第一章 《因式分解》提升卷——2025-2026学年湘教版（2024）数学八（上）单元分层测（有答案）

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第一章 《因式分解》提升卷——2025-2026学年湘教版（2024）数学八（上）单元分层测一、选择题（每题3分，共30分）1．下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（　　）A．x2−4y2=(x+y)(x−4y) B．(x+4)(x−4)=x2−16C．x2−2x+1=(x−1)2 D．x2−8x+9=(x−4)2−72．代数式 15a3b3(a−b) ， 5a2b(b−a) ， −120a3b3(a2−b2) 中的公因式是（　　） A．5a2b(b−a) B．5a2b2(b−a)C．5ab(b−a) D．120a3b3(b2−a2)3．将下列多项式分解因式，结果中不含因式 x−1 的是（　　） A．x2−1 B．x(x−2)+x C．x2−2x+1 D．x2+2x+14．已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（　　） A．0 B．1 C．5 D．125．如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图①（图中阴影部分是正方形），将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①，图②中阴影部分的面积分别为4，30，关于甲、乙的说法．甲：图②中新正方形的边长为6；乙：正方形A，B的面积差为16．判断正确的是（　　）A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错6．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式x4−y4，因式分解的结果是(x−y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9，y=9，则各个因式的值是：x−y=0，x+y=18，x2+y2=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x3−xy2，取x=52，y=28，用上述方法产生的密码不可能是（　　）A．528024 B．522824 C．248052 D．5224807．小强是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a−b，x−y，x+y，a+b，x2−y2，a2−b2分别对应下列六个字：市、爱、我、齐、游、美，现将(x2−y2)a2−(x2−y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）A．我爱美 B．齐市游 C．爱我齐市 D．美我齐市8．若4x2+(k+1)x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　）A．±6 B．±12 C．−13或11 D．13或−119．已知d=x4−2x3+x2−12x−5，则当x2−2x−5=0，d的值为（　　）A．25 B．20 C．15 D．1010．若m2=n+2022，n2=m+2022（m和n不相等），那么式子m3−2mn+n3的值为（　　）A．2022 B．−2022 C．2023 D．−2023二、填空题（每题3分，共24分）11．若(x−2)是多项式x3+3x2−8x+k的一个因式，则k的值是　 　.12．下列各式：①−x2−y2；②−14a2b2+1；③a2+ab+b2；④14−mn+m2n2，能用公式法分解因式的是　 　（填序号）．13．分解因式：x2(x＋y)＋2xy(x＋y)＋y2 (x＋y)＝　 　．14．已知x−y=5，xy=−3，则代数式x2y−xy2的值为　 　．15．若 x2+2(3−m)x+25 可以用完全平方式来分解因式，则 m 的值为　 　． 16．若x2+xy+y=14且y2+xy+x=28，则x+y的值为　 　17．若|a+2|+a2−4ab+4b2=0，则a=　 　 ，b=　 　 ．18．甲乙两人完成因式分解 x2+ax+b 时，甲看错了a的值，分解的结果是 (x+4)(x−3) ，乙看错了b的值，分解的结果为 (x+3)(x−7) ，那么 x2+ax+b 分解因式正确的结果为　 　． 三、解答题（共8题，共66分）19．分解因式：（1）m4−16 ； （2）a2(x−y)+2ab(y−x)−b2(y−x) .20．用简便方法计算： 20252−4050×2023+20232。21．阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题：分解因式：（1）x2−xy+4x−4y；（2）x2−y2+4y−4．22．观察下面的因式分解过程：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）利用这种方法解决下列问题：（1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状．23．阅读与思考请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　（2）用配方法因式分解：a2+12a+35；（3）求2x2-4x+10的最小值.（4）已知实数x，y满足-x2+5x+y-3=0，求x+2y的最小值，并指出此时y的值.24．在当今时代， 密码与我们的生活已经紧密联系在一起． 有一种用 “因式分解”法产生的密码， 其原理是： 先将一个多项式分解因式， 再计算各因式所得的值， 最后将各因式的值进行组合． 如： 将多项式 xx2−9+2x2−9 分解因式的结果为 （x+2）（x+3）（x−3），当 x=15 时， x+2=17，x+3=18，x−3=12， 此时， 可获得密码 171812 或 171218 或 181712 等．根据上述方法， 解答以下问题：（1） 对于因式分解结果为 （x+2）（x−1） 的多项式， 当 x=21 时， 用 “因式分解”法获得的密码为　 　．（2）当 x=20，y=2 时，对于多项式 x3−xy2， 用 “因式分解”法可以产生哪些数字密码？ （求出四个即可）（3） 已知多项式 x3+ax2+bx+3 可分解因式成三个一次式， 当 x=23 时，用 “因式分解”法可以得到密码 202224 ，求 a，b 的值．25．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式呢？我们已经知道：(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2.反过来，就得到：a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)．