江西省八所重点2025届高三下学期4月联考数学试卷（含答案解析）

这是一份江西省八所重点2025届高三下学期4月联考数学试卷（含答案解析），共42页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知复数，则（ ）
2. 设集合，则（ ）
3. 若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ）
4. 在的展开式中，的系数为（ ）
5. 若双曲线的渐近线与圆有公共点，则的离心率的取值范围为（ ）
6. 已知，若，当取得最大值时，（ ）
7. 已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ）
8. 已知，若在上恒成立，则的最大值为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 在江西省重点中学协作体2025届高三第一次联考中，某校高三年级参加了联考，该校有600个学生数学及格（90分及以上），从数学及格的学生中随机抽取100个学生的数学成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
10. 已知两点的坐标分别为为坐标平面内的动点，直线的斜率分别为，且满足（为定值），设动点的轨迹为．则（ ）
11. 如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 若事件､相互独立，，，则__________．
13. 过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为__________．
14. 已知是圆上的一个动点，则的最大值为__________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知的内角的对边分别为．已知．
(1)求角：
(2)若，求的面积．
16. 如图，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，且，沿将折起，使点到达点．
(1)求证：：
(2)当三棱锥体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值．
17. 在直角坐标平面内，设是圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足，动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的动直线交于两点，求面积的最大值．
18. 为了增强学生体质，学校举办趣味爬楼梯比赛．从地面开始，小明爬楼梯有两种方式，一步上一级台阶或2级台阶，其中一步上一级台阶的概率为，上两级台阶的概率为，爬楼梯过程中，小明爬到第n个台阶的概率为
(1)求的值；
(2)设随机变量表示小明爬3步上的台阶总数，求的分布列及数学期望；
(3)求．
19. 数学家高斯在研究整数问题时，发明了取整符号，用表示不超过的最大整数，例如，．
(1)分别求函数和的值域；
(2)若，求函数的值；
(3)若数列满足：是数列的前项和，求的值．
江西省八所重点2025届高三下学期4月联考数学试卷
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、函数与导数、平面向量、计数原理与概率统计、平面解析几何、三角函数与解三角形、数列、空间向量与立体几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．1
C．
D．2
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．3
B．6
C．60
D．30
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．有最大值
D．不是单调数列
A．
B．
C．
D．
A．
B．估计该校有96名学生数学成绩不低于120分
C．用频率估计概率，已知某学生数学成绩不低于100分，则该生数学成绩不低于130的概率为0.2
D．成绩在和内学生的男女比例分别为和，从成绩在的学生中随机抽1学生，该生是女生的概率为
A．轨迹关于原点对称
B．轨迹关于直线对称
C．当时，轨迹为一条直线
D．当时，轨迹存在最高点
A．若，且，则三棱锥体积为定值
B．若，则动点所围成的图形的面积为
C．若，则的最小值为3
D．若动点在正方形内（包含边界），异面直线与所成角为．则的轨迹所在圆锥曲线的离心率为
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
1
适中
14
困难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
复数代数形式的乘法运算；复数的除法运算；共轭复数的概念及计算
2
0.65
交集的概念及运算；由对数函数的单调性解不等式
3
0.94
求投影向量；向量夹角的计算
4
0.65
求指定项的系数；三项展开式的系数问题
5
0.65
由直线与圆的位置关系求参数；求双曲线的离心率或离心率的取值范围
6
0.65
用和、差角的正切公式化简、求值；用和、差角的正弦公式化简、求值
7
0.65
判断数列的增减性；利用定义求等差数列通项公式；由递推关系式求通项公式
8
0.65
由导数求函数的最值（不含参）；利用导数研究不等式恒成立问题；对数的运算
二、多选题
9
0.65
由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量；计算条件概率；频率分布直方图的实际应用
10
0.65
求平面轨迹方程；求抛物线的轨迹方程；判断抛物线的开口方向；求抛物线的对称轴
11
0.15
锥体体积的有关计算；立体几何中的轨迹问题；求异面直线所成的角；求椭圆的离心率或离心率的取值范围
三、填空题
12
0.94
独立事件的乘法公式
13
0.65
抛物线中的三角形或四边形面积问题；切线长
14
0.65
正弦定理解三角形；向量夹角的坐标表示；三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系；判断圆与圆的位置关系
四、解答题
15
0.65
正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；正弦定理解三角形；余弦定理解三角形
16
0.65
求二面角；线面垂直证明线线垂直；锥体体积的有关计算；证明线面垂直
17
0.65
轨迹问题——椭圆；求椭圆中的最值问题；椭圆中三角形（四边形）的面积
18
0.65
分步乘法计数原理及简单应用；求离散型随机变量的均值；由定义判定等比数列；独立事件的乘法公式
19
0.15
利用导数研究函数图象及性质；分组（并项）法求和；由递推数列研究数列的有关性质；函数新定义
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2
3
函数与导数
2,8,19
4
平面向量
3,14
5
计数原理与概率统计
4,9,12,18
6
平面解析几何
5,10,11,13,14,17
7
三角函数与解三角形
6,14,15
8
数列
7,18,19
9
空间向量与立体几何
11,16