2026中考数学夺分必备06一网打尽11类函数中的存在性问题（25年中考真题模拟50题专练）（学生版+名师详解版）

这是一份2026中考数学夺分必备06一网打尽11类函数中的存在性问题（25年中考真题模拟50题专练）（学生版+名师详解版），共178页。
题型二 线段存在性问题
题型三 等腰三角存在性问题
题型四 等腰直角三角形存在性问题
题型五 直角三角形存在性问题
题型六 平行四边形存在性问题
题型七 正方形存在性问题
题型八 菱形存在性问题
题型九 矩形存在性问题
题型十 相似三角形存在性问题
题型十一角的存在性问题
题型一 面积存在性问题
1．（2025•牡丹区二模）已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点右侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合），是否存在点，使四边形的面积最大？若存在，求点的坐标及四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由．
2．（2025•莲湖区模拟）现有一个三角形广场，如图所示，经测量，的长度为100米，点到线段的距离为50米，，均为锐角．点为边上的一动点（点不与点，重合），点为边上一动点（点不与点，重合），且．
（1）当的长为50米时，的面积为 平方米；
（2）设点关于的对称点为，△与四边形的重叠部分的面积记为平方米，现准备在该重叠部分内种花．请问重叠部分的面积是否存在最大值？若存在，请求出的最大值及此时的长；若不存在，请说明理由．
3．（2025•黑龙江）如图，抛物线与轴交于，两点．交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2025•湖州）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的交点坐标为，图象的顶点为．矩形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴，轴上，顶点的坐标为．
（1）求的值及顶点的坐标．
（2）如图2，将矩形沿轴正方向平移个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点，，连接，过点作于点．
①当时，求的长；
②当点与点不重合时，是否存在这样的，使得的面积为1？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
5．（2025•安徽）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．
（1）求，的值；
（2）已知点，在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．
当时，求与的面积之和；
在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．
6．（2025•南山区三模）在平面直角坐标系中，由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图所示，抛物线与抛物线的部分图象组成一个“月牙线”，相同的交点分别为，（点在点的左侧），与轴的交点分别为，，且点的坐标为．
（1）求，两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为，当时，试判断三角形的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，点是抛物线上一点，抛物线第三象限上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
7．（2025•西陵区模拟）如图，开口向下的抛物线经过点，顶点为，和直线交于另一点，动点从点出发，沿着抛物线向点运动，到达点后立即停止．过点作轴的垂线，与线段或者上方的抛物线交于另一点，过作轴垂线交于，以和为边作矩形，该矩形被分成上、下两部分，其面积分别记为和，设点的横坐标是，已知当点运动时，由0逐渐增大到后又逐渐减小到0．
（1）填空： ；
（2）当时，求的范围；
（3）若，点在运动过程中能否使得，若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由．
题型二 线段存在性问题
8．（2025•济宁）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过，两点，交轴负半轴于点，为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，当为何值时，四边形是平行四边形？
（3）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
9．（2025•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点、，顶点为．连接、，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点、分别在线段、上，连接、、，与交于点，．
（1）求点、的坐标；
（2）随着点在线段上运动．
①的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当线段的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，的面积为 ．
10．（2025•山西模拟）综合与探究
如图1，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，．点是抛物线上的一个动点；
（1）求抛物线的函数表达式，并直接写出直线的函数表达式；
（2）如图1，当点在直线上方时，连接交于点，当时，求点的坐标．
（3）如图2，连接，过点作交抛物线的对称轴于点．试探究：是否存在一点使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型三 等腰三角存在性问题
11．（2025•绵阳）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点．
（1）求反比例函数的解析式；当时，根据图象直接写出的取值范围；
（2）在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2025•潮阳区二模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段上的一个动点（不与、重合），过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
13．（2025•扎兰屯市三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点．已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点，使得的值最小，求此点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
题型四 等腰直角三角形存在性问题
14．（2025•娄底）如图，抛物线过点、点，交轴于点．
（1）求，的值．
（2）点，是抛物线上的动点．
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点作轴，交于点，再过点作轴，交抛物线于点，连接，问：是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2025•南宁三模）如图1，抛物线的图象与轴的交点为和，与轴交点为，与直线交点为和，且．
（1）求抛物线的解析式和值；
（2）在直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）将抛物线图象轴上方的部分沿轴翻折得一个“”形状的新图象（如图，若直线与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时的取值范围．
16．（2025•城区二模）综合与探究：如图1，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，直线与轴相交于点，交线段于点且．
（1）求，，三点的坐标；
（2）求直线的函数表达式；
（3）如图2，已知点在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为，点是该抛物线上位于第四象限的动点，且在直线右侧，点是直线上的动点，试探究是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
题型五 直角三角形存在性问题
17．（2025•眉山）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点，使是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2025•利川市模拟）抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；
（3）过点作于点，，
①求点的坐标；
②连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2025•霍林郭勒市二模）如图所示，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，若．
（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）如图所示，连接，是线段上（不与、重合）的一个动点，过点作直线，交抛物线于点，连接、，设点的横坐标为．当为何值时，的面积最大？最大面积为多少？
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型六 平行四边形存在性问题
20．（2025•牡丹区一模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是直线上方抛物线上的一动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标；
（3）是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2025•枣庄）如图，抛物线经过，两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点是轴上一动点，分别连接，，求的最小值；
（3）若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2025•昔阳县模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点是直线上方的抛物线上一动点，设三角形的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标；
（3）点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
23．（2025•巴中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为1．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值．
（3）若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由．
题型七 正方形存在性问题
24．（2025•西安校级三模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为，点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，在坐标平面内是否存在点，使得以线段为对角线的四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
25．（2025•长沙）我们约定：若关于的二次函数与同时满足，，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于的二次函数与互为“美美与共”函数，求，，的值；
（2）对于任意非零实数，，点与点，始终在关于的函数的图象上运动，函数与互为“美美与共”函数．
①求函数的图象的对称轴；
②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于的二次函数与它的“美美与共”函数的图象顶点分别为点，点，函数的图象与轴交于不同两点，，函数的图象与轴交于不同两点，．当时，以，，，为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
题型八 菱形存在性问题
26．（2025•孝义市三模）综合与探究：
如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点．直线与抛物线的对称轴交于点．将直线沿射线方向向下平移个单位，平移后的直线与直线交于点，与抛物线的对称轴交于点．
（1）求出点，，的坐标，并直接写出直线，的解析式；
（2）当是以为斜边的直角三角形时，求出的值；
（3）直线上是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2025•锦州）如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，，顶点为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
28．（2025•青岛二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值．
（3）连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
29．（2025•清原县三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作交抛物线于点，点为直线上一动点，连接，，，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位，为平移后的抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
