2026中考数学夺分必备05压轴大题-几何中的最值问题（5种题型40题专练）（学生版+名师详解版）

这是一份2026中考数学夺分必备05压轴大题-几何中的最值问题（5种题型40题专练）（学生版+名师详解版），共157页。试卷主要包含了如图，已知，，是的平分线，问题提出，如图，中，，，过点作交于点等内容，欢迎下载使用。
题型一：圆中的最值问题（9题）
题型二：胡不归模型（11题）
题型三：阿氏圆模型（5题）
题型四：瓜豆原理（4题）
题型五：将军饮马模型（11题）
题型一：圆中的最值问题（9题）
1．（2025•竞秀区二模）已知，在半圆中，直径，点，在半圆上运动，弦．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，若，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积；
（3）如图3，取的中点，点从点开始运动到点与点重合时结束，在整个运动过程中：点到的距离的最小值是 ．
2．（2025•大兴区二模）在平面直角坐标系中，已知点，．点为平面内一点（不与点，点重合），若是以线段为斜边的直角三角形，则称点为线段的直点．
（1）若，
①在点，，这三个点中，点 是线段的直点；
②点为线段的直点，点，求的取值范围；
（2）点在直线上，若点的横坐标 满足，点为线段的直点，且，直接写出的取值范围．
3．（2025•舟山二模）如图，已知，，是的平分线．动点从点出发，以的速度沿水平向左做匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上做匀速运动．连接，交于点．经过，，三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．
（1）用含的代数式表示线段的长，并求的最小值．
（2）求四边形的面积．
（3）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
4．（2025•常州模拟）如图，半圆的直径，以长为2的弦为直径，向点方向作半圆，其中点在上且不与点重合，但点可与点重合．
（1）计算：劣弧的长；
（2）思考：点与的最大距离为 ，此时点，间的距离为 ；点与的最小距离为 ．
（3）探究：当半圆与相切时，求的长．
（注：结果保留，，
5．（2025•灞桥区校级三模）问题提出：
（1）如图①，已知点到直线的距离是5，以为圆心、2为半径作圆，则上一点到直线的最小距离为 ．
问题探究：
（2）如图②，已知正方形的边长为2，是边上的动点，交于点，垂足为，连结，则求的最小值．
问题解决：
（3）如图③，有一个矩形花坛，，，根据设计造型要求，在上任取一动点，连，过点作，交于点，在上截取，连接、；现需在的区内种植一种黄色花卉，在矩形内的其它区域种植一种红色花卉，已知种植这种黄色花卉每平方米需200元，种植这种红色花卉每平方米需180元，完成这两种花卉的种植至少需花费多少元？（结果保留整数，参考数据：
6．（2025•南海区一模）如图1，在矩形中，，，点在射线上运动，将沿翻折，使得点与点重合，连接交于点．
（1）【初步探究】当点落在边上时，求的长；
（2）【深入探究】在点的运动过程中，是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由；
（3）【拓展延伸】如图3，点为的中点，连接，点在射线上运动过程中，求长的最大值．
7．（2025•北京一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，为上一点，点．
对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
（1）如图，已知点，点，点为点的“对应点”．
①在图中画出点；
②求证：；
（2）点在轴正半轴上，且，点为点的“对应点”，连接，当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积（用含的式子表示）．
8．（2025•房山区模拟）对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：在图形上存在两点，（点，可以重合），在图形上存在两点，（点，可以重合）使得，则称图形和图形满足限距关系．
（1）如图1，点，，，，点在线段上运动（点可以与点，重合），连接，．
①线段的最小值为 ，最大值为 ；线段的取值范围是 ；
②在点，点中，点 与线段满足限距关系；
（2）在（1）的条件下，如图2，的半径为1，线段与轴、轴正半轴分别交于点，，且，若线段与满足限距关系，求点横坐标的取值范围；
（3）的半径为，点，是上的两个点，分别以，为圆心，2为半径作圆得到和，若对于任意点，，和都满足限距关系，直接写出的取值范围．
9．（2025•雁塔区校级二模）问题提出：
（1）如图1，点、在上且，过点作，交于点，交于点，连接、，若，则线段的长度为 ．
问题探究：
（2）如图2，在中，，，求边长度的最大值；
问题解决：
（3）如图3，某城市拟在河流、所夹半岛区域建一个湿地公园，公园的周长由亲水廊桥、、和绿化带四部分构成．其中、两定点间的距离为2000米．根据规划要求，、两点间的距离为600米，、两点到直线的距离相等，的中点到的距离比点到的距离多米；若修建时需保证与的和为120度，请判断这个湿地公园的周长是否存在最大值？若存在，请求出最大值．若不存在，请说明理由．（结果保留
题型二：胡不归模型（11题）
1．（2025•湘潭县三模）如图，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为轴上一个动点，连接，求的最小值；
（3）连接，在轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2025•徐州二模）抛物线与直线相交于、两点，与轴相交于点，点在轴的负半轴上．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点的坐标；
（2）如图1，直线上方的抛物线上有一动点，过点作于点，求垂线段的最大值；
（3）如图2，当点运动到抛物线对称轴右侧时，连接，交抛物线的对称轴于点，当最小时，直接写出此时的长度．
3．（2025•仁寿县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．
（1）连接，点是线段上一动点（点不与端点，重合），过点作，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值；
（2）在（1）中，当取得最大值，取得最小值时，把点向上平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2021•津南区一模）已知抛物线交轴于，两点，且点的坐标为，其对称轴交轴于点．
（Ⅰ）求该抛物线的顶点的坐标；
（Ⅱ）设是线段上的一个动点（点不与点，重合）．
①过点作轴的垂线交抛物线（对称轴右侧）于点，连接，，求面积的最大值；
②连接，求的最小值．
5．（2021•南山区校级三模）如图，已知抛物线与轴相交于点，与轴分别交于点和点，且．
（1）求抛物线解析式．
（2）抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
6．（2021•惠山区校级一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点，点的坐标为，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．
（1）填空： ，点的坐标是 ；
（2）连接，点是线段上一动点（点不与端点，重合），过点作，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当的周长取得最大值时，求的最小值；
（3）在（2）中，当的周长取得最大值时，取得最小值时，如图2，把点向下平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2021•红桥区模拟）已知抛物线，为常数，与轴的正半轴交于点，其顶点的坐标为．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点是抛物线上位于直线上方的一个动点，求面积的最大值；
（Ⅲ）点是抛物线对称轴上的一个动点，连接，求的最小值．
8．（2021•香洲区校级三模）如图，抛物线交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点，直线经过点、，点是线段上的一动点（不与点，重合）．
（1）求，两点的坐标；
（2）当点，关于抛物线的对称轴对称时，求的最小值及此时点的坐标；
（3）连接，当与相似时，求出点的坐标．
9．（2021•青山区模拟）已知抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，且．设抛物线的顶点为，对称轴交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点为抛物线上的一点，且，连接，交对称轴于点．点为线段上一动点，连接，当时，求的最小值．
（3）如图2，过点作，交轴于点，将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，求的取值范围．
10．（2021•番禺区一模）如图，中，，，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）设．
①以为半径的交边于另一点，点为边上一点，且．连接，求．
②点是线段上一动点（不与、合），连接，在点运动过程中，求的最小值．
11．（2025•南山区三模）如图，在中，，，经过点，且圆的直径在线段上．
（1）试说明是的切线；
（2）若中边上的高为，试用含的代数式表示的直径；
（3）设点是线段上任意一点（不含端点），连接，当的最小值为6时，求的直径的长．
题型三：阿氏圆模型（5题）
1．（2025•万州区模拟）如图，在等腰直角三角形中，，过点作交过点的直线于点，，直线交于．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，过点作交于点，交的延长线于，取线段的中点，连接，求证：．
（3）在（2）的条件下，过点作交于点，若点是线段上任一点，连接，将沿折叠，折叠后的三角形记为△，当取得最小时，直接写出的值．
2．（2025•成都模拟）在中，，．若点为上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，交于点．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，点为的中点，连接交于点．若，猜想线段与线段的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，若，为的中点，将绕点旋转得△，连接、，当最小时，求．
3．（2025•市中区校级模拟）如图，在 与中，，，，点在上．
（1）如图1，若点在的延长线上，连接，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若点与点重合，且，，将绕点旋转，连接，点为的中点，连接，在旋转的过程中，求的最小值；
（3）如图3，若点为的中点，连接、交于点，交于点，且，请直接写出的值．
4．（2021•沙坪坝区校级模拟）如图1，在四边形中，交于点，为等边三角形．
（1）若点为的中点，，，求的面积；
（2）如图2，若，点为的中点，求证：；
（3）如图3，若，，点为四边形内一点，且，连接，取的中点，连接．当，，时，求的最小值．
5．（2025•从化区一模）已知，是的直径，，．
（1）求弦的长；
