甘肃省兰州市2025届高三下学期诊断考试（一模）数学试题（含答案解析）

这是一份甘肃省兰州市2025届高三下学期诊断考试（一模）数学试题（含答案解析），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 若复数，则（ ）
2. 与向量反向的单位向量是（ ）
3. 已知集合，以下判断正确的是（ ）
4. 若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（ ）
5. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是（ ）
6. 一个铅垂做单摆运动时，离开平衡位置的位移y关于时间x的函数图象如图所示，函数关系满足，当时，x不可能是（ ）
7. 将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前三位数字构成三位数a，后三位数字构成三位数b，记，m大于100的概率是（ ）
8. 已知双曲线C的焦点为，过点的直线与双曲线C交于A，B两点．若，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 在某班级的一次测验后，随机抽取7名同学的成缆作为样本，这7名同学的成领分别为78，80，81，84，87，88，90，则（ ）
10. 已知曲线，则以下说法正确的是（ ）
11. 已知函数和，以下判断正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
12. 函数在上的最小值为__________．
13. 在锐角三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为__________．
14. 正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为__________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 9 分，共 45 分)
15. 已知正四棱柱底面边长为3，点E、F分别在直线AD、CD上，，．
(1)证明：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．
16. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”这二十八字节气歌是我国古人智慧的结晶．某文具店试销二十四节气书签，每套书签24张，分别印有春夏秋冬四季节气各6张．文具店为促销进行抽奖活动，凡购买一套二十四节气书签可参加抽奖，抽奖规则如下：从一套书签中挑出6张春季卡，6张夏季卡，将其中3张春季卡和3张夏季卡装在一个不透明的盒中，剩余的3张春季卡和3张夏季卡放在盒外．现从盒中随机抽出一张卡，若抽出春季卡，则把它放回盒子中，若抽出夏季卡，则该卡与盒外的一张春季卡置换．如此操作不超过4次，将盒中的夏季卡全部置换为春季卡，则停止抽卡并额外获得2套二十四节气书签，否则不获奖．
(1)求只抽3次即获奖的概率；
(2)若促销的30天中预计有360人参加活动，从数学期望的角度分析商家准备多套少书签作为奖品更为合理？
17. 已知椭圆的上顶点为，离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若椭圆的焦点在x轴上，过点A的直线与椭圆E交于点B，并与圆相切，已知点，直线QB与椭圆E交于点C，证明：AC与相切．
18. 已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：；
(3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）．
19. 已知曲线．
(1)定义：若对于曲线上任意一点沿向量平移得到点仍在曲线上，其中T与是不同时为0的常数，则称曲线沿向量的方向上有周期性．判断是否存在向量使曲线S具有周期性，若存在请写出一个符合要求的向量，若不存在，请说明理由：
(2)证明：曲线S是中心对称图形；
(3)当时，曲线S为一条封闭的曲线，四条直线，，，，围成矩形ABCD，其中为锐角，，证明：曲线S在矩形ABCD的内部或边上，且过矩形对角线交点的直线平分曲线S围成的面积．
甘肃省兰州市2025届高三下学期诊断考试（一模）数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、平面向量、集合与常用逻辑用语、函数与导数、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计、平面解析几何、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．1
B．
C．3
D．5
A．
B．
C．
D．
A．是的充分条件
B．是的既不充分也不必要条件
C．是的必要条件
D．是的充要条件
A．
B．
C．
D．
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．估计这次考试全班成绩的平均分为84
B．从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是
C．样本的分位数是87
D．当该样本中加入84形成新样本时，新样本方差小于原样本方差
A．点在曲线内部
B．曲线关于原点对称
C．曲线与坐标轴围成的面积为
D．曲线的周长是
A．函数在区间内有唯一的零点
B．时，
C．时，
D．存在正实数a，当时，对于任意大于1的正实数N，
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
7
适中
9
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
求复数的模；复数代数形式的乘法运算
2
0.94
向量模的坐标表示；坐标计算向量的模
3
0.85
交集的概念及运算；判断命题的充分不必要条件；并集的概念及运算；判断命题的必要不充分条件
4
0.85
已知某点处的导数值求参数或自变量
5
0.85
线面关系有关命题的判断；面面关系有关命题的判断；判断线面平行；判断线面是否垂直
6
0.65
由图象确定正（余）弦型函数解析式
7
0.85
相邻问题的排列问题；利用对立事件的概率公式求概率
8
0.65
双曲线定义的理解；已知方程求双曲线的渐近线
二、多选题
9
0.85
计算几个数据的极差、方差、标准差；总体百分位数的估计；计算几个数的平均数
10
0.65
圆的弧长、面积、圆心角等计算；由标准方程确定圆心和半径
11
0.65
零点存在性定理的应用
三、填空题
12
0.85
由导数求函数的最值（不含参）
13
0.65
正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；二倍角的余弦公式
14
0.65
球的截面的性质及计算；多面体与球体内切外接问题
四、解答题
15
0.65
证明线面平行；线面角的向量求法
16
0.65
计算条件概率；二项分布的均值；组合数的计算；计算古典概型问题的概率
17
0.4
根据a、b、c求椭圆标准方程；椭圆中存在定点满足某条件问题
18
0.65
等差数列通项公式的基本量计算；裂项相消法求和；利用导数证明不等式
19
0.4
求点到直线的距离；函数新定义；由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）；由方程研究曲线的性质
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
平面向量
2
3
集合与常用逻辑用语
3
4
函数与导数
4,11,12,18,19
5
空间向量与立体几何
5,14,15
6
三角函数与解三角形
6,13,19
7
计数原理与概率统计
7,9,16
8
平面解析几何
8,10,17,19
9
数列
18