30．（2025•金台区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）将抛物线L向右平移3个单位长度得到新的抛物线L′，点Q为坐标平面内一点，试判断在抛物线L′的对称轴上是否存在点P，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
31．（2025•武昌区模拟）如图，直线分别交轴，轴于点，，抛物线过，两点，其顶点为，对称轴与直线交于点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，问：是否存在点，使四边形为菱形？并说明理由；
（3）如图2，点为轴负半轴上的一动点，过点作，直线与抛物线交于点，，与直线交于点，若，求点的坐标．
题型九 矩形存在性问题
32．（2025•陕西模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点．
（1）求点、、的坐标；
（2）将抛物线向右平移1个单位，得到新抛物线，点在坐标平面内，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
33．（2025•泰山区校级二模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出值；
（3）在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
题型十 相似三角形存在性问题
34．（2025•陆丰市二模）如图，抛物线与轴交于、两点在的左边），与轴交于点，顶点为．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）如图，若点是第二象限内抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，连接，是否存在点，使得与相似？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
35．（2025•乐至县）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是抛物线在第二象限内的点，过点作轴的平行线与直线交于点，求的长的最大值；
（3）点是线段上的动点，点是抛物线在第一象限内的动点，连结交轴于点．是否存在点，使与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
36．（2025•微山县三模）已知：如图，顶点为的抛物线经过原点，且与直线交于，两点（点在点的右边）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）猜想以点为圆心，以为半径的圆与直线的位置关系，并加以证明；
（3）若点为轴上的一个动点，过点作轴与抛物线交于点，则是否存在以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
37．（2025•随州）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点，为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．
（1）直接写出抛物线和直线的解析式；
（2）如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；
（3）当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
38．（2025•建华区三模）如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接．抛物线的对称轴与轴交于点，点是直线上方抛物线上的一个动点（不于、重合），过点作交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是轴上一动点，当的和最小时，点的坐标为 ；
（3）求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（4）是否存在点，使与相似，若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型十一 角的存在性问题
39．（2025•东莞市校级一模）如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，点是直线下方的二次函数图象上的一个动点，过点作轴于点，交于点，求线段最大时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点，使得．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
40．（2025•自贡）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线解析式及，两点坐标；
（2）以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
41．（2025•岳阳）已知抛物线与轴交于，两点，交轴于点．
（1）请求出抛物线的表达式．
（2）如图1，在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点，使得四边形为正方形？若存在，请求出点，的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
42．（2025•衡阳）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线．
（1）求的值．
（2）将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
43．（2025•肇东市校级二模）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．抛物线的对称轴为直线，点坐标为．
（1）求抛物线表达式；
（2）在抛物线上是否存在点，使，如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点在轴上方，点是直线上方抛物线上的一个动点，求点到直线的最大距离．
44．（2025•东平县校级模拟）如图，已知抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一点，连接、．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，，若，求点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
45．（2025•原平市模拟）综合与探究：如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，过点作轴交轴于点，交直线于点，连接，，，与直线交于点．
（1）求，，三点的坐标及直线的函数表达式；
（2）当的面积等于面积的时，求点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
46．（2025•郴州模拟）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且，连接．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，若点是直线下方抛物线上一动点（不与点，重合），是否存在，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在轴上找一点，使得是等腰三角形，并求出点的坐标．
47．（2025•怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
（2）点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．
48．（2025•新疆）【建立模型】（1）如图1，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：；
【类比迁移】（2）如图2，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到，直线交轴于点．
①求点的坐标；
②求直线的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知点，连接，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．
49．（2025•海南模拟）如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物线交于、两点．点是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；
（2）当点的坐标为时，求四边形的面积；
（3）抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，点、是对称轴上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值．
50．（2025•鼓楼区校级模拟）如图1，经过原点的抛物线、为常数，与轴相交于另一点．在第一象限内与直线交于点，抛物线的顶点为点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点是点关于抛物线对称轴的对称点，点是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点．设和的面积分别为和，求的最大值．
方法必备06一网打尽11类函数中的存在性问题（23年中考真题+模拟50题专练）
题型一 面积存在性问题
题型二 线段存在性问题
题型三 等腰三角存在性问题
题型四 等腰直角三角形存在性问题
题型五 直角三角形存在性问题
题型六 平行四边形存在性问题
题型七 正方形存在性问题
题型八 菱形存在性问题
题型九 矩形存在性问题
题型十 相似三角形存在性问题
题型十一角的存在性问题
题型一 面积存在性问题
1．（2025•牡丹区二模）已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点右侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合），是否存在点，使四边形的面积最大？若存在，求点的坐标及四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线的对称轴公式求出的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）先求出抛物线与轴的交点、的坐标，与轴的交点的坐标，根据四边形的面积等于的面积与的面积之和可求出面积最大时的值，从而得到点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴是直线，
，
，
抛物线的解析式为；
（2）存在；
令，则，
则抛物线与轴的交点的坐标是，
令，则，
解得：，，
点在点右侧，
抛物线与轴的交点坐标为：，，
连接，设点的坐标为（点在第一象限的抛物线上），
，
，
，
，
四边形的面积有最大值，
，
当时，四边形的面积最大，最大值为32，
此时，
点的坐标为，
存在点，使得四边形的面积最大，最大值为32．
【点评】本题主要考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求解析式，解析式法求面积及点的坐标的存在性，最值问题，难度较大，需认真思考．
2．（2025•莲湖区模拟）现有一个三角形广场，如图所示，经测量，的长度为100米，点到线段的距离为50米，，均为锐角．点为边上的一动点（点不与点，重合），点为边上一动点（点不与点，重合），且．
（1）当的长为50米时，的面积为 平方米；
（2）设点关于的对称点为，△与四边形的重叠部分的面积记为平方米，现准备在该重叠部分内种花．请问重叠部分的面积是否存在最大值？若存在，请求出的最大值及此时的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）不妨设点到线段．的距离分别为，，根据，得到，求出，即可求解；
（2）由题意得，设的长度为米，证明出，得到，再进行分类讨论①当点落在四边形内或边上时，；②当落在四边形外时，．
【解答】解：（1）不妨设点到线段，的距离分别为，，
，
，
，
，
解得，
，
故答案为：625；
（2）存在．由题意得，
设的长度为米，
，
，，
，
，即，
，
分两种情况讨论：
①当点落在四边形内或边上时，
如图1，此时，
所以当时，的最大值为；
②当落在四边形外时，，
如图2，连接，与交于点，与交于点，
连接，与交于点，连接，与交于点，
，
即，
，
，
，
，
即，
，
，
当时，最大，最大值为．
综上所述，当时，最大，最大值为．
【点评】本题考查了三角形的相似，二次函数的应用，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解．
3．（2025•黑龙江）如图，抛物线与轴交于，两点．交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把，两点，代入抛物线，解方程组即可得到抛物线的解析式；
（2）分别求得、、的坐标，与的解析式；作轴交于，设点的横坐标为，分别求得点坐标为与点坐标为，；然后利用列方程解答即可．
【解答】解：（1）由抛物线与轴交于，两点，代入抛物线得：
，
解得：；
抛物线的解析式为；
（2）存在，理由如下：
，，
，
抛物线与轴交于点，
令，则，
点坐标为，，
，
；
作轴交于，如图：
设的解析式为：，将、代入得：
，
解得：，
的解析式为：；
设点的横坐标为，则，
则的纵坐标为：，解得：，
，；
，
，
解得：或3；
点纵坐标为：；或（3）（3），
