有两位数为29，38，47，56，65，74，83，92．
20．（2025•开平区一模）设，，，容易知道，，，如果一个数能表示为8的倍数，我们就说它能被8整除，所以，，都能被8整除．
（1）试探究是否能被8整除，并用文字语言表达出你的结论．
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，试找出，，这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并说出当满足什么条件时，为完全平方数．
【解答】解：（1）由题意得：
能被8整除．
（2）由（1）知，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数依次为：16、64、144、256．
由、、、四个完全平方数可知，
所以为一个完全平方数两倍时，是完全平方数．
正方形内点的个数
1
2
3
4
分割成三角形的个数
4
正方形内点的个数
1
2
3
4
分割成三角形的个数
4