（2）若点是下方上的动点（不与点，重合），以为边，作正方形，如图1所示，若是的中点，是的中点，求证：线段的长为定值；
（3）如图2，点是动点，且，连接，，一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动，求点的运动时间的最小值．
题型四：瓜豆原理（4题）
1．（2025•海淀区校级三模）在平面直角坐标系中，给定图形和点，若图形上存在两个点，满足且，则称点是图形的关联点．
已知点，，．
（1）在点，，，，，中， 是线段的关联点；
（2）是以点为圆心，为半径的圆．
①当时，若线段上任一点均为的关联点，求的取值范围；
②记线段与线段组成折线，若存在，使折线的关联点都是的关联点，直接写出的最小值．
2．（2025•沈阳）【特例感知】
（1）如图1，和是等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，连接，，线段与的数量关系是 ；
【类比迁移】
（2）如图2，将图1中的绕着点顺时针旋转，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．
【方法运用】
（3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．
①若将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最大值是 ；
②若以为斜边作，，三点按顺时针排列），，连接，当时，直接写出的值．
3．（2025•崖州区一模）若，以点为圆心，2为半径作圆，点为该圆上的动点，连接．
（1）如图1，取点，使为等腰直角三角形，，将点绕点顺时针旋转得到．
①点的轨迹是 （填“线段”或者“圆” ；
②的最小值是 ；
（2）如图2，以为边作等边（点、、按照顺时针方向排列），在点运动过程中，求的最大值．
（3）如图3，将点绕点逆时针旋转，得到点，连接，则的最小值为 ．
4．（2021秋•武昌区期末）如图1，在中，平分，平分，与交于点．
（1）若，则 ；
（2）如图2，，作交于点，求证：；
（3）如图3，，，若点为的中点，点在直线上，
连接，将线段绕点逆时针旋转得，，连接，当最短时，直接写出的度数．
题型五：将军饮马模型（11题）
1．（2025•巧家县校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，．
（1）求线段的长；
（2）若点为轴上的一个动点，则当最小时，点的坐标为 ．
2．（2025•陕西模拟）如图，的顶点坐标为，，．
（1）画出关于轴对称的△（点，，分别是，，的对应点）；
（2）在轴上找一点，使的值最小．
3．（2025•南关区校级模拟）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①的线段上画一点，使得；
（2）在图②中，画的高；
（3）在图②中，若点、分别为线段、上的动点，连接、，当取最小值时，画出点、的位置．
4．（2025•广阳区二模）探索与发现．
小张同学在用作图软件探索图形性质的数学活动中，进行如下操作：如图，在边长为6的正方形的边上取定点，使，在边上设置动点，连接，以为边在的上方作正方形，连接，．
（1）小张同学通过观察发现图中，请给出证明；
（2）探索过程中发现，在点的运动过程中，的面积是个定值，请证明并求出这个定值；
（3）进一步探索后发现，随着点的运动，的周长会随着点位置的变化而变化，但存在一个最小值，请你求出周长的最小值．
5．（2025•内黄县二模）如图，在中，，，以为直径作，交于点，过点作的切线交于点．
（1）求证：．
（2）若，为上一点，当为最小值时，求的长．
6．（2025•卧龙区二模）综合与实践
问题提出
（1）如图①，请你在直线上找一点，使点到两个定点和的距离之和最小，即的和最小（保留作图痕迹，不写作法）；
思维转换
（2）如图②，已知点是直线外一定点，且到直线的距离为4，是直线上的动线段，，连接，，求的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”，请你参考小敏的思路求的最小值；
拓展应用
（3）如图③，在矩形中，，连接，点、分别是边、上的动点，且，分别过点、作，，垂足分别为、，连接、，请直接写出周长的最小值．
7．（2025•渝中区校级一模）如图，△ABC是等边三角形，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转120°至CE，连接BE，分别交AC、CD于点F、G．
（1）若AD＝3，BD＝1，求△BCE的面积；
（2）请猜想线段AF，BD，CF之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当△BCE周长最小时，请直接写出的值．
8．（2025•碑林区校级一模）（1）如图①，点、点在直线同侧，请你在直线上找一点，使得的值最小；（不需要说明理由）
（2）如图②，，点为内一定点，，点，分别在，上，的周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由；
（3）如图③，已知四边形中，，，，，点为边上的一点且，点，分别在边，上运动，点在线段上运动，连接，，，的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长最小值和此时的长，若不存在，请说明理由．
9．（2025•安国市一模）问题提出
初中数学的学习中，我们学习了“两点之间线段最短”“垂线段最短”等知识常可利用它们来解决“最值问题”．
简单运用
（1）如图1，在中，，，，在上取一点，则的长的最小值是 ．
综合运用
（2）如图1，在中，，，，在、、上分别取点、、，使得的周长最小．画出图形确定、、的位置，并直接写出的周长的最小值．
拓展延伸
（3）图2是由线段、线段、组成的图形，其中，，，为，分别在、线段和线段．上取点、、，使得的周长最小，画出图形确定、、的位置，并直接写出的周长的最小值．
10．（2025•西山区一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点，抛物线的最低点的坐标为．
（1）求出该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，线段绕点逆时针旋转得到线段，与抛物线相交于点，求点的坐标．
（3）如图2，点，是线段上的动点，且，求周长的最小值．
11．（2025•渝中区校级自主招生）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点在左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，过点作的垂线，交对称轴于．
（1）如图1，点为第一象限内的抛物线上一动点，当面积最大时，在对称轴上找一点，在轴上找一点，使得最小，求此时点的坐标及的最小值；
（2）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点在射线上移动，点平移后的对应点为，点的对应点，设原抛物线的对称轴与轴交于点，将沿翻折，使点落在点处，在平面上找一点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形．直接写出的坐标．
方法必备05 压轴大题几何中的最值问题（5种题型40题专练）
题型一：圆中的最值问题（9题）
题型二：胡不归模型（11题）
题型三：阿氏圆模型（5题）
题型四：瓜豆原理（4题）
题型五：将军饮马模型（11题）
题型一：圆中的最值问题
1．（2025•竞秀区二模）已知，在半圆中，直径，点，在半圆上运动，弦．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，若，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积；
（3）如图3，取的中点，点从点开始运动到点与点重合时结束，在整个运动过程中：点到的距离的最小值是 ．
【分析】（1）分别说明，，成立，用证明；
（2）将阴影面积分割：；
（3）先得到点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，然后计算点从点开始运动时到的距离．
【解答】（1）证明：，
，
，
，，
，
，
又，
；
（2）解：过作于，连接，如图
半圆中，直径，
，
，
，
，，
，
；
（3）连接，，
是的中点，
，，
，
点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
过作，垂足为，
，
，
点到的距离的最小值是，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆的性质、三角形全等的判定、与圆有关的面积计算、隐圆问题等知识点，对于（3），关键是确定点在以为圆心，为半径的圆弧上运动．
2．（2025•大兴区二模）在平面直角坐标系中，已知点，．点为平面内一点（不与点，点重合），若是以线段为斜边的直角三角形，则称点为线段的直点．
（1）若，
①在点，，这三个点中，点 是线段的直点；
②点为线段的直点，点，求的取值范围；
（2）点在直线上，若点的横坐标 满足，点为线段的直点，且，直接写出的取值范围．
【分析】（1）①按所给点，逐个计算，再根半径比较即可；
②连接作直线，交于、，则是的最小值，是的最大值，再分别计算、即可；
（2）若点在处和若点在处时，分别求出当时的长即可．
【解答】解：（1）①若，
则，．
以为圆心，1为半径作圆，
则线段的直点满足在上，
，，
，
在内，
不是线段的直点；
，
，
在上，
是线段的直点；
，
，
在外，
不是线段的直点；
故答案为：．
②如图，作直线，交于、，则是的最小值，是的最大值，
点，
，
，，
，
（2）在直线上且满足，
点在如图中的两个点之间，
当时，
若点在处，，
连接交于，
当时，，
即，
若点在处，，
连接交于，
当时，，
即，
的取值范围．
当时，
即，
的取值范围．
【点评】本题考查了点圆最值的应用解答，一次函数性质及勾股定理的计算是解题关键．
3．（2025•舟山二模）如图，已知，，是的平分线．动点从点出发，以的速度沿水平向左做匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上做匀速运动．连接，交于点．经过，，三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．
（1）用含的代数式表示线段的长，并求的最小值．
（2）求四边形的面积．
（3）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）用的代数式表示出线段，，，利用勾股定理解得即可，利用配方法即可求得的最小值；
（2）连接，通过证明，可得到四边形的面积等于的面积，计算的面积即可求得结论；
（3）过点作于点，则为等腰直角三角形，设，则，，利用相似三角形的判定与性质得出比例式，求得，利用配方法即可求得结论．
【解答】解：（1）由题意得：，，
．
，
当时，有最小值为；
（2）连接，如图，
由题意得：．
四边形是圆的内接四边形，
．
，
为圆的直径．
．
为的平分线，
．
，
．
为等腰直角三角形．
．
在和中，
，
．
，．
，
．
，
．
即．
，
为等腰直角三角形．
．
．
四边形的面积为；
（3）存在实数，使得线段的长度最大，理由：
过点作于点，如图，
则为等腰直角三角形．
，，
．
．
．
设，则，，
．
解得：．
．
，
当时，长度的最大值为．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，理由二次函数的性质确定极值，配方法，相似三角形的判定与性质，本题是动点问题，依据题意准确用的代数式表示相应线段是解题的关键．
