初中数学一元二次方程习题

这是一份初中数学一元二次方程习题，共28页。试卷主要包含了41，84，59，54 ；等内容，欢迎下载使用。
专题 1.5（2） 一元二次方程（专项练习）（夯实基础篇）
【试题信息】专项分层练习（夯实基础篇）分为选择题 10 题，填空题 8 题，解 答题 6 题，满分 120 分．
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题均有四个选 项，其中只有一项符合题目要求）
（24-25 八年级下·山东济南·期末）
1 ．下列方程是一元二次方程的是( )
A ．x2 = 2 B ． C ．x2 + 2y = 1 D ．mx2 + 2x = 3
（2025·新疆·模拟预测）
2 ．若关于x 的一元二次方程(k -1)x2 + 2x +1 = 0 有两个相等的实数根，则k 的值是( )
A ．2 B ．1 C ． D ．0
（24-25 九年级下·全国·假期作业）
3 ．已知关于x 的方程a (x + m)2 + b = 0 ，（ a ，b ，m 均为常数，且a ≠ 0 ）的两个解是x1 = 3 和x2 = 7 ，则方程a (2x + m - 1)2 + b = 0 的解是( )
A ．x1 = 2 ，x2 = 4 B ．x1 = 3 ，x2 = 7
C ．x1 = 5 ，x2 = 13 D ．x1 = 2 ，x2 = 6
（24-25 八年级下·山东淄博·期中）
可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为( )
A ．3x2 + 2x -1 = 0 B ．2x2 + 4x -1 = 0
C ．-x2 - 2x + 3 = 0 D ．3x2 - 2x - 1 = 0 （2025·安徽六安·三模）
5 ．已知菱形ABCD 的边长是一元二次方程x2 -12x + 35 = 0 的一个根，且两条对角线长的和 为14 ，则菱形 ABCD 的边长为( )
A ．5 B ．7 C ．12 D ．5 或7
（24-25 九年级上·河北保定·期末）
6．对于实数 a，b 定义新运算：a *b = ab + a2 ，若关于 x 的方程x *3 = m 有两个实数根，则 m 的取值范围是( )
A ． B ． 且 D ． 且m ≠ 0 （24-25 八年级下·安徽合肥·期中）
7 ．已知a ，b 是方程x2 - 5x - 1 = 0的两根，则a (b +1) + b = ( )
A ．4 B ．6 C ．-6 D ．-4
（2025·河北邯郸·二模）
8 ．定义一种运算：a & b = a2 - 2ab + 2 ，如：3 & 4 = 32 - 2× 3 × 4 + 2 = -13 ．若 x &(x -1) = -4 ，则所有满足条件的实数x 的和为( )
A ．-2 B ．2 C ．-6 D ． （24-25 九年级上·山西吕梁·阶段练习）
9 ．如图，小球悬浮于液体中(F浮 = G ) ，若F浮 = 20N ，小球质量为(x2 + x )kg, g = 10N / kg ， 则x 的值为( )
A ．1 B ．4 C ．-2 或 1 D ．-5 或 4 （24-25 九年级上·贵州铜仁·期末）
10．数学课上，数学老师在黑板上写出了一个一元二次方程，让第一学习小组的四位同学以 接力的方式用配方法解方程，每人负责完成一个步骤（如图），他完成一步解答后接着第二 位同学上黑板计算，… , 依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一名同学的计算 结果．接力计算中，出现错误的同学是( )
A ．张 B ．王 C ．李 D ．陈
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）
（24-25 八年级下·广西百色·期中）
11 ．若方程(k - 2)xk + 2x + 5 = 0 是一元二次方程，则 k 的值是 ． （21-22 九年级上·湖北武汉·期末）
12 ．“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程 x3－x ＝0，它的解 是 ．
（2024·山东菏泽·一模）
