初中数学苏科版（2024）八年级上册（2024）1.1 三角形中的线段和角测试题

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类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型
例1．如图，点E，D分别在，上，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】如图，在中，按图中虚线把角度为的剪去，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.

(1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由；
(3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系.
【变式1-3】【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，则．
【推理证明】∵与分别为的两个外角，
∴______，______，
∴______．
∵，
∴．
【初步应用】
（1）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，则的大小为______度．
（2）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，则与的数量关系，并说明理由．
【拓展提升】
（3）如图④，在四边形中，、分别为外角、的平分线，若，求的度数．
类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型
例2．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
【变式2-1】如图，已知直线、相交于点，，，， ．
【变式2-2】（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ．
（2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ．
【变式2-3】如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．
(1)求证：；
(2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N．
①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________；
②若，，求的度数；
③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）．
类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型
例3．形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】如图，与的角平分线交于点P，，，则为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】如下图．等于（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】【探究】如图①，试说明；
【应用】
（1）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数；
（2）如图③，，，求的度数．
一、单选题
1．如图，，与相交于点O，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，从纸片中剪去，得到四边形．如果，那么度数为（ ）
A．B．C．D．
3．如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．如图，将纸片沿折叠，点A落在点F处，已知，则 度；
6．如图，已知，则等于 ．
7．如图是可调躺椅示意图，与的交点为，，，，，为了舒适，需调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为 度．
8．已知：，点B、C在的两边上，点P为平面内一点，且，则 ．
三、解答题
9．材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．
解决问题：
(1)观察“规形图”，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B，C，若，则______；
②如图③，平分，平分，若，求的度数；
③如图③，平分，平分，若，则______．
10．探究与发现：
(1)探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
已知：如图①，与分别为的两个外角，试探究与的数量关系；
(2)探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图②，在中，、分别平分和，试探究与的数量关系；
(3)探究三：若将改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图③，在四边形中，、分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系．
11．中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，．

初探：
（1）如图1，若点P在线段上，且，则________；
（2）如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为__________；
（3）如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为__________．
再探：
（4）如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系，并说明理由．
（5）若点P运动到的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时之间的关系，并说明理由．
12．（1）如图1的图形是同学们所熟悉的“8字形”，则____；图2中有_____个“8字形”；
（2）如图3，的平分线相交于点P，连接，若平分，请你探究与的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图4，的平分线相交于点的平分线相交于点，是的，直接写出的度数．
目录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc202253484" 典例详解
\l "_Tc202253485" 类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型
\l "_Tc202253486" 类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型
\l "_Tc202253487" 类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型
\l "_Tc202253488" 压轴专练
如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。

条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角；
结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E
证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。
②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。

图1 图2
1）8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。
证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；
在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；
∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D；
在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO；
∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。
2）8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D

图1 图2
基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。
证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D；
又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。
延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。
即：，故。
拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。
证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC；
根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；
∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。