点的坐标为或．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，直角三角形的判定等，解题的关键是方程思想的应用．
4．（2025•湖州）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的交点坐标为，图象的顶点为．矩形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴，轴上，顶点的坐标为．
（1）求的值及顶点的坐标．
（2）如图2，将矩形沿轴正方向平移个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点，，连接，过点作于点．
①当时，求的长；
②当点与点不重合时，是否存在这样的，使得的面积为1？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法将代入，即可求得的值，再利用配方法将抛物线的解析式化为顶点式或运用顶点公式即可求得答案；
（2）①当时，，的坐标分别是，．进而可求得点、的纵坐标，利用，即可求得答案；
②根据题意，得：，，，分两种情况：当点在点的上方时，当点在点的下方时，分别求得的值即可．
【解答】解 （1）二次函数的图象与轴的交点坐标为，
，
，
顶点的坐标是．
（2）①如图1，在轴上，的坐标为，
点的坐标是．
当时，，的坐标分别是，．
当时，，即点的纵坐标是2．
当时，，即点的纵坐标是1．
，
点的纵坐标是1，
．
②存在．理由如下：
的面积为1，，
．
根据题意，得：，，
，
如图2，当点在点的上方时，
，
此时（在的范围内）．
如图3，当点在点的下方时，
，
此时（在的范围内）．
综上所述，存在，使得的面积为1，此时的值为或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线的顶点，平移变换的性质，三角形面积等，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
5．（2025•安徽）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．
（1）求，的值；
（2）已知点，在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．
当时，求与的面积之和；
在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）由题意得，，利用待定系数法可得的解析式为，则，，
设与轴交于点，过点作，则，，利用即可求得答案；
分两种情况：①当时，②当时，分别画出图象，利用，建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）抛物线经过点，对称轴为直线，
，
解得：；
（2）由（1）得：，
当时，，
当时，，即，
，，
设的解析式为，将代入，得：，
，
的解析式为，
，，
设与轴交于点，过点作，如图，
则，，
；
①当时，过点作于，如图，
则，，，，
，
即，
解得：；
②当时，如图，过点作于，
则，，
，
即，
解得：（舍去），（舍去）；
综上所述，的值为．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和二次函数的综合应用，四边形面积等，其中（2）分类求解是解题的关键．
6．（2025•南山区三模）在平面直角坐标系中，由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图所示，抛物线与抛物线的部分图象组成一个“月牙线”，相同的交点分别为，（点在点的左侧），与轴的交点分别为，，且点的坐标为．
（1）求，两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为，当时，试判断三角形的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，点是抛物线上一点，抛物线第三象限上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）令，求解方程，可求、点坐标，设抛物线的解析式为，将点代入即可求函数的解析式；
（2）求出点坐标，利用两点间距离公式，得到，即可判断三角形形状；
（3）求出点坐标，直线的解析式，过点作轴交于点，根据所求的点坐标，分两种情况，利用铅锤法求相应的点坐标即可．
【解答】解：（1）令，则，
解得或，
，，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
；
（2），
，
，
，，，
，
是等腰三角形；
（3）存在一点，使得，理由如下：
点是抛物线上一点，
，
解得或，
或，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
过点作轴交于点，
当时，，
，
，
，
，
解得，
，；
当时，，
，
，
，
，
解得，
，；
综上所述：点坐标为，或，．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄清“月牙线”的定义，利用铅锤法求三角形的面积是解题的关键．
7．（2025•西陵区模拟）如图，开口向下的抛物线经过点，顶点为，和直线交于另一点，动点从点出发，沿着抛物线向点运动，到达点后立即停止．过点作轴的垂线，与线段或者上方的抛物线交于另一点，过作轴垂线交于，以和为边作矩形，该矩形被分成上、下两部分，其面积分别记为和，设点的横坐标是，已知当点运动时，由0逐渐增大到后又逐渐减小到0．
（1）填空： 45 ；
（2）当时，求的范围；
（3）若，点在运动过程中能否使得，若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据直线斜率和其与轴夹角之间的关系进行求解即可；
（2）根据所在位置不同分类讨论，然后根据两种情况下，最大值是2，求的取值范围；
（3）由（2）可知，此时所在的位置，然后根据最大值是求出的值，再根据对应情况的两个图形面积比求出的值，即得的坐标．
【解答】解：（1）设的横坐标为，则，，如图，
则，，
轴，
，
，
，即，
故答案为：45．
（2）抛物线经过点，
，
，
抛物线解析式为：，
将代入抛物线，可得：，
，，
当在抛物线上时，如图，设交于，
点的横坐标为，
点的横坐标为，
，
和在直线上，
，
，，
，，
当与重合时，面积最大，
，，
当在线段上时，如图：
，
为等腰直角三角形，
，
，在时恒成立，
在时恒成立，
时，，
，
；
（3）能；
，
由（2）可知，此时，在线段，
最大值为，
的最大值为，
当时，，
解得：或，
，
舍去，
，
在上时，，
当时，在抛物线上，
，
整理得：
解得：或（在轴左侧，舍去），
，．
【点评】本题主要考查了二次函数综合题，题目较为负责，注意需要根据的位置进行分段讨论．
题型二 线段存在性问题
8．（2025•济宁）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过，两点，交轴负半轴于点，为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，当为何值时，四边形是平行四边形？
（3）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）结合平行四边形的性质，通过求直线的函数解析式，列方程求解；
（3）根据，分在内部与外部两种情况讨论，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．
【解答】解：（1）在直线中，当时，，当时，，
点，点，
设抛物线的解析式为，
把点，点代入可得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）由题意，，
，
当四边形是平行四边形时，，
，
，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得：，
直线的解析式为，
又过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为，
，
，
解得 （不合题意，舍去），；
当为时，四边形是平行四边形；
（3）存在，理由如下：
对称轴为，
设点坐标为，
点横坐标为：，
，，
①如图1，
，即是的中点，点在对称轴上，
，，
又点在直线，代入得：
，
解得：或（舍去），
故此时的值为．
②如图2，设点坐标为，，，
，
①，
②，
联立①②并解得：（舍去）或，
综上所述，的值为或．
【点评】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想和 方程思想解题是关键．
9．（2025•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点、，顶点为．连接、，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点、分别在线段、上，连接、、，与交于点，．
（1）求点、的坐标；
（2）随着点在线段上运动．
①的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当线段的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，的面积为 ．
【分析】（1）令，由，可求得点的坐标，把解析式化为顶点坐标式或代入顶点坐标公式都可求得点的坐标；
（2）①在线段上截取，连接，先证，再证是等边三角形，从而得证；
②因为，所以转化为求长度的最小值，由垂线段最短可解决问题；
（3）设的中点为，连接，过点作对称轴于点，先证，再证，而相似比恰好是定值，从而解决问题．
【解答】解：（1）令，得：
，
解得：，，
，
，
顶点的坐标为；
（2）①在线段上截取，连接，
由已知可得：，，
是等边三角形，
，，
由（1）可抛物线对称轴是直线，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
即的大小保持不变；
②和是等边三角形，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
当时（此时点为的中点），取最大值；
（3）设的中点为，连接，过点作对称轴于点，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，，
又，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象及性质，菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质以及解直角三角形，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键．
10．（2025•山西模拟）综合与探究
如图1，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，．点是抛物线上的一个动点；
（1）求抛物线的函数表达式，并直接写出直线的函数表达式；
（2）如图1，当点在直线上方时，连接交于点，当时，求点的坐标．
（3）如图2，连接，过点作交抛物线的对称轴于点．试探究：是否存在一点使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴交于，轴交于点，则，设，则，可得，再由由，得到，求出的值即可求点坐标；
（3）当点在对称轴的右侧，点在点下方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，证明，设，根据，，得到方程，求出，．同理当点在对称轴右侧，点在点上方时，当点在对称轴的左侧，点在点上方时，当点在对称轴的左侧，点在点下方时，分别求出对应的点坐标即可．
【解答】解：（1）将，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
当时，，
解得或，
，
设直线的解析式，
，
解得，
直线的解析式；
（2）过点作轴交于，轴交于点，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
解得或，
或；
（3）存在一点使，理由如下：
，
是等腰直角三角形，
如图2，当点在对称轴的右侧，点在点下方时，
过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，，
设，
，
抛物线的对称轴为直线，
，，
，
解得或（舍，
，；
如图3，当点在对称轴右侧，点在点上方时，
过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
，
，，
，
解得或（舍，
，；
如图4，当点在对称轴的左侧，点在点上方时，
过点作轴交于点，交对称轴于点，
，
，，
，
解得或（舍，
，；
如图5，当点在对称轴的左侧，点在点下方时，
过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
，
，，
，
解得（舍或，
，；
综上所述：点坐标为，或，或，或，．
题型三 等腰三角存在性问题
11．（2025•绵阳）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点．
（1）求反比例函数的解析式；当时，根据图象直接写出的取值范围；
（2）在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点坐标代入反比例函数解析式即可求出，利用数形结合的思想即可求出的取值范围．
（2）先求出点坐标，再根据分类讨论的数学思想即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数的解析式为．
由函数图象可知，
在直线和之间的部分及直线右侧的部分，
反比例函数的图象在一次函数的图象的上方，
即．
所以的取值范围是：或．
（2）将代入反比例函数解析式得，
，
所以点的坐标为．
则．
当时，
，
所以点坐标为或．
当时，
点在的垂直平分线上，
又因为点坐标为，
所以点坐标为．
当时，
点在的垂直平分线上，
过点作轴于点，
令，则，，
在中，
，
即，
解得．
所以点的坐标为．
综上所述：点的坐标为或或或．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式及等腰三角形，熟知待定系数法及巧妙利用分类讨论的数学思想是解题的关键．