13 ．已知一次函数y = kx + b (k ≠ 0) 的图像不过第三象限，则方程bx2 - 2x + k = 0 的根的个数 为 ．
（23-24 八年级下·浙江杭州·期末）
14 ．已知 a ，b 为常数，若方程(x -1)2 = a 的两个根与方程(x - 3)(x - b) = 0 的两个根相同，则 b = ．
（2025·江苏泰州·三模）
15 ．关于x 的方程x2 + 2kx + k2 + k + 3 = 0 有两个实数根，则k 的最大值为 ． （2025·吉林长春·三模）
16 ．若 a 是方程x2 - x -1 = 0 的一个根，则-a3 + 2a + 2025的值为 ． （2025·山西朔州·一模）
17．如图，平遥推光漆器是山西省著名的传统手工艺品，距今已有千年历史．某商家销售一 款平遥推光漆器，原价为 100 元，为清理库存，商家推出“折上折”活动，即连续两次打折， 折扣相同，打折后的售价为 81 元，则商家每次打 折．
（24-25 九年级下·全国·假期作业）
18 ．根据下列表格的对应值，由此可判断方程x2 + 12x - 15 = 0必有一个解x 的取值范围 是 ．
x
-1
1
1.1
1.2
三、解答题（本大题共 6 小题，共 58 分）
（24-25 八年级下·浙江杭州·期中）
19 ．解下列一元二次方程
(1) x2 - 4x + 2 = 0
(2)2x (x - 3) + x = 3
（24-25 八年级下·广西梧州·期中）
20 ．若关于x 的一元二次方程x2 + (2k + 3)x + k2 = 0 有两个不相等的实数根 x1 ，x2 ．
(1)求k 的取值范围；
(2)若x1 + x2 + x1x2 = 0 ，求 k 的值．
（22-23 七年级下·浙江金华·期末）
21 ．对于 同学们展开了探究：当a = 1，b = 时，该等式成立；当a = 2，b = 1 时， 该等式成立．
(1)当a =100 时，b 等于多少时，该等式成立？
(2)要满足该等式，a ，b 之间有什么永恒关系？请计算说明；
(3)拓展应用：如果一分式方程满足 且解是 我们称之为友好 方程．请解方程
（2025·辽宁沈阳·模拟预测）
22 ．2025 年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨 欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价 35
元．根据市场调研，若售价定为 50 元时，每天可售出200 件，售价每下降 1 元，销量增加 20 件．
(1)若商家决定降价销售，设每件降价 x 元(x ≥ 0) ，求每日销量 y（件）与 x（元）的函数关 系式；
(2)在（1）条件下，若商家要想获利 3080 元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应
x2 +12x
-11
13
14.41
15.84
x2 + 12x - 15
-26
-2
-0.59
0.84
降价多少元？
（2024 九年级上·山东济南·专题练习）
23．在初中阶段，我们学过的数无论是有理数还是无理数，都统称实数．在高中阶段，我们 将认识一种全新的数：虚数．一般的，每一个数都可以表示成：a + bi 的形式．其中 a 叫做 这个数的实部，bi 叫作虚部，则顾名思义，i 便是虚数．当a = 0，b ≠ 0 时，这个数叫作纯虚 数，当a ≠ 0，b = 0 时，这个数叫作实数．例如：6 可以表示为：6 + 0i 的形式．据此回答下 列问题：
(1)请用a + bi 的形式表示8.54 ；
(2)已知i2 = -1，请猜想 i4 的值；
(3)从以下 2 个条件中任选一个，猜想i 的产生：
条件一：x2 + 1 = 0该方程无解；条件二：数轴在平面直角坐标系中只相当于 x 轴．
（23-24 九年级上·河南驻马店·阶段练习）
24．数学老师在讲一元二次方程的解法的时候，没有看讲义，不假思索地在黑板上写出了一 组题目：
① x2 + 5x - 2 = 0 ；② x2 - 7x - 3 = 0 ；③ -x2 + 5x + 6 = 0 ； ⑤
然后让同学们解这些方程.说来也奇怪，没有出现一个方程无实数根的情况.