4．（2025•常州模拟）如图，半圆的直径，以长为2的弦为直径，向点方向作半圆，其中点在上且不与点重合，但点可与点重合．
（1）计算：劣弧的长；
（2）思考：点与的最大距离为 ，此时点，间的距离为 ；点与的最小距离为 ．
（3）探究：当半圆与相切时，求的长．
（注：结果保留，，
【分析】（1）连接，，得为等边三角形，根据圆心角的度数求出弧长即可；
（2）过点作于点，当点与点重合时，与的距离最大，当点与点重合时，与的距离最小，分别求出所需数据即可；
（3）当半圆与相切时，此时，且分以下两种情况讨论，当点在线段上和点在上，分别计算出即可．
【解答】解：（1）连接，，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
（2）过点作于点，连接，，
由点的位置可知，当点与点重合时点与的距离最大，如图：
此时，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
由点的位置可知，当点与点重合时，与的距离最小，如图：
，，
，
故答案为：，2，；
（3）当半圆与相切时，此时，且分以下两种情况讨论：
①当点在线段上时，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
，
，
当点在线段上时，此时，
，
，
，
综上，当半圆与相切时，的长为或．
【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是根据题意画出图形分析，涉及勾股定理，弧长公式，圆的切线性质等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高．
5．（2025•灞桥区校级三模）问题提出：
（1）如图①，已知点到直线的距离是5，以为圆心、2为半径作圆，则上一点到直线的最小距离为 3 ．
问题探究：
（2）如图②，已知正方形的边长为2，是边上的动点，交于点，垂足为，连结，则求的最小值．
问题解决：
（3）如图③，有一个矩形花坛，，，根据设计造型要求，在上任取一动点，连，过点作，交于点，在上截取，连接、；现需在的区内种植一种黄色花卉，在矩形内的其它区域种植一种红色花卉，已知种植这种黄色花卉每平方米需200元，种植这种红色花卉每平方米需180元，完成这两种花卉的种植至少需花费多少元？（结果保留整数，参考数据：
【分析】（1）画图即可判断；
（2）取的中点，连接，根据题意得：点的运动轨迹是以中点为圆心，为半径的弧，所以和的长度是定值，因此、、共线时，取最小值，根据勾股定理计算即可；
（3）以为边向上作等边三角形，以点为圆心，为半径作圆，在上取一点，连接，，过点作于点，过点作于点，求出的最小值即可解决问题．
【解答】解：（1）过点作于点，则，
以点为圆心，2为半径作圆，交于点，
上一点到直线的最小距离为；
（2）取的中点，连接，
根据题意得：点的运动轨迹是以中点为圆心，为半径的弧，
、为定值，
当、、共线时，取得最小值，
四边形是正方形，
，，
是的中点，
，
在中，，
的最小值为；
（3）以为边向上作等边三角形，以点为圆心，为半径作圆，
在上取一点，连接，，过点作于点，过点作于点，
，，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
、、、四点共圆，
，，
，
，
的最小值为，
完成这两种花卉的最低种植费用为
（元．
【点评】本题考查动点轨迹是圆的动点问题，解题的关键是能够发现动点的轨迹是圆，利用求点到圆上一点距离最小的方法求线段最小值．
6．（2025•南海区一模）如图1，在矩形中，，，点在射线上运动，将沿翻折，使得点与点重合，连接交于点．
（1）【初步探究】当点落在边上时，求的长；
（2）【深入探究】在点的运动过程中，是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由；
（3）【拓展延伸】如图3，点为的中点，连接，点在射线上运动过程中，求长的最大值．
【分析】（1）由翻折得：，根据勾股定理可得，再由，即可求得答案；
（2）以为圆心，长为半径作，可得点在上运动，当点在线段上时，最小，此时，，由勾股定理可得，即可求得的最小值为；
（3）以为圆心，长为半径作，延长至，使，连接，根据三角形中位线定理可得，则最大时，最大，由于点在上运动，当经过点时，最大，即可求得答案．
【解答】解：（1）当点落在边上时，如图1，
四边形是矩形，
，，，
由翻折得：，
在中，，
；
（2）如图2，以为圆心，长为半径作，
由翻折得：，
点在上运动，
当点在线段上时，最小，此时，，
在中，，
，
故在点的运动过程中，存在最小值，的最小值为；
（3）如图3，以为圆心，长为半径作，延长至，使，连接，
，
点是的中点，
点为的中点，
是的中位线，
，
则最大时，最大，
由翻折得：，
点在上运动，
当经过点时，最大，如图4，
在中，，
，
，
故点在射线上运动过程中，长的最大值为．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，圆的有关性质，点到圆上各点距离的最大值和最小值的应用，解决问题的关键是运用三角形中位线定理和圆中的最值．
7．（2025•北京一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，为上一点，点．
对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
（1）如图，已知点，点，点为点的“对应点”．
①在图中画出点；
②求证：；
（2）点在轴正半轴上，且，点为点的“对应点”，连接，当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积（用含的式子表示）．
【分析】（1）①根据定义，先确定点的位置，再得出点的位置；
②过点作轴于点，利用证明△，设，利用中点坐标公式可求得，再运用两点间距离公式可求得，即可证得结论；
（2）点绕点顺时针旋转后得到点，可求得，则在以为圆心，为半径的圆上，设点关于点的对称点为，则，求得，则点在以为圆心为半径的圆上，再根据点到圆上各点距离的最大值和最小值即可求得答案．
【解答】（1）①解：如图，点即为所求；
②证明：过点作轴于点，
点，点，
，，
由旋转得：，，
，
，
，
，
△，
，，
，
，
设，又点，
点关于点的对称点为，
，，
解得：，，
，
由两点间距离公式可得：，
；
（2）解：点绕点顺时针旋转后得到点，
，，
设，当点在第四象限时，过点作轴于，过点作于，
则，，
，，
，
△，
，，
，
，
在上，
，
，
在以为圆心，为半径的圆上，
设点关于点的对称点为，则，
，，
点在以为圆心为半径的圆上，
的最大值为，的最小值为，
长的最大值与最小值的积为，
故答案为：．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，两个相交圆的性质，图形旋转的性质，弄清定义，并能够判断出、点的运动轨迹是解题的关键．
8．（2025•房山区模拟）对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：在图形上存在两点，（点，可以重合），在图形上存在两点，（点，可以重合）使得，则称图形和图形满足限距关系．
（1）如图1，点，，，，点在线段上运动（点可以与点，重合），连接，．
①线段的最小值为 ，最大值为 ；线段的取值范围是 ；
②在点，点中，点 与线段满足限距关系；
（2）在（1）的条件下，如图2，的半径为1，线段与轴、轴正半轴分别交于点，，且，若线段与满足限距关系，求点横坐标的取值范围；
（3）的半径为，点，是上的两个点，分别以，为圆心，2为半径作圆得到和，若对于任意点，，和都满足限距关系，直接写出的取值范围．
【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定，的最大值，最小值即可解决问题；
②根据限距关系的定义判断即可；
（2）根据两直线平行相等计算设的解析式为：，得，，，分三种情形：①线段在内部，②线段与有交点，③线段 与没有交点，分别构建不等式求解即可；
（3）如图中，不妨设，的圆心在轴上位于轴的两侧，根据和都满足限距关系，构建不等式求解即可．
【解答】解：（1）①如图1中，
点，，，
，，
，，
当时，的值最小，当与重合时，的值最大是，
中，，即的最小值是；
如图2，当时，的值最小，
中，，
，
，
，
，
，
当与重合时，的值最大，的最大值是2，
线段的取值范围是：；
故答案为：，，；
②根据限距关系的定义可知，线段上存在两点，，满足，如图3，
故点与线段满足限距关系；
根据限距关系的定义可知，线段上存在两点，，满足，如图3，
故点与线段满足限距关系；
故答案为：和；
（2）点，，，
设直线的解析式为：，
，解得：，
直线的解析式为：，
，
设的解析式为：，
，，，
，，
当时，如图5，线段在内部，与无公共点，
此时上的点到线段的最小距离为，最大距离为，
线段与满足限距关系，
，
解得，
的取值范围为；
当时，线段与有公共点，线段与满足限距关系，
当时，如图6，线段在的外部，与没有公共点，
此时上的点到线段的最小距离为，最大距离为，
线段与满足限距关系，
，
而总成立，
时，线段 与满足限距关系，
综上所述，点横坐标的取值范围是：；
（3）如图中，不妨设，的圆心在轴上位于轴的两侧，
两圆的距离的最小值为，最大值为，
和都满足限距关系，
，
解得，
故的取值范围为．
【点评】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．
9．（2025•雁塔区校级二模）问题提出：
（1）如图1，点、在上且，过点作，交于点，交于点，连接、，若，则线段的长度为 ．
问题探究：
（2）如图2，在中，，，求边长度的最大值；
问题解决：
（3）如图3，某城市拟在河流、所夹半岛区域建一个湿地公园，公园的周长由亲水廊桥、、和绿化带四部分构成．其中、两定点间的距离为2000米．根据规划要求，、两点间的距离为600米，、两点到直线的距离相等，的中点到的距离比点到的距离多米；若修建时需保证与的和为120度，请判断这个湿地公园的周长是否存在最大值？若存在，请求出最大值．若不存在，请说明理由．（结果保留
【分析】（1）利用角度关系直接求解即可；
（2）构造外接圆，圆内最长的为直径，即可求解；
（3）关键在于构造出两个外接圆，然后利用弦的长度和角度关系将相关量表示出来即可求解．
【解答】解：（1），，
，
，
，
．
（2）如图1，构造的外接圆，连接，，
，
，
，
的直径为，
为弦长，
，
的最大值为．
（3）如图2，构造的外接圆，连接，交于点，连接，，过点作交于点，构造的外接圆，
点为的中点，
，
，
的中点到的距离比点到的距离多米，
，
设，则：
，
，
，
解得：，
，
，
，
的长度为：，
，，
四边形为平行四边形，
，，，
，
，
，
，
当到的距离最远时，
最大，
此时有，
，
此时周长最大为：，
公园周长最大值为米．
【点评】本题考查了圆的综合运用，涉及垂径定理，圆周角定理，还有平行四边形等相关知识点，综合性比较强，对解题思维要求较高，属于中考压轴题．
题型二：胡不归模型（11题）
1．（2025•湘潭县三模）如图，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为轴上一个动点，连接，求的最小值；
（3）连接，在轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）待定系数法求抛物线的解析式；
（2）对条件提取系数10，再利用胡不归模型；
（3）构造和相等的角，利用相似或三角函数值建立方程解决．
【解答】解：（1）抛物线与轴相交于点，，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，
在中，令，则，
，
在中，，，，
，
在中，，
，
，
，
，
的最小值为．