12．（2025•潮阳区二模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段上的一个动点（不与、重合），过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）将、点坐标分别代入抛物线解析式得，然后解方程组求出、即可得到抛物线解析式；
（2）先求出抛物线的对称轴方程，从而得到，，，再利用待定系数法求出直线的解析式为，设，，则，所以，利用三角形面积公式得到，所以四边形的面积，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）利用勾股定理计算出，利用等腰三角形的性质分三种情况进行讨论：、、，列式解答即可．
【解答】解：（1）将，代入抛物线解析式得：
，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）如图1，
抛物线的对称轴为：，
，，，
设直线的解析式为，
将、点坐标代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
设，，则，
，
，
四边形的面积，
当时，四边形的面积最大，最大值为，此时点坐标为；
（3），，，
，
点在对称轴上，
设点坐标为，，
，，
当时，，
解得：，此时点坐标为，或，；
当时，，
解得：或（与重合，舍去），此时点坐标为，；
当时，，
解得：，此时点坐标为，；
综上所述，满足条件的点坐标为，、，、，、，．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质．
13．（2025•扎兰屯市三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点．已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点，使得的值最小，求此点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）将，代入，求出、的值即可；
（2）由对称可知，直线与对称轴的交点就是点，求出直线的关系式，进而求出其与对称轴的交点；
（3）设，则，，，根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）抛物线经过，两点，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）由对称性可知，直线与抛物线对称轴的交点就是点，如图，
抛物线的对称轴是直线，由于点，则点，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点；
（3）设，则，，，
根据为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当时，
则，
解得：或（此时点与重合，舍去），
；
②当时，
则，
解得：，
，；
③当时，
则，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或或或．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的图象和性质以及对称最短距离，等腰三角形性质，第（2）问运用轴对称距离最短是解题关键，第（3）问在考虑构建等腰三角形时，运用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
题型四 等腰直角三角形存在性问题
14．（2025•娄底）如图，抛物线过点、点，交轴于点．
（1）求，的值．
（2）点，是抛物线上的动点．
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点作轴，交于点，再过点作轴，交抛物线于点，连接，问：是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线过点，，可直接得出抛物线的表达式为：，展开即可得出结论；
（2）过点作轴，交线段于点，则，根据二次函数的性质可得结论；
（2）由题意可知，若是等腰直角三角形，则，分别表达及，可求出的值，进而求出点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线过点、点，
抛物线的表达式为：，
，；
（2）由（1）得，抛物线的解析式为：，
令，则；
直线的表达式为：，，，
①如图，过点作轴的垂线，交线段于点，
则，，
，
当时，的值取最大，最大值为；
②存在，理由如下：
由题意可知，，若是等腰直角三角形，则，
由①可得，，
轴，
，，
，
，
解得（舍或或或（舍，
当是等腰直角三角形时，点的坐标为，，．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等，本题难度不大．
15．（2025•南宁三模）如图1，抛物线的图象与轴的交点为和，与轴交点为，与直线交点为和，且．
（1）求抛物线的解析式和值；
（2）在直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）将抛物线图象轴上方的部分沿轴翻折得一个“”形状的新图象（如图，若直线与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时的取值范围．
【分析】（1）根据，，点在的负半轴上，可得，再运用待定系数法即可求得抛物线的解析式，把点的坐标代入，即可求得的值；
（2）存在．设直线与轴交于点，可得是等腰直角三角形，，分两种情况：当时，过点作轴于点，根据等腰直角三角形性质可得，即是的中点，即可得出，；当时，可得；
（3）抛物线的顶点为，，沿轴翻折后的解析式为，把代入，可得，再由直线与抛物线有且只有一个交点，可求得，即可得出答案．
【解答】解：（1），
，
，点在的负半轴上，
，
把，分别代入，得，
解得：，
该抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得：；
（2）存在．
在中，令，得，
解得：，，
，
如图1，设直线与轴交于点，
则，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
当时，如图1，过点作轴于点，
，，
，
，即是等腰直角三角形，
，
，即是的中点，
，，
点的横坐标为，
当时，，
，；
当时，则，
，
；
综上所述，在直线上存在点使得是等腰直角三角形，点的坐标为，或；
（3），
抛物线的顶点为，，沿轴翻折后的解析式为，
把代入，得，
解得：，
联立抛物线与直线得：，
整理得：，
当△时，，
当直线与该新图象恰好有四个公共点时，．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，等腰直角三角形性质，翻折变换的性质，抛物线沿轴翻折后的解析式，直线与抛物线的交点，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题关键．
16．（2025•城区二模）综合与探究：如图1，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，直线与轴相交于点，交线段于点且．
（1）求，，三点的坐标；
（2）求直线的函数表达式；
（3）如图2，已知点在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为，点是该抛物线上位于第四象限的动点，且在直线右侧，点是直线上的动点，试探究是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令求出点坐标，令求出、点坐标；
（2）过点作轴交于，根据平行线的性质可得，求出点坐标，再由点在直线上，求出点坐标，用待定系数法求直线的解析式即可；
（3）设，，分两种情况讨论：当点在点右侧时，过点作交于，过点作交于，由，确定，，再将点代入直线的解析式求出的值即可求点坐标；当点在点左侧时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，同理可求，．
【解答】解：（1）当时，，
，
当时，，
解得或，
，；
（2）过点作轴交于，
，
，
，
，
，
，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
（3）存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线，
点在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为，
，
设，，
当点在点右侧时，如图1，
过点作交于，过点作交于，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
解得或（舍，
；
当点在点左侧时，如图2，
过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
，
，，
，，
，
解得或（舍，
，；
综上所述：点坐标为或，．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
题型五 直角三角形存在性问题
17．（2025•眉山）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点，使是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将，代入，求得一次函数表达式，进而可得点的坐标，再将点的坐标代入反比例函数即可；
（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；
（3）过点作交轴于点，证明得出点的坐标，在求出直线的表达式，与反比例函数联立方程组即可．
【解答】（1）将，代入得：，
解得：，
一次函数表达式为：，
将代入得：，
，
将代入得：，
反比例函数的表达式为：；
（2）设一次函数与反比例函数在第二象限交于点，
联立，
解得：或，
，
由图象可知：当或时，，
（3）存在，理由：
过点作交轴于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的表达式为：，
将，代入得：，
解得：，
直线的表达式为：，
联立：，
解得：或，
点的坐标为：或．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查的有待定系数法求一次函数、反比例函数表达式，相似三角形的判定及性质．
18．（2025•利川市模拟）抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；
（3）过点作于点，，
①求点的坐标；
②连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）运用待定系数法求得直线的解析式为，设，则，可得，运用二次函数最值即可求得答案；
（3）①根据题意建立方程求解即可得出答案；
②设，，分两种情况：当时，当时，分别求得点的坐标即可．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于点和，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）在中，令，得，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，，
当时，取得最大值2，此时点的坐标为；
（3）①如图1，，，，，，，
，，，，
，
，
解得：，，
点是线段下方抛物线上的一个动点，
，
，
；
②存在点使得为直角三角形，设，
，，
，，，，
当时，如图2，轴，
；
当时，如图3，
在中，，
，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或．
【点评】本题是二次函数综合题，重点考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，三角形面积，直角三角形的性质，勾股定理，应用二次函数的最值等，此题综合性较强，属于考试压轴题．
19．（2025•霍林郭勒市二模）如图所示，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，若．
（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）如图所示，连接，是线段上（不与、重合）的一个动点，过点作直线，交抛物线于点，连接、，设点的横坐标为．当为何值时，的面积最大？最大面积为多少？
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）先求出直线的解析式为，由已知可得，，，则，当时，的面积最大值为1；
（3）设，，分别求出，，，根据直角三角形的斜边情况分三种情况讨论，利用勾股定理建立方程求出的值即可确定点坐标．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
将、两点代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）当时，，
解得或，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
点的横坐标为，
，，，
，
，
当时，的面积最大值为1；
（3）存在点，使为直角三角形，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线，
设，，
，，
，，，
当为斜边时，，
解得或，
，或，；
当为斜边时，，
解得，
，；
当为斜边时，，
解得，
，；
综上所述：点坐标为，或，或，或，．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理及逆定理的应用，分类讨论是解题的关键．
题型六 平行四边形存在性问题
20．（2025•牡丹区一模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是直线上方抛物线上的一动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标；