(1)请仔细观察上述方程的特征，想一想为什么数学老师能“不看讲义”，又“不假思索”地写出 了这组一定有实数根的一元二次方程；
(2)请你也学着老师写几个这样的方程来．
1 ．A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义(整式方程、一个未知 数、未知数最高次数为 2)逐一判断选项．
【详解】解：选项 A：x2 = 2 ，方程两边均为整式，仅含一个未知数x ，且x 的最高次数为 2，符合一元二次方程的定义．
选项 方程中含分式项 ，不是整式方程，不符合要求．
选项 C：x2 + 2y = 1 ， 含两个未知数x 和y ，不满足“一元”条件．
选项 D：mx2 + 2x = 3，当m ≠ 0 时是二次方程，但题目未明确m 的取值范围，若m = 0 则变 为一次方程，无法确定．
综上，只有选项 A 符合一元二次方程的定义．
故选：A．
2 ．A
【分析】本题主要考查了根的判别式， 解题的关键是牢记“当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实 数根”．
根据方程的二次项系数不等于 0 结合根的判别式 Δ = 0 ，可得出关于 k 的一元一次方程，解 之即可得出k 的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程(k -1)x2 + 2x +1 = 0 有两个相等的实数根， : Δ = 22 - 4× (k -1) = 0 ，k - 1 ≠ 0 ，
解得：k = 2 ，
故选：A．
3 ．A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据题意把(2x -1) 看做一个整体，根据方程 a (x + m)2 + b = 0 的解，可得2x -1 = 3 或2x -1 = 7 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵关于x 的方程a (x + m)2 + b = 0 ，（a ，b ，m 均为常数，且a ≠ 0 ）的两个解 是x1 = 3 和x2 = 7 ，
:方程a (2x + m - 1)2 + b = 0 的解满足2x -1 = 3 或2x -1 = 7 ，
解得x1 = 2 ，x2 = 4 ，
故选：A．
4 ．D
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，由求根公式 得出a = 3 ， b = -2 ，c = -1，即可得解，熟练掌握求根公式是解此题的关键．
解 可以表示某个一元二次方程的根， : a = 3 ，b = -2 ，c = -1，
:这个一元二次方程为3x2 - 2x -1 = 0 ， 故选：D．
5 ．A
【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，三角形的三边关系，能熟记菱形的性质 和解一元二次方程是解此题的关键．先根据菱形的性质得出 求 出方程的解，利用三角形的三边关系确定解即可．
【详解】解：如图，
由题意得AC + BD = 14 ，
:四边形ABCD 是菱形，
: AO = OC ，BO = OD ，
解x2 -12x + 35 = 0 ， 解得：x = 5 或x = 7 ， : AO + BO > AB ，
: AB < 7 ，
: AB = 5 ，
6 ．C
【分析】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根与 Δ = b2 - 4ac 有如 下关系:当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ < 0 时，方程无实数根．
先利用新定义得到x2 + 3x = m ，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到
Δ = 32 - 4× (-m) ≥ 0 ，再解不等式即可． 【详解】解：Qx *3 = m ，
:x2 + 3x = m ，
方程化为一般式为x2 + 3x - m = 0 ， Q 方程有两个实数根，
:Δ = 32 - 4× (-m) ≥ 0 ，
解得 ．
故选：C．
7 ．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据a ，b 是方程x2 - 5x - 1 = 0的两 根，可得a + b = 5 ，ab = -1 ，把a (b +1) + b 去括号，可得：原式= ab + a + b ，再利用整体代 入求值即可．
【详解】解：Q a ，b 是方程x2 - 5x - 1 = 0的两根，
: a (b +1) + b
= ab + a + b
= -1+ 5
= 4 ．
故选：A．
8 ．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据定义可得
x2 - 2x (x -1) + 2 = -4 ，即 x2 - 2x - 6 = 0 ，再利用判别式可证明原方程有两个不相等的实数 根，则由根与系数的关系可得答案．
【详解】解：∵ x &(x -1) = -4 ， : x2 - 2x (x -1) + 2 = -4 ，
: x2 - 2x - 6 = 0 ，
∵ Δ = (-2)2 - 4× (-1)×6 = 28 > 0
:原方程有两个不相等的实数根x1，x2 ，
故选：B．
9 ．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是能正确列出方程，先根据题意 列出方程，再求解即可．
【详解】解：Q F浮 = G ， :10(x2 + x ) = 20 ，
:x2 + x - 2 = 0 ，
:(x + 2)(x -1) = 0 ，
解得：x1 = 1, x2 = -2 ，
故选：C
10 ．B
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程成为解题的关键． 根据配方法解老师出示的一元二次方程即可判断出错的同学．
【详解】解：2x2 + 4x -1 = 0 ，
移项得：2x2 + 4x = 1，故小张正确；
方程左右两边同时除以 2 可得： 故小王错误；
故小王负责的式子出现错误；
故选：B．
11 ．-2
【分析】本题考查了一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式 方程叫一元二次方程．
根据一元二次方程的定义得到k - 2 ≠ 0 且k = 2 ，然后解不等式和方程得到满足条件的 k 的 值．
【详解】解：根据题意得 k - 2 ≠ 0 且k = 2 ， 解得k = -2 ．
故答案为：-2 ．
12 ．x1 = 0, x2 = -1, x3 = 1
【分析】先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可.