（3）如图，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
过点作，垂足为，
，
，
设，则，，
又，
，
，
，．
由对称性得，，也满足题意，
，或，．
【点评】本题考查了二次函数用待定系数法求表达式，胡不归模型等．第（3）问关键是构造和相等的角，利用相似或三角函数值建立方程解决．
2．（2025•徐州二模）抛物线与直线相交于、两点，与轴相交于点，点在轴的负半轴上．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点的坐标；
（2）如图1，直线上方的抛物线上有一动点，过点作于点，求垂线段的最大值；
（3）如图2，当点运动到抛物线对称轴右侧时，连接，交抛物线的对称轴于点，当最小时，直接写出此时的长度．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明是等腰直角三角形，则，进而求解；
（3）证明，得到故当、、共线时，为最小，进而求解．
【解答】解：（1）与轴交于点．
将代入得，
点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：．
故抛物线的函数表达式为：①，
即顶点的坐标为；
（2）设直线与轴交于点，令，得，故点的坐标为，
，
为等腰直角三角形，
如图1，过点作轴，交直线于点，则，
是等腰直角三角形，
，设点，则点，
，
的最大值为；
（3）如图2，设抛物线与轴的另外一个交点为，抛物线和轴的交点为，连接，
则，则，
过点作于点，延长交抛物线与点，
则此时，，
故当、、共线时，为最小，
，，
，
即，
则，
故直线的表达式为：②，
联立①②得：，
解得：（舍去）或，
则点的坐标为：，，
由点、的坐标得，．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、胡不归问题等，有一定的综合性，难度适中．
3．（2025•仁寿县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．
（1）连接，点是线段上一动点（点不与端点，重合），过点作，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值；
（2）在（1）中，当取得最大值，取得最小值时，把点向上平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先确定点的位置，可设点，则点，可得，根据二次函数的性质得时， 取到最大值，此时取到最大值，此时，此时，在轴上找一点，，连接，过点作的垂线交于点点，交轴于点，，直线的解析式为：，从而得到直线的解析式为：联立解出点，得的最小值即为的长，且最后得出；
（2）由题意可得出点，，应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半”取的中点，连接，则，此时，，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点，则用，分四种情况求解．
【解答】解：（1）如图1
抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点
令解得：，，令，解得：，
，，
点为抛物线的顶点，且，
点的坐标为
直线的解析式为：，
由题意，可设点，则点
当时， 取到最大值，此时取到最大值，此时，
此时，，，
在轴上找一点，，连接，过点作的垂线交于点点，交轴于点，
，直线的解析式为：，且点，
，直线的解析式为：
点，
的最小值即为的长，且
；
（2）由（1）知，点，
把点向上平移个单位得到点
点
在中，，，取的中点，连接，则，此时，
把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点
①如图2
点落在轴的负半轴，则，过点作轴交轴于点，且
则，
，解得：
在中根据勾股定理可得
点的坐标为，；
②如图3，
当点落在轴的正半轴上时，同理可得，
③如图4
当点落在轴的正半轴上时，同理可得，
④如图5
当点落在轴的负半轴上时，同理可得，．
综上所述，所有满足条件的点的坐标为：，，，，，，，．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点求法和与几何图形结合的综合能力的培养及直角三角形的中线性质．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用通过求点的坐标来表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
4．（2021•津南区一模）已知抛物线交轴于，两点，且点的坐标为，其对称轴交轴于点．
（Ⅰ）求该抛物线的顶点的坐标；
（Ⅱ）设是线段上的一个动点（点不与点，重合）．
①过点作轴的垂线交抛物线（对称轴右侧）于点，连接，，求面积的最大值；
②连接，求的最小值．
【分析】（Ⅰ）用待定系数法可得抛物线的解析式为，即可得抛物线的顶点的坐标是；
（Ⅱ）①过作轴交于，由，可得直线解析式为，设，其中，则，，可得，根据二次函数性质即得面积的最大值是1；
②连接，过作于，过作于，连接，由在抛物线对称轴上，得，在中可得，在中，，即知，由得，即可得的最小值是8．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线经过点，
，
解得，
抛物线的解析式为，
，
抛物线的顶点的坐标是；
（Ⅱ）①过作轴交于，如图：
设直线解析式为，将，代入得：
，解得，
直线解析式为，
根据题意知在线段下方，设，其中，则，
，
，
，，
时，最大值为1，
答：面积的最大值是1；
②连接，过作于，过作于，连接，如图：
在抛物线对称轴上，
，
在中，，
，
在中，，
，
由得：
，
，
即的最小值是8．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、“胡不归”问题等，解题的关键是作辅助线，转化为．
5．（2021•南山区校级三模）如图，已知抛物线与轴相交于点，与轴分别交于点和点，且．
（1）求抛物线解析式．
（2）抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由，，可得，用待定系数法即得抛物线解析式为；
（2）过作交轴于，交抛物线于，作关于轴的对称点，作直线交抛物线于，由，得，即知是满足题意的点，根据，，得直线解析式是，设直线解析式为，将代入可得直线解析式为，，解即得，根据、关于轴对称，知是满足题意的点，用待定系数法可得直线为，解即得；
（3）过作于，过作于，交轴于，由，可得，，因，故是等腰直角三角形，可得是等腰直角三角形，，即知最小即是最小，故当运动到，和重合时，的最小，最小值是，由，即得，即的最小值是．
【解答】解：（1），
，
，
，
，，
将，，代入得：
，解得，
抛物线解析式为；
（2）存在一点，使得，理由如下：
过作交轴于，交抛物线于，作关于轴的对称点，作直线交抛物线于，如图：
，
，即是满足题意的点，
，，
直线解析式是，
设直线解析式为，将代入得，
，
直线解析式为，，
解得（与重合，舍去）或，
，
、关于轴对称，
，，
是满足题意的点，
设直线为，将代入得，
，
直线为，
解得（舍去）或，
；
综上所述，点坐标是或；
（3）在轴上存在一个点，使值最小，理由如下：
过作于，过作于，交轴于，如图：
，
抛物线对称轴是直线，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
最小即是最小，
当运动到，和重合时，的最小，最小值是，
，，
是等腰直角三角形，
，
，，，
，
，即的最小值是．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰直角三角形性质及应用等知识，解题的关键是掌握解“胡不归”问题的方法．
6．（2021•惠山区校级一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点，点的坐标为，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．
（1）填空： ，点的坐标是 ；
（2）连接，点是线段上一动点（点不与端点，重合），过点作，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当的周长取得最大值时，求的最小值；
（3）在（2）中，当的周长取得最大值时，取得最小值时，如图2，把点向下平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点代入，求得，再令，解方程即可得出答案；
（2）将（1）中所得的解析式写成顶点式，则可得点的坐标，用待定系数法求得直线的解析式，设点，，利用等角的三角函数值相等得出，利用二次函数的性质求出使的周长取得最大值时的值，在轴上取点，，则，过作的垂线段交轴于点，可得，连接，，设交轴于点，利用的面积计算出即可；
（3）由（2）求出点的坐标，取的中点，△在旋转过程中，只需使的中点在坐标轴上即可使得，分四种情况计算即可．
【解答】解：（1）将点代入，得，
解得，，
，
当时，，
解得，，，
点的坐标是；
故答案为：，；
（2）
，
点，点，
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得，，
，
设点，，
由图形可知，，
，，
，
，
当时，最大，此时，，
在轴上取点，，则，过作的垂线段交轴于点，此时，
，
当点，，三点共线时，有最小值为，
而此时点不在线段上，故不符合题意，
的最小值为的长度，
点，点，
，
当的周长取得最大值时，的最小值为；
（3）存在．
由（2）可知，点，
将点向下平移个单位得到点，
点，
在中，，，则
，
取的中点，则有，
△在旋转过程中，只需使的中点在坐标轴上即可使得，
如图所示，当点在轴正半轴上时，过点作轴，垂足为，
，
，
，
，
设，则有：
，
，则点，，
同理可知，当点在轴正半轴上时，点，；
当点在轴负半轴上时，点，；
当点在轴负半轴上时，点，．
综上，点的坐标为，，，，，，，．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、直角三角形的性质与解直角三角形等知识点，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．（2021•红桥区模拟）已知抛物线，为常数，与轴的正半轴交于点，其顶点的坐标为．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点是抛物线上位于直线上方的一个动点，求面积的最大值；
（Ⅲ）点是抛物线对称轴上的一个动点，连接，求的最小值．
【分析】（1）由顶点的坐标为列方程即可得答案；
（2）设横坐标为，用的代数式表示面积即可得出答案；
（3）将化为，属“胡不归”问题，作，把所求问题转化为求垂线段即可．
【解答】解：（1）抛物线顶点的坐标为，
，解得，
抛物线的解析式为，
（2）过作交于，如答图
抛物线的解析式为，
令得，，
，
设直线解析式为，将、代入得：
，解得，
直线解析式为，
设，则，
，
，
当时，最大为1，
面积的最大值是1；
（3），
要使最小，即是最小，
设抛物线对称轴交轴于，以为顶点，为一边，在对称轴左侧作，使，过作于，交于，过作于，如答图
，，
，
最小即是最小，
此时与重合，与重合，的最小值即是的长度，
，，
，
，
，可得，，
而、知，
，，
，
，
，
，
最小为，
最小为．
【点评】本题考查二次函数综合知识，设点坐标表示线段长、转化所求问题为求垂线段长是解题的关键，本题难度较大．
8．（2021•香洲区校级三模）如图，抛物线交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点，直线经过点、，点是线段上的一动点（不与点，重合）．