（3）是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用一次函数的性质求出、的坐标，然后把、的坐标代入到抛物线解析式中求解即可；
（2）要求到直线的最大距离，即要求面积的最大值，由此转换成求的面积最大值时点的坐标即可；
（3）分为对角线和边两种情况，利用平行四边形对角线中点坐标相同进行求解即可．
【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
点，的坐标分别为，，
把点和点代入抛物线，
得：，
解之，得，
抛物线的解析式为．
（2）如图，过点作轴，交直线于点．
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
当时，点到的距离就最大．此时点的坐标为．
（3）存在．由抛物线可得对称轴是直线．
是抛物线对称轴上的动点，点的横坐标为1．
①当为边时，点到点的水平距离是4，
点到点的水平距离也是4．
点的横坐标是5或，点的坐标为或；
②当为对角线时，点到点的水平距离是3，
点到点的水平距离也是3，点的坐标为．
综上所述，在抛物线上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
点的坐标是或或．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，正确作出辅助线和画图图形是解题的关键．
21．（2025•枣庄）如图，抛物线经过，两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点是轴上一动点，分别连接，，求的最小值；
（3）若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式；
（2）利用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得，作点关于轴的对称点，连接，，，即的最小值为，利用两点间距离公式即可求得答案；
（3）分三种情况：当、为对角线时，当、为对角线时，当、为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分即对角线的中点重合，分别列方程组求解即可．
【解答】解：（1）抛物线经过，两点，
，
解得：，
该抛物线的表达式为；
（2），
顶点，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
作点关于轴的对称点，连接，，如图，
则，
，即的最小值为，
，
的最小值为；
（3）对称轴上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
由（2）得：，，
点是抛物线上一动点，
设，
抛物线的对称轴为直线，
设，
当、为对角线时，、的中点重合，
，
解得：，
；
当、为对角线时，、的中点重合，
，
解得：，
；
当、为对角线时，、的中点重合，
，
解得：，
；
综上所述，对称轴上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，运用分类讨论思想是解题的关键．
22．（2025•昔阳县模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点是直线上方的抛物线上一动点，设三角形的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标；
（3）点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）将点，代入中，即可求解；
（2）求出直线的解析式，过点作轴交于点，设，则，可得，再求解即可；
（3）设，，分三种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时，，求得；②当为平行四边形的对角线时，，求得；③当为平行四边形的对角线时，，求得，或，；
【解答】解：（1）将点，代入中，
，
解得．
；
（2）令，则，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
过点作轴交于点，
设，则，
，
，
点是直线上方，
，
当时，有最大值，
此时，；
（3）存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设，，，，
①当为平行四边形的对角线时，，
解得（舍或，
；
②当为平行四边形的对角线时，，
解得（舍或，
；
③当为平行四边形的对角线时，，
解得或，
，或，；
综上所述：点坐标为或或，或，．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
23．（2025•巴中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为1．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值．
（3）若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线顶点横坐标，可得出抛物线的对称轴为直线，结合点的坐标，可得出抛物线与轴另一交点的坐标，结合点的坐标，再利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式；
（2）由“直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点”，可得出点，的坐标，进而可得出，的值，代入中，可得出，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）利用平移的性质，可得出平移后抛物线的表达式为，利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出点的坐标，假设存在以，，，为顶点的平行四边形，设点的坐标为，点的坐标为，分为对角线、为对角线及为对角线三种情况考虑，由平行四边形的对角线互相平分，可得出关于的一元一次方程，解之可得出值，再将其代入点的坐标中，即可得出结论．
【解答】解：（1）抛物线的顶点横坐标为1，
抛物线的对称轴为直线．
点的坐标为，
抛物线与轴的另一交点坐标为．
将，，代入得：，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
，且，
当时，有最大值，最大值为；
（3），
抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为．
当时，，
点的坐标为，．
假设存在以，，，为顶点的平行四边形，设点的坐标为，点的坐标为．
①当为对角线时，对角线，互相平分，
，
解得：，
点的坐标为，；
②当为对角线时，对角线，互相平分，
，
解得：，
点的坐标为，；
③当为对角线时，对角线，互相平分，
，
解得：，
点的坐标为，．
综上所述，存在以，，，为顶点的平行四边形，点的坐标为，或，或，．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质以及平行四边形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）利用二次函数的性质，求出的最大值；（3）利用平行四边形的性质（对角线互相平分），找出关于的一元一次方程．
题型七 正方形存在性问题
24．（2025•西安校级三模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为，点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，在坐标平面内是否存在点，使得以线段为对角线的四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由、的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点即可；
（2）由于、两点关于对称轴对称，可知点为对称轴与轴的交点，点在对称轴上，可设出点的坐标，则可表示出的坐标，代入抛物线解析式可求得点的坐标．
【解答】解：（1）把、两点坐标代入抛物线解析式可得，
解得，
抛物线解析式为，
，
；
（2）存在，
如图，设对角线、交于点，
点、关于抛物线对称轴对称，且四边形为正方形，
点为抛物线对称轴与轴的交点，点在抛物线的对称轴上，
设，则坐标为，
点在抛物线的图象上，
，解得或，
或．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，确定出、的位置是解题的关键．
25．（2025•长沙）我们约定：若关于的二次函数与同时满足，，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于的二次函数与互为“美美与共”函数，求，，的值；
（2）对于任意非零实数，，点与点，始终在关于的函数的图象上运动，函数与互为“美美与共”函数．
①求函数的图象的对称轴；
②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于的二次函数与它的“美美与共”函数的图象顶点分别为点，点，函数的图象与轴交于不同两点，，函数的图象与轴交于不同两点，．当时，以，，，为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
【分析】（1）根据题意得到，，，即可求解．
（2）①求出的对称轴，得到，表示出的解析式，即可求解．
②，令，求解即可．
（3）由题意可知，，得到，的坐标，表示出，，根据且，得到，分情况讨论：若时，若时，求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知，，，，
，，．
答：的值为，的值为3，的值为2．
（2）①点与点，始终在关于的函数的图象上运动，
对称轴为，
，
，
对称轴为．
答：函数的图象的对称轴为．
②，
令，
解得，
过定点，．
答：函数的图象过定点，．
（3）由题意可知，，
，
，，
且，
．
若，则，
要使以，，，为顶点的四边形能构成正方形，
则，为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
若，则、关于轴对称，以，，，为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，当时，以，，，为顶点的四边形能构成正方形，此时．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．
题型八 菱形存在性问题
26．（2025•孝义市三模）综合与探究：
如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点．直线与抛物线的对称轴交于点．将直线沿射线方向向下平移个单位，平移后的直线与直线交于点，与抛物线的对称轴交于点．
（1）求出点，，的坐标，并直接写出直线，的解析式；
（2）当是以为斜边的直角三角形时，求出的值；
（3）直线上是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分别求出、、的坐标，再用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）先求平移后的直线解析式为，则，再由勾股定理可得方程，求出或（舍；
（3）先求，，当、为邻边时，与为菱形的对角线，轴，可得，，再将点代入直线的解析式中求出的值，即可求；当为菱形的对角线时，，此时，，再由点向左平移个单位，向上平移个单位得到点，则，，得到方程，求出的值即可求点坐标．
【解答】解：（1）当时，，
解得或，
，，
当时，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
（2），
抛物线的对称轴为直线，
，
平移后的直线解析式为，
，
，，，
是以为斜边的直角三角形，
，
解得或（舍；
（3）存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，理由如下：
当时，解得，
，，
当、为邻边时，与为菱形的对角线，
，
轴，
，，
，
解得，
；
当为菱形的对角线时，，
，，
，
点向左平移个单位，向上平移个单位得到点，
，，
，
解得，
，；
综上所述：点坐标为或，．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直线平移的性质，勾股定理，菱形的性质是解题的关键．
27．（2025•锦州）如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，，顶点为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点和点，代入求抛物线的表达式；
（2）将四边形分割，，利用建立方程求点的坐标；
（3）对，，，四个点按顺时针和逆时针排成菱形，分别求解．
【解答】解：（1）抛物线过点和点，，
，
，
抛物线的表达式．
（2）设抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点，如图．
设，
，，
，
四边形的面积为，
，
，
，
，．
（3）存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，且，满足条件的坐标为，或，．理由如下：
如图，连接，，
四边形是菱形，且，
是等边三角形，
是等边三角形，
，
，
直线的表达式为，
，
，；
如图，连接、、，
四边形是菱形，且，
是等边三角形，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
直线的表达式为，
，
，，
综上，，或，．
【点评】本题考查了二次函数解析式的求法，与四边形面积和菱形结合，对于（2）关键是分割，对于（3）关键是找清分类标准．
28．（2025•青岛二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值．
（3）连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）设出点P的坐标，作辅助线，表示出三角形PCQ和三角形PBQ的面积，即可求解．