【详解】解：Q x3 - x = 0, : x(x + 1)(x - 1) = 0,
则x = 0 或x +1 = 0 或x -1 = 0, 解得：x1 = 0, x2 = -1, x3 = 1.
故答案为：x1 = 0, x2 = -1, x3 = 1.
【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的 方法与应用”是解本题的关键.
13 ．1 或 2
【分析】本题考查了一次函数的图像，一元二次方程根的情况，熟练掌握知识点是解决本题 的关键．
由一次函数y = kx + b (k ≠ 0) 的图像不过第三象限，得k 0 时，方程为一元二次方程，根据 Δ 判断即可．
【详解】解：∵一次函数y = kx + b (k ≠ 0) 的图像不过第三象限，
: k < 0, b ≥ 0 ，
当b = 0 时，-2x + k = 0 ，方程为一元一次方程，所以方程根的个数为 1 个； 当b > 0 时， Δ = (-2)2 - 4bk ，由于k < 0, b > 0 ，
: Δ > 0 ，
:方程有 2 个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为 1 或 2．
故答案为：1 或 2．
14 ．-1
【分析】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，先求出方程(x - 3)(x - b) = 0 的解，进 而可求出a 的值，据此可解决问题．熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：由方程(x - 3)(x - b) = 0 得，
x1 = 3 ，x2 = b ．
因为方程(x -1)2 = a 的两个根与方程(x - 3)(x - b) = 0 的两个根相同， 则将x = 3 代入(x -1)2 = a 得，
a = 4 ，
解方程(x -1)2 = 4 得，
x3 = 3 ，x4 = -1，
所以b = -1 ．
故答案为：-1．
15 ．-3
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识 的熟练掌握与灵活运用．由题意知， Δ = (2k)2 - 4(k2 + k + 3) ≥ 0 ，解得 k ≤ -3 ，即可得解．
【详解】解：由题意知， Δ = (2k)2 - 4(k2 + k + 3) ≥ 0 ， 解得k ≤ -3 ，
: k 的最大值为-3 ， 故答案为：-3 ．
16 ．2024
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题 的关键．
根据一元二次方程的解的定义可得a2 -1 = a ，a2 - a = 1，然后代入计算，即可求解．
【详解】解：∵a 是方程x2 - x -1 = 0 的一个根，
: a2 - a -1 = 0 ，
: a2 -1 = a ，a2 - a = 1， :-a3 + 2a + 2025
= -a3 + a + a + 2025
= -a (a2 -1)+ a + 2025
= -a2 + a + 2025
= - (a2 - a )+ 2025
= -1+ 2025
= 2024
故答案为：2024．
17 ．9 ##九
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设商家每次打x 折，根据“折上折”可得
再解方程即可．
【详解】解：设商家每次打x 折，则
解得：x = 9 （x = -9 舍去），
故答案为：9
18 ．1.1 < x < 1.2
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据表格数据解答即可求解，看懂表格数据是解题 的关键．
【详解】解：由表可知，x = 1.1 时，x2 +12x -15 = -0.59 < 0 ；当 x = 1.2 时， x2 +12x -15 = 0.84 > 0 ，
:当1.1 < x < 1.2 时，x2 + 12x - 15 = 0必有一个解，
: x 的取值范围是1.1 < x < 1.2 ， 故答案为：1.1 < x < 1.2 ．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，
（1）先配方，再开方，可得解；
（2）根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：x2 - 4x + 2 = 0 ， 配方，得x2 - 4x + 4 = -2 + 4 ，
即(x - 2)2 = 2 ，