（1）求，两点的坐标；
（2）当点，关于抛物线的对称轴对称时，求的最小值及此时点的坐标；
（3）连接，当与相似时，求出点的坐标．
【分析】（1）在中，令，解得或，即得，；
（2）过作轴于，交于，抛物线的对称轴为直线，在中，得，，可得，在中，，故最小，即是最小，的最小值即为的长，根据点，，关于抛物线的对称轴直线对称，即得，即的最小值为，由，，得直线解析式为，可求出；
（3）过作轴于，过作轴于，与相似，分两种情况：①当时，，可得，由，即得，，②当时，，得，同理可得，．
【解答】解：（1）在中，令得：
，解得或，
，；
（2）过作轴于，交于，如图：
抛物线的对称轴为直线，
在中，令得，
，，
，
，
在中，，
最小，即是最小，由垂线段最短可知的最小值即为的长，
点，，关于抛物线的对称轴直线对称，
与关于抛物线的对称轴直线对称，，，
，即的最小值为，
由，，得直线解析式为，
在中，令得，
；
（3）过作轴于，过作轴于，如图：
，，，，
，，
，
与相似，分两种情况：
①当时，，
，
，
轴，
，
，
，即，
，，
，
，，
②当时，
，即，
，
同理可得，
，
，，
，
，，
综上所述，当与相似时，坐标为，或，．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及抛物线与坐标轴交点坐标，“胡不归”模型，相似三角形的判定与性质等知识，解题得关键是画出图形，由相似三角形对应边成比例，求出相关线段的长度．
9．（2021•青山区模拟）已知抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，且．设抛物线的顶点为，对称轴交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点为抛物线上的一点，且，连接，交对称轴于点．点为线段上一动点，连接，当时，求的最小值．
（3）如图2，过点作，交轴于点，将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，求的取值范围．
【分析】（1）令可得坐标，由得，即可得的坐标，代入求出，即可得抛物线解析式；
（2）过作轴于，交于，过作轴于，中，可得，中，，可得，要求的最小即是求的最小值，也是最小，此时、、共线，即与重合，与重合，的长度即是的最小值，求出点坐标即可得到答案；
（3）将线段向上平移，当落到抛物线上的处时，线段与抛物线有两个交点，继续将线段向上平移，当线段与抛物线只有一个交点，移动到处，分别求出移动到、处时的值，即可得到答案．
【解答】解：（1）在中，令得，
解得，，
，
，
，即，
将代入得，
抛物线的解析式为；
（2）过作轴于，交于，过作轴于，如图：
对称轴为直线，
横坐标为2，即，
，
，
，
，
横坐标为4，在中令得，
，
由（1）可知：，，
中，，
，
轴，
中，，
，
而，
最小即是最小，也是最小，此时、、共线，即与重合，与重合，的长度即是的最小值，
，
的最小值为3，
的最小值为；
（3）将线段向上平移，当落到抛物线上的处时，线段与抛物线有两个交点，继续将线段向上平移，当线段与抛物线只有一个交点，移动到处，如图：
顶点，
又，
的解析式为，
由，设解析式为，将代入得：，
，
解析式为，
在中令得，
，
而，
解析式为，
将线段向上平移个单位长度，与重合时，则，
代入得：，
将线段向上平移个单位长度，与重合时，解析式为，
由只有一个解，可得的判别式△，即，
解得，
将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，．
【点评】本题考查二次函数综合知识，涉及解析式、“胡不归”、线段平移后与抛物线交点等问题，解题的关键是掌握“胡不归”模型的解决方法．
10．（2021•番禺区一模）如图，中，，，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）设．
①以为半径的交边于另一点，点为边上一点，且．连接，求．
②点是线段上一动点（不与、合），连接，在点运动过程中，求的最小值．
【分析】（1）证明，，即可得到结论；
（2）①中求出，中求出可得，利用证明，，即可得到答案；
②以为顶点，为一边，在外部作，过作于，过作于，连接，由，，故求出最小值即的最小值即可．
【解答】解：（1）证明：，，
，
，
，，
，，
，
；
（2）①如图：
，
，
中，，
，
，
，
，
，
，，
中，，
，
，
，
又，，
，
，，
，
；
②以为顶点，为一边，在外部作，过作于，过作于，连接，如图：
在中，，
，
，
最小，即是最小，故最小，此时，与重合，与重合，长度即是的最小值，
而由①知：，，
中，，
，
，
的最小值为，
的最小值是．
【点评】本题考查等腰三角形的性质及应用，解题的关键是构造“胡不归”模型．
11．（2025•南山区三模）如图，在中，，，经过点，且圆的直径在线段上．
（1）试说明是的切线；
（2）若中边上的高为，试用含的代数式表示的直径；
（3）设点是线段上任意一点（不含端点），连接，当的最小值为6时，求的直径的长．
【分析】（1）连接，如图1，要证是的切线，只需证到即可；
（2）过点作于，连接，如图2，在中运用三角函数即可解决问题；
（3）作平分，交于，连接、、，如图3，易证四边形是菱形，根据对称性可得．过点作于，易得，从而有．根据垂线段最短可得：当、、三点共线时，（即最小，然后在中运用三角函数即可解决问题．
【解答】解：（1）连接，如图1，
，，
，，
，
是的切线；
（2）过点作于，连接，如图2，
由题可得．
在中，，
，
，
；
（3）作平分，交于，连接、、，如图3，
则．
，
、是等边三角形，
，
四边形是菱形，
根据对称性可得．
过点作于，
，，
，
．
根据垂线段最短可得：
当、、三点共线时，（即最小，
此时，
则，．
当的最小值为6时，的直径的长为．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、垂线段最短等知识，把转化为是解决第（3）小题的关键．
题型三：阿氏圆模型（5题）
1．（2025•万州区模拟）如图，在等腰直角三角形中，，过点作交过点的直线于点，，直线交于．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，过点作交于点，交的延长线于，取线段的中点，连接，求证：．
（3）在（2）的条件下，过点作交于点，若点是线段上任一点，连接，将沿折叠，折叠后的三角形记为△，当取得最小时，直接写出的值．
【分析】（1）过点作于点，过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形性质可得，再证得四边形是矩形，可得，利用直角三角形性质：角所对的直角边等于斜边的一半，即可得出答案；
（2）利用解直角三角形可得，，利用同角的余角相等可得，，得出，再证得，得出，由，即可证得结论；
（3）由旋转可得，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，以为圆心，为半径作，连接，过点作于，连接，，利用解直角三角形可得出，又，证得△，得出，根据，可得当且仅当、、在同一条直线上时，取得最小值，再运用解直角三角形即可求得答案．
【解答】（1）解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图1，
则，
，
，，
是等腰直角三角形，，，，
，
，
四边形是矩形，
，
；
（2）证明：如图2，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
点是的中点，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（3）解：将沿折叠，折叠后的三角形记为△，
，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，
如图，以为圆心，为半径作，连接，过点作于，连接，，
，，
，，
，，
，
，，
四边形是矩形，
，
点是斜边的中点，
，
，，
，
，
，
又，
△，
，
，
，当且仅当、、在同一条直线上时，取得最小值，
，，，
，
在中，，
．
【点评】本题是几何综合题，考查了直角三角形性质，等腰直角三角形性质，矩形的判定和性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．
2．（2025•成都模拟）在中，，．若点为上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，交于点．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，点为的中点，连接交于点．若，猜想线段与线段的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，若，为的中点，将绕点旋转得△，连接、，当最小时，求．
【分析】（1）通过作辅助线，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的长度；
（2）通过作辅助线，构造全等三角形，设，利用中位线定理，解直角三角形，用的代数式表示和，即可得与的数量关系；
（3）构造阿氏圆模型，利用两点之间线段最短，确定（4）的位置，继而求得相关三角形的面积．
【解答】解：（1）过作，垂足是，如图
将绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
，
在直角中有，，
，
在直角中，，
，
；
（2）线段与线段的数量关系为：，
证明：延长，过作垂直于的延长线，垂足是，连接，，过作于，如图：
，
由旋转可知，
，
，，，四点共圆，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在等腰中，由三线合一可知是的中线，
，
，
是的中点，
是的中点，
是的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
又，
，
；
（3）设，则，取的中点，连接，，，连接，如图3，
由旋转可知，
，，
，
又，
△，
，
，
根据旋转和两点之间线段最短可知，最小，即是最小，此时、、共线，即在线段上，
设此时落在处，过作于，连接，如图4，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
又，
设，
在直角三角形中，，
，
解得．
此时．
【点评】此题主要考查全等三角形判定，等腰三角形的三线合一，解直角三角形，四点共圆，几何最值的阿氏圆模型等知识，综合性强，难度较大，属于压轴题，解得关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．
3．（2025•市中区校级模拟）如图，在 与中，，，，点在上．
（1）如图1，若点在的延长线上，连接，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若点与点重合，且，，将绕点旋转，连接，点为的中点，连接，在旋转的过程中，求的最小值；
（3）如图3，若点为的中点，连接、交于点，交于点，且，请直接写出的值．
【分析】（1）过作于，过作于，结合字型全等，等腰直角三角形，四点共圆即可得到答案；
（2）第二问考查隐圆问题与阿氏圆，取的中点，连接，在上取，连接，构建相似，转化线段即可得到答案；
（3）过点作平行线，点作平行线交于点；过点作于点，过点作，证明，设，则，，结合勾股定理、相似三角形及解直角三角形的知识进行计算．
【解答】解：（1）线段、、之间的数量关系：，证明如下：
过作于，过作于，如图：
，，，
，，
且，
，
，
，，，
，
点、、、四点共圆，
，，
，，，
和为等腰直角三角形，
，，
；
（2）取的中点，连接，在上取，连接，如图：
为的中点，为中点，