（3）设出点P的坐标，求出P′的坐标，利用菱形的性质即可求解．
【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
答：二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，
设P（x，﹣x2+2x+3），直线BC的解析式为y＝mx+n，
则，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
则Q（x，﹣x+3），
∴＝，
当x＝时，△CPB的面积最大，
此时，点P的坐标为（），△CPB的面积的最大值为．
（3）存在．
如图，设点P（x，﹣x2+2x+3），PP′交CO于点E，
若四边形POP′C是菱形，则OP＝PC，
连接PP′，则PE⊥OC，OE＝CE＝，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴P（）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，还要牢记菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，菱形的四条边都相等，对于求三角形面积最大值的问题，一般是将三角形分割成两个三角形，即作x轴的平行线或y轴的平行线，然后再利用面积公式得出一个二次函数，求出顶点的纵坐标即是最大值．
29．（2025•清原县三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作交抛物线于点，点为直线上一动点，连接，，，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位，为平移后的抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴的垂线，交直线于点，设点的坐标为，则，则，由，当时，四边形的面积最大为18，此时；
（3）先求出平移后的函数解析式为，设，，分三种情况讨论：①当为菱形的对角线时，或；②当为菱形的对角线时，，或；③当为菱形的对角线时，或．
【解答】解：（1）将，代入，
，
解得，
；
（2）令，则，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
过点作轴的垂线，交直线于点，
设点的坐标为，则，其中，
，
，
当时，四边形的面积最大为18，此时；
（3）存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，理由如下：
抛物线沿射线方向平移个单位，
抛物线沿轴正方向平移个单位，沿轴负方向平移个单位，
平移后的函数解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
设，，
，，
，
①当为菱形的对角线时，
，
解得，
此时、重合，不符合题意；
②当为菱形的对角线时，
，
解得或，
，或；
③当为菱形的对角线时，
，
解得或，
或；
综上所述：点坐标为或或，或．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，利用割补法求四边形的面积，分类讨论是解题的关键．
30．（2025•金台区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）将抛物线L向右平移3个单位长度得到新的抛物线L′，点Q为坐标平面内一点，试判断在抛物线L′的对称轴上是否存在点P，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设P（1，t），Q（x，y），根据题意分两种情况讨论：当BP为菱形的对角线时，BC＝CP，P（1，0）或（1，6）；当BQ为菱形的对角线时，BC＝BP，P（1，）或（1，﹣）．
【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），
∴，
解得，
∴抛物线L的函数表达式为y＝x2+4x+3；
（2）存在点P，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的菱形，理由如下：
∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，将抛物线L向右平移3个单位长度得到新的抛物线L′，
∴抛物线L′的解析式为y＝（x+2﹣3）2﹣1，
即抛物线L′的解析式为y＝x2﹣2x，对称轴为直线x＝1，
∵抛物线L：y＝ax2+bx+3与y轴相交于点C，
∴C（0，3），
∴BC＝＝，
设P（1，t），Q（x，y），
当BP为菱形的对角线时，BC＝CP，
∴，
解得或，
∴P（1，0）或（1，6）（舍）；
当BQ为菱形的对角线时，BC＝BP，
∴，
解得或，
∴P（1，）或（1，﹣）；
综上所述：P点坐标为（1，0）或（1，）或（1，﹣）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．
31．（2025•武昌区模拟）如图，直线分别交轴，轴于点，，抛物线过，两点，其顶点为，对称轴与直线交于点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，问：是否存在点，使四边形为菱形？并说明理由；
（3）如图2，点为轴负半轴上的一动点，过点作，直线与抛物线交于点，，与直线交于点，若，求点的坐标．
【分析】（1）根据直线的解析式可求得，，代入抛物线即可求得答案；
（2）设，则，根据，，可得，即，，由两点间距离公式可得，由于，故四边形不能为菱形．
（3）连接，过点、、分别作轴的垂线，垂足依次为、、，设，由，直线，可得直线的解析式为，通过联立方程组可得，，进而求得，根据直线与抛物线交于点，，可得，运用根与系数关系可得：，，利用三角函数定义可得：，，再由，建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）直线分别交轴，轴于点，，
，，
抛物线过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）不存在点，使四边形为菱形．理由如下：
设，
轴，
轴，即轴，
则，
，
，
抛物线的顶点为，对称轴为直线，
，
，轴，
，
要使四边形为菱形，必须，
由，
解得：或，
当时，点与点重合，点与点重合，舍去；
当时，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故四边形不能为菱形．
（3）如图（2），过点、、分别作轴的垂线，垂足依次为、、，
设，
，直线，
直线的解析式为，
直线与直线交于点，
，
解得：，
，，
，，
在中，，
直线与抛物线交于点，，
，
整理得：，
，，
在中，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
解得：，
点的坐标为．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了一次函数和二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数关系，解直角三角形、勾股定理、待定系数法求函数的解析式、平行四边形和菱形的判定等知识点，运用数形结合思想以及熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
题型九 矩形存在性问题
32．（2025•陕西模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点．
（1）求点、、的坐标；
（2）将抛物线向右平移1个单位，得到新抛物线，点在坐标平面内，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分别令和，求解即可；
（2）先求得平移后的抛物线的解析式，再分情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，根据矩形的性质求解即可．
【解答】解：（1）令，则，
解得或，
，
令，则，
．
（2）；
，
对称轴为．
当为边时，分两种情况：
当为对角线时，连接，过点作的垂线，交于点，交轴于点，
，，
，
，
，
，
．
设所在直线解析式为，
将，代入得，，
解得，，
所在直线解析式为，
当时，．
．
当为边时，同理过点作的垂线，交于点，交轴于点，
所在直线解析式为，
与对称轴的交点坐标为．
当为对角线时，也为对角线，
，由图可知此时点不可能在上，
此种情况不存在．
综上，在新抛物线的对称轴上存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，矩形的性质，分类讨论是解题的关键．
33．（2025•泰山区校级二模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出值；
（3）在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点，的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
（2）先根据求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得；
（3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得．
【解答】解：（1）直线交坐标轴与、两点，
点，点，
抛物线经过、两点，且交轴于另一点，
，
，
抛物线解析式为：；
（2）解：，，
，
，
（已知），
，
，
（内错角相等，两直线平行），
点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，
当时，，
解得或（舍去），
则；
（3）存在，求解如下：
设点的坐标为，
①当四边形是矩形时，则，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
把点代入得：，
直线的解析式为：，
联立，
解得：或（即为点，舍去），
，
四边形是矩形，且，，，
，
解得，
则此时点的坐标为；
②当四边形是矩形时，则，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
则直线的解析式为，
联立，
解得：或（即为点，舍去），
，
四边形是矩形，且，，，
，
解得：，
则此时点的坐标为，
综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或．
【点评】本题考查了二次函数与一次函数的综合、矩形的性质等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．
题型十 相似三角形存在性问题
34．（2025•陆丰市二模）如图，抛物线与轴交于、两点在的左边），与轴交于点，顶点为．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）如图，若点是第二象限内抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，连接，是否存在点，使得与相似？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设，将点代入，即可求解析式；
（2）设，则，由，可知是等腰直角三角形，则也是等腰直角三角形，分两种情况讨论：①当时，，求出；②当时，轴，由此求点坐标即可．
【解答】解：（1）设，
将点代入，得，
，
；
（2）存在点，使得与相似，理由如下：
令，则，
或，
，，
设的解析式为，
，
，
，
设，则，
，
，
，
轴，
，
，
是等腰直角三角形，
与相似，
也是等腰直角三角形，
①当时，，
，
或，
，
；
②当时，轴，
点纵坐标为3，
时，或，
，
；
综上所述：点坐标为或．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
35．（2025•乐至县）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是抛物线在第二象限内的点，过点作轴的平行线与直线交于点，求的长的最大值；
（3）点是线段上的动点，点是抛物线在第一象限内的动点，连结交轴于点．是否存在点，使与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）首先求得、点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）设，则，，进而表示出的长；接下来用含的二次函数表示，根据二次函数的性质，即可解答；
（3）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可．
【解答】解：（1）直线与轴、轴分别交于、两点，
，，
抛物线经过、两点．
，
解得，
；
（2）设，
作轴，与直线交于点，
，解得，
，，
，
当时，的长的最大值为4；
（3）设，
，，
，
分两种情况：
①当时，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
或3（舍去），
，
，，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
联立解得或（不合题意，舍去）
点的坐标为，；
②当时，过点作于，
，
，，
，
，
，
，
，
设，则，，
，解得，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，，
同理得直线的解析式为，
联立解得或（不合题意，舍去）
点的坐标为，；
综上，点的坐标为，或，．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质等知识与方法，解本题的关键是利用方程的思想和函数的思想方法解决问题．利用相似三角形的判定得出关于的方程是解题关键，第（3）问中，注意要分类讨论，以防遗漏．
36．（2025•微山县三模）已知：如图，顶点为的抛物线经过原点，且与直线交于，两点（点在点的右边）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）猜想以点为圆心，以为半径的圆与直线的位置关系，并加以证明；