解得x1 = 2 + ， （2）解：2x (x - 3) + x = 3 ，
因式分解，得(2x +1)(x - 3) = 0 ， 即2x +1 = 0 或x - 3 = 0 ，
解得 ．
20 ． (2)3
【分析】本题主要查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系：
（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】（1）解：∵方程x2 + (2k + 3)x + k2 = 0 有两个不相等的实数根， : Δ = (2k + 3)2 - 4k2 > 0 ，
解得：
（2）解：∵方程x2 + (2k + 3)x + k2 = 0 有两个不相等的实数根 x1 ，x2 ， : x1 + x2 = - (2k + 3), x1x2 = k2 ，
∵ x1 + x2 + x1x2 = 0 ，
: k2 - 2k - 3 = 0 ，
解得：k1 = 3, k2 = -1，
: k = 3 ．
说明见解析；
【分析】本题考查新定义下的整式运算计算，熟练掌握整式的因式分解是解决问题的关键．
（1）把 a =100 代入求解即可．
（2）直接计算a - b = 求出 a ，b 的关系式即可．
（3）因式分解化简求值即可．
【详解】（1）解：把 a =100 代入a - b = 得
解得 ．
a2 - ab = b ， a2 = b (a +1)，

令x - 3 = y ，
上式为
解得
22 ．(1) y = 200 + 2x
(2)这种玩偶每件应降价4 元
【分析】本题考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用，根据题意列一元二次方程是 解题的关键．
（1）根据题意列函数解析式即可；
（2）设这种玩偶每件应降价x 元，根据题意列方程得(200 + 20x)(50 - 35 - x) = 3080 ，解得 x = 1 或x = 4 ，为了让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价 4 元．
【详解】（1）解：根据题意：每件降价 x 元(x ≥ 0) ，
:每日销量y（件）与 x（元）的函数关系式为 y = 200 + 20x ；
（2）解：设这种玩偶每件应降价x 元，
根据题意列方程得(200 + 20x)(50 - 35 - x) = 3080 ， 解得：x = 1 或x = 4 ，
为了让顾客获得更大实惠，
:这种玩偶每件应降价4 元．
23 ．(1)8.54 + 0i (2)1
(3)见解析
【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程：
（1）根据新定义求解即可；
（2）根据 i4 = (i2 )2 进行求解即可；
（3）选择条件一，根据原方程无解，则需要定义新的数来使得原方程有解，故有虚数 i 的 产生；选择条件二，根据数轴只能表示横轴，则实数只能在横轴上表示，那么二维平面内其 他不在横轴上的点无法表示，因此需要虚数作为纵轴，进而可表示出整个二维平面内的点， 故由虚数i 的产生．
【详解】（1）解：由题意得，8.54 = 8.54 + 0i ；
（2）解：: i2 = -1，
: i4 = (i2 )2 = (-1)2 = 1 ；
（3）解：选择条件一，: x2 + 1 = 0 ， : x2 = -1，
:在实数范围内没有一个实数的平方是负数， :原方程无解，
:需要定义新的数来使得原方程有解，故有虚数i 的产生．
选择条件二，根据数轴只能表示横轴，则实数只能在横轴上表示，那么二维平面内其他不在 横轴上的点无法表示，因此需要虚数作为纵轴，进而可表示出整个二维平面内的点，故由虚 数i 的产生．
24 ．(1)见解析
答案不唯一）
【分析】（1）题干一元二次方程中二次项系数和常数项系数异号，根的判别式Δ ≥ 0 ，方程 有实数根；
（2）根据（1）写出两个二次项系数和常数项系数异号的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：:在一元二次方程中只要 Δ = b2 - 4ac ≥ 0方程就有根，
:在一元二次方程中二次项系数和常数项互为异号即可，
:老师写的这些一元二次方程中都是二次项系数和常数项相乘得负数，
:数学老师能“不看讲义”，由“不假思索”地写出了这组一定有实数根的一元二次方程；
（2）解：还可以写出许多符合这一特点的方程，如：-x2 + 2x + 5 = 0 ，
……
【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是要熟练掌握根的判别式 Δ ≥ 0 ， 方程有两个的实数根，此题难度不大．