是的中位线，
，
，
，，
，
而，
，
又，
，
，
，
，
要使的最小，需最小，
当、、三点共线时，的最小，的最小值是，如图：
，，
，
的最小值是．
（3）过点作平行线，点作平行线交于点；过点作于点，连接，连接交于点，过点作；如图：
，
，即，
且，，
，
，，
，，
，
由，设，则，；
，
，，
四边形为平行四边形，
，，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
；
中，，
，，
设，，
，
中，，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查等腰直角三角形中的旋转变换，涉及全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，中间穿插了不同的模型，对模型的运用与转化能力要求很高，难度较大，属于压轴题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形或相似三角形．
4．（2021•沙坪坝区校级模拟）如图1，在四边形中，交于点，为等边三角形．
（1）若点为的中点，，，求的面积；
（2）如图2，若，点为的中点，求证：；
（3）如图3，若，，点为四边形内一点，且，连接，取的中点，连接．当，，时，求的最小值．
【分析】（1）如图1中，过点作于，设．利用勾股定理构建方程求出，即可解决问题．
（2）如图2中，延长到，使得，连接，，延长交于，过点作于．想办法证明，可得结论．
（3）如图3中，取的中点，连接，，，取的中点，连接，，过点作于，在上取一点，使得，连接，．想办法证明，推出，推出，推出，求出，可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，过点作于，设．
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
或（舍弃），
，
．
解法二：过点作交的延长线于，过点作于．
证明，求出，即可解决问题．
（2）证明：如图2中，延长到，使得，连接，，延长交于，过点作于．
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，，
，
，
，
．
（3）解：如图3中，取的中点，连接，，，取的中点，连接，，过点作于，在上取一点，使得，连接，．
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题（利用阿氏圆），属于中考压轴题．
5．（2025•从化区一模）已知，是的直径，，．
（1）求弦的长；
（2）若点是下方上的动点（不与点，重合），以为边，作正方形，如图1所示，若是的中点，是的中点，求证：线段的长为定值；
（3）如图2，点是动点，且，连接，，一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动，求点的运动时间的最小值．
【分析】（1）是的直径，可得到是等腰直角三角形，从而得道答案；
（2）连接、、、，首先利用，，证明、、共线，再证明是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证；
（3）“阿氏圆”的应用问题，以为圆心，为半径作圆，在上取点，使，连接，过作于，连接交于，先证明，最小，即是最小，此时、、共线，再计算的长度即可．
【解答】解：（1）是的直径，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
；
（2）连接、、、，如图：
是等腰直角三角形，四边形是正方形，
，，
，
又，
，
，
，
而是的直径，
，
，
，
、、共线，
四边形是正方形，
是等腰直角三角形，
是的中点，
，即是直角三角形，
是的中点，
，即为定值；
（3）以为圆心，为半径作圆，在上取点，使，连接，过作于，连接交于，如图：
一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位的速度沿线段匀速运动到点，
运动时间，
，，，
，
又，
，
，
，
最小，即是最小，
此时、、共线，即与重合，最小值即是的长度，
在中，，，
，
，
，
中，，
点的运动时间的最小值为5．
【点评】本题考查圆、等腰直角三角形、正方形等综合知识，解题的关键是构造，把求最小的问题转化为求的长度．
题型四：瓜豆原理（4题）
1．（2025•海淀区校级三模）在平面直角坐标系中，给定图形和点，若图形上存在两个点，满足且，则称点是图形的关联点．
已知点，，．
（1）在点，，，，，中， ， 是线段的关联点；
（2）是以点为圆心，为半径的圆．
①当时，若线段上任一点均为的关联点，求的取值范围；
②记线段与线段组成折线，若存在，使折线的关联点都是的关联点，直接写出的最小值．
【分析】（1）根据关联点的定义，结合勾股定理进行判断即可；
（2）①根据题意推得三角形为含30度角的直角三角形，根据瓜豆原理可得求得点到点的最大距离为，最小距离为，推得的所有关联点在以为圆心，和为半径的两个圆构成的圆环中，结合图形求得半径的取值范围；
②结合①中的结论，画出满足条件的关联点的范围，进行求解即可．
【解答】解：（1），
为直角三角形，
满足，
根据勾股定理可得：，
，，
；
，，
；
，，
，
，且，
是线段的关联点；
，且，
是线段的关联点；
，且，
，，
，
对于线段上的任意两点、，
当 时，，如图，则必是锐角，不可能是直角，
不是线段的关联点；
故答案为：，．
（2）①由（1）可得：，
为直角三角形，
，
即，
即三角形为含30度角的直角三角形，如图：
则点是以为斜边且含30度角的直角三角形的直角顶点．
在圆上取点，，则对于任意位置的和，符合的关联点有2个，如图：
以点为例，当点在半径为的上运动时，点为圆上一定点，且，，
则点的运动轨迹为圆，故点的轨迹也为圆，令点的轨迹为圆，如图：
当，，三点共线，，，三点共线时，，
，，
则点到点的最大距离为，最小距离为，
当点也在上运动时，也随之运动，
则扫过的区域为 和为半径围成的圆，
即的所有关联点在以为圆心，和为半径的两个圆构成的圆环中，
当线段与半径为 交于点时，最小，如图：
则，
解得，
当线段与半径为的圆相切时，最大，过点作，如图：
则，
即，
解得，
则，
解得，
②当关联点在线段上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：
当关联点在线段上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：
当关联点在不同线段上时，满足条件的关联点在点和点上的范围如图阴影部分：
综上，所有区域叠加一起为：
由①可知，满足的所有关联点所在范围为圆环，
故若使得圆环能够完整“包住”关联点，圆环中外圆 的必须经过点，
，，，，
四边形为矩形，
，
则，
即，
解得 （负值舍去）；
综上，的最小值为．
【点评】本题考查了圆的综合应用，勾股定理，圆的相关性质，借助三角形面积求高，解一元一次方程，解一元二次方程等，根据圆的相关性质推得满足条件关联点的范围是圆环，根据临界点求最值是解题的关键．
2．（2025•沈阳）【特例感知】
（1）如图1，和是等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，连接，，线段与的数量关系是 ；
【类比迁移】
（2）如图2，将图1中的绕着点顺时针旋转，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．
【方法运用】
（3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．
①若将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最大值是 ；
②若以为斜边作，，三点按顺时针排列），，连接，当时，直接写出的值．
【分析】（1）证明，即可得出结论；
（2）利用旋转性质可证得，再证明，即可得出结论；
（3）①过点作，使，连接，，，，先证得，得出，即点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当在的延长线上时，的值最大，最大值为；
②如图4，在上方作，过点作于点，连接、、，过点作于点，可证得，得出，再求出、，即可求得；如图5，在下方作，过点作于点，连接，可证得，得出，再由勾股定理即可求得．
【解答】解：（1）．理由如下：
如图1，和是等腰直角三角形，，
，，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
（2）仍然成立
证明：如图2，，
，
即，
在和中，
，
，
；
（3）①过点作，使，连接，，，，
和都是等腰直角三角形，
，，，
，，
，
，
，
，，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
当在的延长线上时，的值最大，最大值为，
故答案为：；
②如图4，在上方作，过点作于点，连接、、，过点作于点，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，，
在中，，
；
如图5，在上方作，过点作于点，连接，
则，
，
，
，
，
，，
，
；
综上所述，的值为或．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，瓜豆原理等知识点，关键是添加恰当辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，综合性较强，难度较大，属于中考压轴题．
3．（2025•崖州区一模）若，以点为圆心，2为半径作圆，点为该圆上的动点，连接．
（1）如图1，取点，使为等腰直角三角形，，将点绕点顺时针旋转得到．
①点的轨迹是 圆 （填“线段”或者“圆” ；
②的最小值是 ；
（2）如图2，以为边作等边（点、、按照顺时针方向排列），在点运动过程中，求的最大值．
（3）如图3，将点绕点逆时针旋转，得到点，连接，则的最小值为 ．
【分析】（1）①连接、，证明，得出，即点到点的距离等于定长，即可得出答案；
②由等腰直角三角形的性质得出，当点在线段上时，得出最小；
（2）以为边长作等边，连接，证明，得出，当、、三点共线时，有最大值；
（3）点的轨迹是一个圆，求出和圆的半径，即可解决问题．
【解答】解：（1）①连接、，如图1所示：
是等腰直角三角形，，
，由旋转的性质得：，，
，
在和中，，
，
，即点到点的距离等于定长，
点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆；
故答案为：圆；
②是等腰直角三角形，，
，
当点在线段上时，最小；
故答案为：；
（2）以为边长作等边，连接、，如图2所示：
和是等边三角形，
，，，
，
在和中，，
，
，
当、、三点共线时，有最大值；
（3）如图3所示：点的轨迹是以为直径的一个圆，
则，，
则是梯形的中位线，
，
连接，
则，
，，
，
△是等腰直角三角形，
，
，
；
故答案为：．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了轨迹、圆的定义、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最值问题；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
4．（2021秋•武昌区期末）如图1，在中，平分，平分，与交于点．
（1）若，则 ；
（2）如图2，，作交于点，求证：；
（3）如图3，，，若点为的中点，点在直线上，
连接，将线段绕点逆时针旋转得，，连接，当最短时，直接写出的度数．
【分析】（1）由角平分线的性质可得，，由三角形内角和定理可求解；
（2）由角平分线的性质可得，由“”可证，可得；