我们发现，二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2,c1,c2，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为(a1x+c1)(a2x+c2)，其中a1,c1位于图的上一行，a2,c2位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子x2−x−6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即−6=2×(−3)；然后把1,1,2,−3按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(−3)+1×2=−1，恰好等于一次项的系数-1，于是x2−x−6就可以分解为(x+2)(x−3)．（1）请同学们认真观察和思考，尝试在下图中的虚线方框内填入适当的数，用“十字相乘法”分解因式：x2+x−6= ▲ ．（2）理解与应用请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：①2x2−5x−7= ▲ ；②12x2−11xy+2y2= ▲ ．（3）探究与拓展对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k)，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：①分解因式3x2+xy−2y2−5x+5y−2= ▲ ．②若关于x，y的二元二次式x2+7xy−18y2−5x+my−36可以分解成两个一次因式的积，求m的值．26．如图甲、乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为（x+a），宽为（x+b）．（1）根据甲图，乙图的特征用不同的方法计算长方形的面积．S甲＝　 　．S乙＝　 　＝　 　．根据条件你发现关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律用数学式表达是　 　．（2）利用你所得的规律进行多项式乘法计算：①（x+4）（x+5）＝②（x+3）（x-2）＝③（x-6）（x-1）＝（3）由（1）得到的关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律表达式，将该式从右到左地使用x2+（a+b）x+ab多项式进行因式分解．请你据此将下列多项式进行因式分解：①x2+5x+6②x2-x-12．答案解析部分1．【答案】C2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】C8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】k=−412．【答案】②④13．【答案】(x＋y)314．【答案】-1515．【答案】−2 或 816．【答案】-7或617．【答案】−2；−118．【答案】(x+2)(x-6)19．【答案】（1）解：原式 =(m2+4)(m2−4)=(m2+4)(m+2)(m−2)（2）解：原式 =a2(x−y)−2ab(x−y)+b2(x−y)=(x−y)(a2−2ab+b2)=(x−y)(a−b)220．【答案】解：原式=20252−2×2025×2023+20232=(2025−2023)2=22=4.21．【答案】（1）解：x2−xy+4x−4y=xx−y+4x−y=x−yx+4；（2）解：x2−y2+4y−4=x2−y2−4y+4=x2−y−22=x+y−2x−y+2．22．【答案】（1）解：2a+6b﹣3am﹣9bm＝（2a+6b）﹣（3am+9bm）＝2（a+3b）﹣3m（a+3b）＝（a+3b）（2﹣3m）；或 2a+6b﹣3am﹣9bm＝（2a﹣3am）+（6b﹣9bm）＝a（2﹣3m）+3b（2﹣3m）＝（2﹣3m）（a+3b）；（2）解：∵a2﹣ac﹣ab+bc＝0，∴（a2﹣ac）﹣（ab﹣bc）＝0，∴a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＝0，∴（a﹣c）（a﹣b）＝0，∴a﹣c＝0或a﹣b＝0，∴a＝c 或 a＝b，∴△ABC是等腰三角形．23．【答案】（1）4（2）解：a2+12a+35=a2+12a+36−1=(a+6)2−1=(a+6+1)(a+6−1)=(a+7)(a+5）（3）解：∵2x2−4x+10=2(x2−2x)+10=2(x2−2x+1)−2+10=2(x−1)2+8≥8∴2x2−4x+10最小值为8。（4）解：∵−x2+5x+y−3=0，所以y=x2-5x+3，代入x+2y中，得到x+2（x2-5x+3）=2(x−94)2−338，当x=94取得最小值，即(x+2y)min=−338.此时，将x=94代入，得：94+2y=−338，解得：y=1516。24．【答案】（1）2320或2023（2）∵x3−xy2=x(x2-y2)=x(x+y)(x-y)∴当x=20，y=2时，x+y=22，x-y=18 用 “因式分解”法可以产生数字密码为：202218，201822，182022，182220，221820，222018.故答案为 ：202218，201822，182022，182220，221820，222018.（3）当 x=23 时，用 “因式分解”法可以得到密码 202224 ，∴多项式 x3+ax2+bx+3 可分解因式成三个一次式为：x-3，x-1，x+1x3+ax2+bx+3=(x-3)(x-1)(x+1)=(x-3)(x2-1)=x3-x-3x2+3∴a=-3，b=-1故答案为a=-3，b=-1.25．【答案】（1）或(x−2)(x+3)（2）①(2x−7)(x+1)；②(3x−2y)(4x−y)（3）①(3x−2y+1)(x+y−2)②由阅读材料可知：x2+7xy−18y2−5x+my−36=(x−2y+4)(x+9y−9)或=(x−2y−9)(x+9y+4)．所以m=9×4+(−2)×(−9)=54或m=9×(−9)+(−2)×4=−89，答：m的值为54或-89.26．【答案】（1）（x+a）（x+b）；x2+bx+ax+ab；x2+（a+b）x+ab，；（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab（2）解：①原式＝x2+9x+20，②原式＝x2+x-6，③原式＝x2-7x+6（3）解：①x2+5x+6＝（x+2）（x+3），②x2-x-12＝（x+3）（x-4）．例1：“两两分组”：ax+ay+bx+by解：原式=ax+ay+bx+by=ax+y+bx+y=a+bx+y．例2：“三一分组”：2xy+x2−1+y2解：原式=x2+2xy+y2−1=x+y2−1=x+y+1x+y−1．配方法把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用.例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3+1)(a+3-1)=(a+4)(a+2)②求2x2+12x+22的最小值.解：2x2+12x+22=2(x2+6x+11)先求出x2+6x+11的最小值x2+6x+11=x2+6x+9+2=(x+3)2+2；由于(x+3)2是非负数，所以(x+3)2≥0，可得到(x+3)2+2≥2，即x2+6x+11的最小值为2.进而2x2+12x+22的最小值为4.