（3）若点为轴上的一个动点，过点作轴与抛物线交于点，则是否存在以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设抛物线顶点式为，将点代入求出的值即可求函数的解析式；
（2）先确定是直角三角形，则，再根据切线的定义可以判断出圆与直线相切；
（3）设，则，当时，，求出，或，；当时，，求出或．
【解答】解：（1）设抛物线顶点式为，
抛物线经过原点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）当时，解得或，
，，
，
，，，
，
是直角三角形，
，
为圆心，为半径，
点在圆上，
圆与直线相切；
（3）存在以，，为顶点的三角形与相似，理由如下：
轴，
，
设，则，
，，
当时，，即，
解得（舍或或，
，或，；
当时，，即，
解得（舍或或，
或；
综上所述：点坐标为，或，或或．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的切线的判定，三角形相似的判定及性质，勾股定理及逆定理的应用是解题的关键．
37．（2025•随州）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点，为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．
（1）直接写出抛物线和直线的解析式；
（2）如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；
（3）当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题得抛物线的解析式为，将点坐标代入求，进而得到抛物线的解析式；设直线的解析式为，将、两点坐标代入求解即可得到直线的解析式．
（2）由题可得坐标，分别求出，，，对等腰三角形中相等的边界线分类讨论，进而列方程求解．
（3）对点在点左右两侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解，进而得到点，点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线过点，，
抛物线的表达式为，
将点代入得，，
，
抛物线的表达式为，即．
设直线的表达式为，
将，代入得，
，
解得，
直线的表达式为．
（2）点在直线上，且，
点的坐标为，
，，
当为等腰三角形时，
①若，则，
即，
解得；
②若，则，
即，
解得或（舍去）；
③若，则，
即，
解得或（舍去）．
综上，或或．
（3）点与点相对应，
或，
①若点在点的左侧，
则，
当，即时，
直线的表达式为，
，
解得或（舍去），
，即，
，即，
解得，
，
当，即时，
，
，即，
解得（舍去）．
当，即时，
，，
，即，
解得，（负值舍去），
，．
②若点在点的右侧，
则，，
当，即时，
直线的表达式为，
，
解得或（舍去），
，
，即，
解得，
，
当，即时，
，，
，即，
解得或（舍去），
，
综上，，或，或，或，．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等相关知识．
38．（2025•建华区三模）如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接．抛物线的对称轴与轴交于点，点是直线上方抛物线上的一个动点（不于、重合），过点作交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是轴上一动点，当的和最小时，点的坐标为 ；
（3）求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（4）是否存在点，使与相似，若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作交轴于点，则为的最小值，先由等积法，求，再求，由勾股定理求出，则；
（3）过点作轴交于点，设，则，可得，当时，四边形面积的最大值为，此时；
（4）当时，，此时；当时，延长交轴于点，可得三角形是等腰三角形，由，建立方程，即可求，．
【解答】解：（1）将、代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）、，
，，
，
，
如图1，过点作交于点，
，
，
，
如图2，过点作交轴于点，则为的最小值，
当时，，
解得或，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
当时，四边形面积的最大值为，此时；
（4）存在点，使与相似，理由如下：
，
，
，
，
如图4，当时，，
；
如图5，当时，延长交轴于点，
，
，
，
三角形是等腰三角形，
，
，
解得，
，；
综上所述：点坐标为或，．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，胡不归求最短距离，等腰三角形的性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
题型十一 角的存在性问题
39．（2025•东莞市校级一模）如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，点是直线下方的二次函数图象上的一个动点，过点作轴于点，交于点，求线段最大时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点，使得．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点，，代入中得到关于，，的方程组，解方程组求出，，即可得到二次函数的表达式；
（2）先求出直线的解析式为，设点的横坐标为，则点的纵坐标为：，由于点的横坐标为，则点的纵坐标为，据此可得出关于的函数关系式，然后根据函数的最大值即可求出点的坐标；
（3）先求出直线的解析式为，分两种情况进行讨论：①当点在直线上方时，则，再求出直线的解析式为，然后与抛物线的解析式联立成方程组求解即可得点的坐标；②当点在直线的下方时，设与交于点，连接，先证为的垂直平分线，为的平分线，再证点为的中点，则经过点，据此得直线的解析式为，将直线的解析式与直线的解析式联立成方程组求解的点的坐标，进而可得直线的解析式为，然后与抛物线的解析式联立成方程组求解即可得点的坐标．
【解答】解：（1）将点，，代入，
得：，解得：，
二次函数的表达式为：，
（2）设直线的解析式为：，
将，代入，
得：，解得：，
直线的解析式为：，
设点的横坐标为，
点在下方的二次函数图象上，
点的纵坐标为：，
轴交于点，
点的横坐标为，
点的纵坐标为：，
，
当时，为最大，
当时，，
点的坐标为．
（3）存在，点的坐标为或．
理由如下：
设直线的解析式为：，
将点，代入，
得：，解得：，
直线的解析式为：，
当时，有以下两种情况：
①当点在直线上方时，
，
，
设直线的解析式为：，
则，，
直线的解析式为：，
解方程组，得：，，
点的坐标为；
②当点在直线的下方时，
设与交于点，连接，
，
，
又点，，
，
为的垂直平分线，且为的平分线，
由（2）知：点的横坐标为，
，
，
为的中点，
，
点为的中点，
经过点，
为的平分线，
直线的解析式为：，
解方程组，得：，
点的坐标为，
设直线的解析式为：，
将，代入，
得：，解得：，
直线的解析式为：，
解方程组，得：，，
点的坐标为．
综上所述：点的坐标为或．
【点评】此题主要考查了求函数解析式，二次函数的最值，函数的交点坐标等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，以及求函数交点坐标的方法，难点是分类讨论思想在解题中的应用，漏解是解答此题的易错点之一．
40．（2025•自贡）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线解析式及，两点坐标；
（2）以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的解析式，然后即可求出抛物线与轴和轴的交点坐标．
（2）分三种情况，先确定四边形的对角线，找到对角线的中点，然后根据中点坐标公式即可求解．
（3）分两种情况，点在直线上方和下方，利用等角的正切值相等求出线段的长，在转化成点的坐标．
【解答】解：（1）把点的坐标代入解析式得，
抛物线的解析式为，
点的坐标为，点的坐标为．
（2）以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：
①若为对角线，设的中点为，则根据中点坐标公式可得的坐标为，，
设点的坐标为，则有，
解得，，此时点的坐标为，
②若以为对角线，设的中点为，则的坐标为，
设点的坐标为，则有，
解得，，此时点的坐标为，
③若以为对角线，设的中点为，则点的坐标为，，
设点的坐标为，则有，
解得，，此时点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或或；
（3）存在，理由如下：
，
，
不可能出现在直线下方，也不可能在直线上，
当点在直线上方时，，过点作，如图：
根据点和点可得直线的解析式为，设直线与对称轴交于点，
点，，
轴，
，
，
，
，
，
，即，
解得，
，
在中，，
解得，
的纵坐标为，
点的坐标为．
【点评】本题综合考查了二次函数和几何图形的性质，充分运用性质解题是关键
41．（2025•岳阳）已知抛物线与轴交于，两点，交轴于点．
（1）请求出抛物线的表达式．
（2）如图1，在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点，使得四边形为正方形？若存在，请求出点，的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）过点作轴于点，则，由正方形性质可得，，进而可证得，得出，，即，再证明点在抛物线上，过点作轴于点，同理，，即可求得．
（3）先求得抛物线的解析式为，得出，，过点作轴于点，连接，如图2，过点作轴交于点，交抛物线于点，连接，利用等腰直角三角形性质和三角函数定义可得，进而可求得点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线经过，两点，
，
解得：，
抛物线的表达式为．
（2）存在点，使得四边形为正方形．
理由：
如图1，过点作轴于点，则，
，，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，，
，
当时，，
点在抛物线上，
过点作轴于点，
同理，，
，，
，
．
（3）抛物线上存在点，使得．
，
抛物线的顶点坐标为，
将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，
抛物线的解析式为，
抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，
，，
过点作轴于点，连接，如图2，过点作轴交于点，交抛物线于点，连接，
则，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即点与点重合时，，
；
，，
，
，
点与点关于直线对称，
；
综上所述，抛物线上存在点，使得，点的坐标为或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数定义，抛物线的平移变换等，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．
42．（2025•衡阳）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线．
（1）求的值．
（2）将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点代入，即可求得；
（2）利用待定系数法可得直线的解析式为，由平移可得直线的解析式为，设，过点作轴，交于点，作于点，设直线交轴于点，则，可得，再证得是等腰直角三角形，可得，运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）分两种情况：当在的下方时，当在的上方时，分别求得直线的解析式，联立方程组求解即可求得点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于点，
，
．
（2）存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大．
，
当时，，
，
当时，，
解得：，，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点，
直线的解析式为，
设，
过点作轴，交于点，作于点，设直线交轴于点，如图，
，
，
，，
，
，
，
轴，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
当时，取得最大值，此时点的坐标为，．
（3）存在．
当在的下方时，在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点，如图，
，，，，
，，，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
联立，得，
解得：（舍去），，
，；
当在的上方时，作点关于直线的对称点，如图，连接，，直线交抛物线于，
由对称得：，，，
，
，
则直线的解析式为，
联立，得：，
解得：（舍去），，
；
综上所述，抛物线上存在点，使，直线的解析式为或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，直线的平移，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等，第（3）问要注意分类讨论，防止漏解．
43．（2025•肇东市校级二模）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．抛物线的对称轴为直线，点坐标为．
（1）求抛物线表达式；
（2）在抛物线上是否存在点，使，如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点在轴上方，点是直线上方抛物线上的一个动点，求点到直线的最大距离．