（3）由“”可证，可得，即点在直线上运动，则当时，有最小值为，由等腰直角三角形的性质和外角的性质可求解．
【解答】（1）解：，
，
平分，平分，
，，
，
，
故答案为：；
（2）证明：如图2，过点作于，于，于，
平分，平分，于，于，于，
，
，
，
，
，
，
又，
，
；
（3）如图3，过点作，且，连接，
，，
，
，
将线段绕点逆时针旋转得，
，，
，
又，，
，
，
点在直线上运动，
当时，有最小值为，
此时，延长交于，连接，设与的交点为，
，，
，，
，，
点是的中点，
，
又，
△，
，
，
，
点与点重合，
，，
，
，
，
，
当最短时，的度数度数为．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键．
题型五：将军饮马模型（11题）
1．（2025•巧家县校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，．
（1）求线段的长；
（2）若点为轴上的一个动点，则当最小时，点的坐标为 ．
【分析】（1）根据题意求出，，可求、的长，再由勾股定理求即可；
（2）过点作轴交于，证明，可求点坐标；作点关于轴的对称点，连接交于轴于点，连接，当、、三点共线时，有最小值，用待定系数法求值直线的解析式，再求点坐标即可．
【解答】解：（1），
，，
，，
，，
；
（2）过点作轴交于，
，
，
，
，
，
，
，，
，
作点关于轴的对称点，连接交于轴于点，连接，
由对称性可知，，
，
当、、三点共线时，有最小值，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握平面内两点间距离公式，三角形全等的判定及性质，轴对称求最短距离的方法，用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
2．（2025•陕西模拟）如图，的顶点坐标为，，．
（1）画出关于轴对称的△（点，，分别是，，的对应点）；
（2）在轴上找一点，使的值最小．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）过轴作点的对称点，连接，交轴于点，连接，此时的值最小．
【解答】解：（1）如图，△即为所求
（2）如图，点即为所求．
【点评】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
3．（2025•南关区校级模拟）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①的线段上画一点，使得；
（2）在图②中，画的高；
（3）在图②中，若点、分别为线段、上的动点，连接、，当取最小值时，画出点、的位置．
【分析】（1）取格点，，使，连接交于点，则点即为所求．
（2）由题意得，为等腰三角形，则取的中点，连接即可．
（3）取格点，连接，交于点，交于点，使，连接，此时取得最小值．
【解答】解：（1）如图①，取格点，，连接交于点，
，
．
则点即为所求．
（2），，
，
为等腰三角形，
如图②，取的中点，连接即可．
（3）为等腰三角形，为的高，
点与点关于对称，
如图②，取格点，连接，交于点，交于点，使，
连接，
此时取得最小值，最小值即为的长．
即点，为所求．
【点评】本题考查作图应用与设计作图、等腰三角形的性质、轴对称最短路线问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．（2025•广阳区二模）探索与发现．
小张同学在用作图软件探索图形性质的数学活动中，进行如下操作：如图，在边长为6的正方形的边上取定点，使，在边上设置动点，连接，以为边在的上方作正方形，连接，．
（1）小张同学通过观察发现图中，请给出证明；
（2）探索过程中发现，在点的运动过程中，的面积是个定值，请证明并求出这个定值；
（3）进一步探索后发现，随着点的运动，的周长会随着点位置的变化而变化，但存在一个最小值，请你求出周长的最小值．
【分析】（1）利用正方形的性质可得，再利用同角的余角相等即可证明；
（2）过点作于点，易通过证明，得到，再利用三角形的面积公式即可得到结论；
（3）过点作交于点，作点关于的对称点，连接，易得四边形为矩形，则，根据可知当点运动时，点在直线上运动，根据对称的性质可知，垂直平分，得到，，根据两点之间线段最短可得当、、三点共线时，的周长取得最小值，最小值为，根据勾股定理求出，以此即可求解．
【解答】（1）证明：四边形、均为正方形，
，
，，
；
（2）解：如图，过点作于点，
四边形是边长为6的正方形，
，，
，
由（1）知，，
，
四边形为正方形，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点作交于点，作点关于的对称点，连接，
则四边形为矩形，
，
由（2）可知，，
当点运动时，点在直线上运动，
根据轴对称的性质可知，垂直平分，且在上，
，，
，，
，
当、、三点共线时，取得最小值为，
即此时，的周长取得最小值，最小值为，
在中，，
周长的最小值为．
【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称最短路线问题、勾股定理，解题关键是：（2）正确作出辅助线，构造合适的全等三角形；（3）利用轴对称的性质将线段转化为，进而得出当、、三点共线时，的周长取得最小值．
5．（2025•内黄县二模）如图，在中，，，以为直径作，交于点，过点作的切线交于点．
（1）求证：．
（2）若，为上一点，当为最小值时，求的长．
【分析】（1）连接，，先利用圆周角定理求出，再利用切线的性质可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，进而可得，即可解答；
（2）连接，过点作，垂足为，并延长交于点，连接交于点，连接，此时的值最小，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而在中，求出，的长，再在中，求出的长，从而求出的长，然后证明是等边三角形，再利用等腰三角形的三线合一性质求出的长，从而求出的长，最后证明8字模型相似三角形△，利用相似三角形的性质求出的长，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接，，
，
，
与相切于点，
，
，，，
，
，
，
，
，
；
解法二：连接，
，都是的切线，
，
，
，，
，
，
．
（2）连接，过点作，垂足为，并延长交于点，
则，
点与点关于对称，
连接交于点，连接，此时的值最小，
是的直径，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
△，
，
，
，
，
的长为．
解法二：以为原点，构造平面直角坐标系．
作点关于轴的对称点，连接交于点，连接，此时的值最小．
由方法一可知，，
设直线的解析式为，
则有，
直线放解析式为，
令，可得，
．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，轴对称最短路线问题，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．（2025•卧龙区二模）综合与实践
问题提出
（1）如图①，请你在直线上找一点，使点到两个定点和的距离之和最小，即的和最小（保留作图痕迹，不写作法）；
思维转换
（2）如图②，已知点是直线外一定点，且到直线的距离为4，是直线上的动线段，，连接，，求的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”，请你参考小敏的思路求的最小值；
拓展应用
（3）如图③，在矩形中，，连接，点、分别是边、上的动点，且，分别过点、作，，垂足分别为、，连接、，请直接写出周长的最小值．
【分析】（1）作点的对称点，由两点之间线段最短解题即可；
（2）将、看作定点，看作动点，由（1）作法可解；
（3）由相似得出为定值，再根据（2）作法求出的最值，即可解答．
【解答】解：（1）如图①，则点为所求．
做法：作点关于的对称点，
连接交于点，由对称得，
，
两点之间线段最短，
最短，即的和最小．
（2）如图②，过点作直线，作点关于的对称点，连接，交于点，
则的值即是的最小值，
点到直线的距离为4，
，
，
，
，即的最小值为10．
（3）如图③，过作，于点，作点关于的对称点，连接，
由（2）得为的最小值，
，，
，
，
，
设，
由得，，，
，
，
由得，，
，
，，
，
，
周长的最小值为．
【点评】本题考查了线段和最值的做法的应用，三角形相似及准确的计算是解题关键．
7．（2025•渝中区校级一模）如图，△ABC是等边三角形，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转120°至CE，连接BE，分别交AC、CD于点F、G．
（1）若AD＝3，BD＝1，求△BCE的面积；
（2）请猜想线段AF，BD，CF之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当△BCE周长最小时，请直接写出的值．
【分析】（1）将△ABC绕点C顺时针旋转120°，得到△MHC，则点E在HM上，过点E作EN⊥CM，利用旋转的性质可得EM＝AD＝3，CM＝AC＝4，∠M＝∠A＝60°，∠ACM＝120°，于是可得点B、C、M在同一直线上，EN＝EM•sinM＝，在根据三角形的面积公式计算即可；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转120°，得到△MHC，连接AH，BH，易证明四边形ABCH为菱形，于是得到OF为△BHE的中位线，OF＝HE＝BD，利用线段之间关系即可求解；
（3）将△ABC绕点C顺时针旋转120°，得到△MHC，连接AH，BH，作点C关于EM的对称点C′，连接CC′，EC′，HC′，MC′，BC′，CC′交HM于点P，则CE＝C′E，S△CEF＝BC+BE+CE＝BC+BE+C′E，要使△BCE周长取得最小值，即BE+C′E取得最小值，根据两点之间线段最短得当B、E、C′三点共线时，BE+C′E取得最小值BC′，连接AH，交AC于点O，连接AH，连接DF，易得四边形HCMC′为菱形，四边形HOCP为矩形，设△ABC的边长a，PH＝OA＝OC＝，设BD＝EH＝b，则PE＝，由（2）知，OF＝EH＝，则CF＝，易得PE为△FCE′的中位线，于是CF＝2PE＝a﹣2b，得到，解得a＝3b，因此CF＝，BD＝，由S四边形ADGF＝S△ADF+S△DFG，计算即可求解．
【解答】解：（1）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°，得到△MHC，则点E在HM上，过点E作EN⊥CM，
∵AD＝3，BD＝1，
∴AB＝AD+BD＝4，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
根据旋转的性质可得，EM＝AD＝3，CM＝HM＝CH＝AC＝4，∠M＝∠A＝60°，∠ACM＝120°，
∵∠ACB+∠ACM＝60°+120°＝180°，
∴点B、C、M在同一直线上，
∴EN＝EM•sinM＝＝，
∴S△BCE＝＝＝；
（2）AF＝CF+BD．证明如下：
如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°，得到△MHC，连接AH，BH，
∵∠HCM＝∠ABC＝60°，∠ACB＝∠M，
∴AB∥CH，AC∥HM，
∵AB＝CH，AB＝BC，
∴四边形ABCH为菱形，
∴OB＝OH，OA＝OC，
∵OF∥HE，
∴OF为△BHE的中位线，
∴OF＝HE＝BD，
∵AF＝OA+OF，OA＝OC＝CF+OF，
∴AF＝CF+2OF＝CF+BD；
（3）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°，得到△MHC，连接AH，BH，
作点C关于EM的对称点C′，连接CC′，EC′，HC′，MC′，BC′，CC′交HM于点P，
′
则CE＝C′E，
∵△BCE周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+C′E，
∴要使△BCE周长取得最小值，即BE+C′E取得最小值，
∵BE+C′E≥BC′，
∴当B、E、C′三点共线时，BE+C′E取得最小值BC′，
如图，连接AH，交AC于点O，连接AH，连接DF，
∵△HCM为等边三角形，CP⊥HM，
∴HP＝PM，
∴四边形HCMC′为菱形，
∵OC∥HP，OC＝HP，且∠HOC＝90°，
∴四边形HOCP为矩形，
设△ABC的边长a，
∴PH＝OA＝OC＝，
设BD＝EH＝b，则PE＝，
由（2）知，OF＝EH＝，则CF＝，
∵HM∥AC，P为CC′中点，
∴PE为△FCC′的中位线，
∴CF＝2PE＝a﹣2b，
∴，
∴a＝3b，
∴CF＝，BD＝，
∴AD＝AF＝DF＝，
∵，
∴DF∥BC，
∴△DGF∽△CGB，
设G到DF的距离为h1，G到BC的距离为h2，
∴＝＝，
∵h1+h2＝＝，
∴h1＝，
∴S四边形ADGF＝S△ADF+S△DFG＝+＝，
＝＝，
∴＝＝．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质、旋转的性质、解直角三角形、菱形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、两点之间线段最短、平行线的判定与性质、矩形的判定、相似三角形的判定与性质，本题综合性较强，难度较大，正确作出辅助线，构建等边三角形解决问题是解题关键．
8．（2025•碑林区校级一模）（1）如图①，点、点在直线同侧，请你在直线上找一点，使得的值最小；（不需要说明理由）
（2）如图②，，点为内一定点，，点，分别在，上，的周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由；
（3）如图③，已知四边形中，，，，，点为边上的一点且，点，分别在边，上运动，点在线段上运动，连接，，，的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长最小值和此时的长，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，即为所求；
（2）作点关于和的对称点和，连接，交和于点、，此时的周长最小，连接、，然后根据等腰三角形的性质求得的长即为的周长最小值；
（3）作点关于和的对称点和，连接交于点，连接，交和于点、，此时的周长最小，过点作于点，过点作于点，从而利用含角的直角三角形的三边关系求得、、的长，即可得到、的长，设，得到、、、的长，过点作于点，然后得到、、的长，再根据直角三角形的勾股定理求得的大小，进而利用二次函数的最小值求得的最小值，最后得到的周长最小值和的长．
【解答】解：（1）如图①，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，即为所求．
（2）的周长存在最小值，理由如下，
如图②，作点关于和的对称点和，连接，交和于点、，此时的周长最小，连接、、，
由对称得，，，，
，
，
过点作于点，则，，
，
，
，
周长最小值为．
（3）周长存在最小值，理由如下，
如图③，作点关于和的对称点和，连接交于点，则，
连接，交和于点、，此时的周长最小，
过点作于点，过点作于点，则，四边形是矩形，
，
，，
，，
，
，，
，，
，，
，
设，则，
，
，，
由对称的性质得，，，
，
过点作于点，则，
，
，
，，
，
当时，的值随的增大而减小，
当时，，
的长为4时，周长最小值为．
【点评】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、含角的直角三角形的三边关系、二次函数的性质，解题的关键是熟知轴对称的性质作出取得最小值时的点和点的位置．
9．（2025•安国市一模）问题提出
初中数学的学习中，我们学习了“两点之间线段最短”“垂线段最短”等知识常可利用它们来解决“最值问题”．
简单运用
（1）如图1，在中，，，，在上取一点，则的长的最小值是 ．
综合运用
（2）如图1，在中，，，，在、、上分别取点、、，使得的周长最小．画出图形确定、、的位置，并直接写出的周长的最小值．
拓展延伸
（3）图2是由线段、线段、组成的图形，其中，，，为，分别在、线段和线段．上取点、、，使得的周长最小，画出图形确定、、的位置，并直接写出的周长的最小值．
【分析】（1）当时，有最小值；
（2）过点作交于，作关于的对称线段，作关于的对称线段，连接交于点，交于点，连接，，此时的周长的最小值为，求出即可；
（3）作出所在的圆，连接交于点，连接，，，作关于的对称线段，作关于的对称线段，连接交于点，交于点，取的中点，连接，过点作交于，此时的周长最小，求出即为所求．
【解答】解：（1）如图1，当时，有最小值，
，，
，
故答案为：；
（2）如图2，过点作交于，作关于的对称线段，作关于的对称线段，
连接交于点，交于点，连接，，
由对称可知，，，
，此时的周长的最小，
，，
，
，
，
，
过点作交于，
在中，，
，
的周长的最小值为；
（3）如图3，作出所在的圆，连接交于点，连接，，，作关于的对称线段，作关于的对称线段，连接交于点，交于点，取的中点，连接，过点作交于，
、、三点共线，
线段最短，
由对称可知，，，，，
，
此时的周长最小，
为，
是等边三角形，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
的周长的最小值为．
【点评】本题是圆的综合题，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，垂线段最短，直角三角形的性质是解题的关键．
10．（2025•西山区一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点，抛物线的最低点的坐标为．
（1）求出该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，线段绕点逆时针旋转得到线段，与抛物线相交于点，求点的坐标．
（3）如图2，点，是线段上的动点，且，求周长的最小值．
【分析】（1）设抛物线的顶点式，然后用待定系数法求解即可；
（2）过点作直线轴，过点作于点，则，所以，过点作于，则，先求出点、的坐标，得到，，再证，得到，，即可求出点的坐标，即可用待定系数法求出直线的解析式，再与抛物线解析式联立求得点的坐标；
（3）先求得直线的解析式，然后设点的坐标为，进而得到点的坐标为，再由两点间的距离公式求得的值，然后利用轴对称的性质和两点之间线段最短求得的最小值，最后得到的周长最小值．
【解答】解：（1）抛物线的最低点的坐标为，即顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
把点代入解析式，得，
，
抛物线的解析式为．
（2）当时，，
解得：或，
，
如图1，过点作直线轴，过点作于点，则，
，
过点作于，则，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
又，
，
，，
，，
，，
，，
，
，
设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
由，解得：或，
点的坐标为，．
（3）设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
表示点到点和点的距离之和，点在直线上，
如图2，作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为点，
此时，取得最小值即为的值，
直线是第二、四象限的角平分线，
，
由对称得，，
，
和△都是等腰直角三角形，
，
，
，
的最小值为，
的最小值为．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数和一次函数图象上点的坐标特征与交点坐标，勾股定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟知轴对称的性质和两点之间线段最短得到周长的最小值．
11．（2025•渝中区校级自主招生）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点在左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，过点作的垂线，交对称轴于．
（1）如图1，点为第一象限内的抛物线上一动点，当面积最大时，在对称轴上找一点，在轴上找一点，使得最小，求此时点的坐标及的最小值；
（2）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点在射线上移动，点平移后的对应点为，点的对应点，设原抛物线的对称轴与轴交于点，将沿翻折，使点落在点处，在平面上找一点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形．直接写出的坐标．
【分析】（1）先求得点，，，的坐标，得到，的长，记对称轴于轴的交点为点，得到的长，然后由证明，利用相似三角形的性质求得的长，得到点的坐标，用待定系数法求得直线的解析式，过点作轴，交直线于点，设点的坐标，得到点的坐标，然后得到的面积，进而利用二次函数的性质求得面积最大时点的坐标，作点和点关于对称轴的对称点和，连接，与对称轴交于点，则的最小值即为的长，然后求得点和的坐标，进而得到的长和直线的解析式，最后求得点的坐标；
（2）先求得直线的解析式，记与的交点为点，则，点为和的中点，然后利用同角三角函数值相等求得的长，过点作轴于点，利用同角的三角函数值相等求得和的长，进而得到点的坐标，然后求得点的坐标，由点和点的坐标求得的长，即的长，设平移的距离为，然后求得点和点的坐标，进而得到，的长，根据菱形的性质进行分类讨论，列出方程求得的值，即可得到点的坐标．
【解答】解：（1）当时，，
，
当时，，
解得：或，
点，，，，
点的橫坐标为，
点的坐标为，，
，，
如图，记对称轴于轴的交点为点，则，，
，
，
，
，
，
，即，
，
点的坐标为，，
设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
过点作轴，交直线于点，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
，
当，即点的坐标为，时，面积最大，
作点和点关于对称轴的对称点和，连接，与对称轴交于点，与轴交于点，则的最小值即为的长，
，，
，，，，
，
设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，，的最小值为．
（2）设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
记与的交点为点，则，点为和的中点，
，即，
，，，
，
，
过点作轴于点，则，
，，
，，
，
，，
，
点的坐标为，，
点的坐标为，，
点，，点，，
，即，
设平移的距离为，则点的坐标为，，点的坐标为，，
，，，
①以和为邻边时，，
，
解得：，
点的坐标为，；
②以和为邻边时，，
，
解得：或，
点的坐标为，或，；
③以和为邻边时，，
，
解得：或（舍，
点的坐标为，；
综上所述，点的坐标为，或，或，或，．
【点评】本题考查二次函数综合题，一次函数的应用，菱形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短路径问题，学会构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．