【分析】（1）利用抛物线的对称轴为，求出的值，再把的值和的坐标代入，求解即可；
（2）作轴于点，利用相似三角形的判定方法可证得，设，则，，再分别讨论的位置，列式求解即可；
（3）作轴于点，交于点，作于点，用待定系数法求出直线的解析式，利用解析式表示出的长度，再通过求证，结合建立比值关系，列式计算即可求解．
【解答】解：（1）抛物线对称轴为，
，
，
将代入中，
．
答：抛物线的表达式为．
（2）存在．
如图，作轴于点，
，，
，
，
，
，，
①当点在轴上方时，，
解得，（不符题意舍去），
②当点在轴下方时，，
解得，（不符题意舍去），
或．
（3）作轴于点，交于点，作于点，
，
，，
设，
将，代入，
得，
解得，，
，
设，则，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
当时，最大为．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，三角函数、相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质及相似三角形的判定和性质是解决本题的关键．
44．（2025•东平县校级模拟）如图，已知抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一点，连接、．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，，若，求点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将，两点代入，即可求解；
（2）先求出，则，设，可得，即可求点坐标；
（3）在对称轴上取点使，则，可得，再由，分别求出，，可求，，点关于轴对称的点为，．
【解答】解：（1）将，两点代入，
，
解得，
；
（2）令，则，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
解得或，
或；
（3）存在点，使得，理由如下：
，
抛物线的对称轴为，
在对称轴上取点使，
，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，；
点关于轴对称的点为，；
综上所述：点的坐标为，或，．
【点评】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据题意能够构造等腰三角形是解题的关键．
45．（2025•原平市模拟）综合与探究：如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，过点作轴交轴于点，交直线于点，连接，，，与直线交于点．
（1）求，，三点的坐标及直线的函数表达式；
（2）当的面积等于面积的时，求点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）对于函数，分别令，求，，三点的坐标，利用待定系数法求直线的函数表达式；
（2）由想到构造三角形相似，通过对应边成比例建立方程求点；
（3）由轴得到，由及等量代换推理得到，则，通过对应边成比例建立方程求点．
【解答】解：（1）当时，，
，
令得或，
，，
设直线为，代入得，
，
，，，直线的函数表达式为；
（2）过作轴交于点，
轴，
，
，，
，
，
，
，
设，，
，
，，
，
，
或，
，
，
点的坐标为；
（3）存在点使，点的坐标为，理由如下：
连接，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
或，
，
，
点的坐标为．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，并与三角形面积，和角为结合，用到了三角形相似和方程思想．对于（2），由想到构造三角形相似是关键，对于（3），一般是寻找或构造角和角相等．
46．（2025•郴州模拟）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且，连接．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，若点是直线下方抛物线上一动点（不与点，重合），是否存在，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在轴上找一点，使得是等腰三角形，并求出点的坐标．
【分析】（1）求出点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设，分别求出，，，再由勾股定理建立方程求出的值即可求点坐标；
（3）设，可得，，，再根据等腰三角形的腰的关系分三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）点，
，
，
，
，
将，代入，
，，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）存在，使，理由如下：
当时，，
解得或，
，
设，
，，，
当时，，
解得（舍或，
；
（3）设，
，，，
当时，，
解得或（舍，
；
当时，，
解得或，
或；
当时，，
解得，
；
综上所述：点坐标为或或或．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．
47．（2025•怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
（2）点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．
【分析】（1）运用待定系数法，将、代入，即可求得抛物线的函数表达式，再利用配方法或顶点坐标公式即可求得抛物线的顶点坐标；
（2）运用待定系数法可得直线的解析式为，设，过点作轴，交于点，则，进而可得，运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）由直线交抛物线于点、，可得，利用根与系数关系可得，，利用两点间距离公式可得，设的中点为，过点作直线，垂足为，，以为直径的一定经过点，所以，即证得结论．
【解答】（1）解：抛物线与轴交于、两点，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：抛物线与轴交于点，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
设，
过点作轴，交于点，如图，
则，
，
，
，
当时，的最大值为8，此时点；
（3）证明：直线交抛物线于点、，
，
整理得：，
，，
，，
，
，
设的中点为，
，，
过点作直线，垂足为，如图，
，，
，
，
以为直径的一定经过点，
，
在直线上总存在一点，使得为直角．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数关系，圆的性质，圆周角定理等，解题关键是证得，得出以为直径的一定经过点．
48．（2025•新疆）【建立模型】（1）如图1，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：；
【类比迁移】（2）如图2，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到，直线交轴于点．
①求点的坐标；
②求直线的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知点，连接，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．
【分析】（1）根据垂直定义可得，利用同角的余角相等可得，再利用即可证明；
（2）①先求得，，过点作轴于点，则，进而证得，得出，，，即可求得点的坐标；
②运用待定系数法即可求得直线的解析式；
（3）先求得，，，分两种情况：当点在轴上方时，当点在轴下方时，分别构造直角三角形，利用相似三角形的判定和性质即可求得直线上特殊点的坐标，运用待定系数法求得直线的解析式，联立方程组求解即可得出点的坐标．
【解答】（1）证明：，，，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：①一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，
，，
，，
过点作轴于点，如图，
则，
，
线段绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，，
，
；
②设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为；
（3）解：抛物线上存在点，使得．
抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，
当时，，
解得：，，
，，
当时，，
，
当点在轴上方时，如图，设交轴于点，过点作于点，
则，
设，
，，
，，，
在中，，
，
，
，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
联立得，
解得：，（舍去），
，；
当点在轴下方时，如图，过点作，交于点，过点作轴于点，
则，
，
，
，
，，
，
，
，即，
，，
，
，；
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
联立，得，
解得：（舍去），，
，；
综上所述，抛物线上存在点，使得，点的横坐标为或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，勾股定理，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质，二次函数的图象及性质，熟练掌握三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质，直角三角形的三角函数值，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键．
49．（2025•海南模拟）如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物线交于、两点．点是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；
（2）当点的坐标为时，求四边形的面积；
（3）抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，点、是对称轴上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴，过点作交于，过点作交于，利用割补法求四边形的面积即可；
（3）连接交于点，则，先求两直线的交点，可得，设，过点作轴交于，由，得到方程，求出的值即可；
（4）连接，过点作，过点作，与交于点，四边形的周长，当、、三点共线时，四边形的周长有最小值，分别求出，，即可得四边形的周长的最小值为．
【解答】解：（1）将、，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为，
，
解得或，
；
（2）过点作轴，过点作交于，过点作交于，
、，，，
，，，，
四边形的面积；
（3）存在点，使，理由如下：
连接交于点，
直线与直线平行，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，解得，
，
，，
，
设，
过点作轴交于，
，
，
解得或或（舍，
，或，；
点的横坐标为或；
（4）连接，过点作，过点作，与交于点，
四边形是平行四边形，
，，
、关于对称轴对称，
，
四边形的周长，
当、、三点共线时，四边形的周长有最小值，
，，
，
、，
，，
四边形的周长的最小值为．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，直角三角形的性质是解题的关键．
50．（2025•鼓楼区校级模拟）如图1，经过原点的抛物线、为常数，与轴相交于另一点．在第一象限内与直线交于点，抛物线的顶点为点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点是点关于抛物线对称轴的对称点，点是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点．设和的面积分别为和，求的最大值．
【分析】（1）先求出点的坐标，运用待定系数法可求得抛物线的解析式为；
（2）存在点，使得．分两种情况：当点在直线的上方时，当点在直线的下方时，分别运用待定系数法求出直线的解析式，再联立方程组求解即可；
（3）如图，过点作轴交直线于点，设，则，，，再由点是点关于抛物线对称轴直线的对称点，可得：轴，，根据相似三角形性质和等高三角形面积比可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）直线经过点，
，
，
把，分别代入，
得：，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）存在点，使得．
，
抛物线的顶点为，
如图1，当点在直线的上方时，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
联立，得：，
解得：（舍去），，
当时，，
；
当点在直线的下方时，如图1，过点作轴于点，过点作于点，交于点，连接交抛物线于点，
则，，
点是的中点，即，，
是线段的垂直平分线，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
联立，得，
解得：，
，，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
与联立，得，
解得：（舍去），，
当时，，
，；
综上所述，存在点，使得，点的坐标为或，；
（3）如图2，过点作轴交直线于点，
设，则的纵坐标为，
直线的解析式为，
，，
，
，点是点关于抛物线对称轴直线的对称点，
轴，，
，
，
，
，
当时，的最大值为．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和全等三角形的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．