山东省青岛市2024-2025学年上学期九年级开学考试数学试题（解析版）

这是一份山东省青岛市2024-2025学年上学期九年级开学考试数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题．等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每题3分）
1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A. 2x+1=0是一元一次方程，故不符合题意；
B. ，分母含有未知数，故不符合题意；
C.为一元二次方程，符合题意；
D. ，分母含有未知数，故不符合题意；
故选C．
2. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】D
【解析】根据题意得a≠0且△=22-4a＞0，
解得a＜1且a≠0．
故选：D．
3. 菱形的对角线长分别为5和8，它的面积为（ ）
A. 20B. 40C. 24D. 30
【答案】A
【解析】菱形的面积为：；
故选：A．
4. 如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，已知，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵矩形中，，，
∴，，
∴，
故选：C．
5. 方程﹣5x2=1的一次项系数是（ ）
A. 3B. 1C. ﹣1D. 0
【答案】D
【解析】方程整理得：-5x2-1=0，
则一次项系数为0，
故选D．
6. 下列命题中，错误的是（ ）
A. 两条对角线相等的平行四边形是矩形
B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 两条对角线互相垂直的矩形是正方形
D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不合题意；
B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项错误，符合题意；
C、两条对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，不合题意；
D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不合题意；
故选：B．
7. ABCD是边长为1的正方形，是等边三角形，则的面积为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】如图，
过P作PE⊥CD，PF⊥BC，
∵正方形ABCD的边长是1，△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=1，
∴∠PCE=30°，
∴PF=PB•sin60°=1×=，PE=FC=，
S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD
=××1+××1-×1×1=；
故选B．
8. 某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价25万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同费率后售价为16万元，求每次下调的百分率．设每次下调的百分率为x，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意得第一次下调费率后的售价为，
第二次下调费率后的售价为，
得到方程，
故选：D．
9. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，则对角线AC长为（ ）
A. B. C. 12D. 12
【答案】B
【解析】∵在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6，
∴AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD＝BD＝6，∠DAC＝30°，
∴AO＝6×cs30°＝ ，
∴AC＝．故选：B．
10. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，ABCD，BC＝AD＝1，∠C＝90°，
∴∠BAM＝∠AMD，
∵AM平分∠DMB，
∴∠AMD＝∠AMB，
∴∠BAM＝∠AMB，
∴BM＝AB＝2，
∴CM＝，
∴DM＝CD−CM＝2−；
故选：A．
二、填空题（共6小题，每题三分）
11. 方程的解为______________．
【答案】，
【解析】
∴，
∴或，
解得：，
故答案为：，．
12. 已知是方程的一个根，则方程的另一根是__________.
【答案】
【解析】设方程的另一个根为，
∵是方程的一个根，
∴根据根与系数关系定理，得，
，
故答案为：
13. 如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足________条件时，四边形EFGH是菱形．
【答案】AB=CD
【解析】需添加条件AB=CD．
∵E，F是AD，DB中点，
∴EF∥AB，，
∵H，G是AC，BC中点，
∴HG∥AB，，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵E，H是AD，AC中点，
∴，
∵AB=CD，∴EF=EH，∴四边形EFGH是菱形．
故答案为AB=CD．
14. 如下图，社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为26米，宽为14米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为160平方米．求通道的宽是______米．
【答案】3
【解析】设通道的宽为米，则停车位可以合成长为米，宽为米的矩形，
根据题意得：，
整理得：，
解得：或（舍）．
故答案为：3
15. 如图，在中，，D是上一动点，过点作于点E，于点F．连接，则线段的最小值是 ____________________．
【答案】
【解析】如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，，
即，
解得：，
∴．
故答案为：．
16. 如图，在菱形中，，E、F分别是，的中点，、相交于点G，连接，．有下列结论：①，②，③，④；其中正确的结论序号是_______．
【答案】①②③
【解析】①∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，，
∵E、F分别是，的中点，
∴，，
∴，故①正确，符合题意；
②∵，
∴，
和①同理可得为等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴
∴，
∴，故②正确，符合题意；
③∵点E为中点，为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确，符合题意；
④∵，
∴与不全等，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①②③，
故答案为：①②③．
三、解答题（共10小题）．
17. 如图所示，一块儿三角形空地ABC，要在其内部建一个菱形花园，使得B为菱形花园的一个顶点，其余3个顶点分别在的3条边上．请你能设计出此菱形花园．
解：如图所示，四边形BEDF为所求菱形，
作法：（1）作的角平分线交AC于点D，具体作法为：以点B为圆心，任意长为半径作圆，与AB边交于M点，与BC边交于N点，分别以M、N点为圆心，适当长为半径作圆，交于P点，作射线BP，交AC于点D；
（2）作交AB于点E，交BC于点F，则四边形BEDF为所求菱形．
证明：∵，，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∵BD是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形BEDF为菱形．
18. 用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）解：，
移项得，，
两边除以2得，，
开平方得，，
∴，；
（2）解：，
配方得，，即，
开平方得，，
∴，；
（3）解：，
移项得，，
分解因式得，，
∴或，
∴或；
（4）解：，
分解因式得，，
移项得，，
因式分解得，，即，
∴或，
∴，．
19. 如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形，设矩形的边长为米，矩形场地的总面积为平方米．

（1）请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）；
（2）当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？
（1）解：依题意得，．
则；
（2）解：根据题意得，
解得，．
则或．
，
，舍去．
即，．
答：当的值为20时，矩形场地的总面积为400平方米．
20. 如图，在平行四边形中，，，的平分线分别与，相交于点E，F．

（1）求证：；
（2）当与满足什么数量关系时，四边形为菱形?请说明理由．
（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，，
∵，分别是，的平分线，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：时， 四边形为菱形，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由 （1） 得，，
∴与是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
21. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次．
（1）求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
（1）解：设年平均增长率为x，由题意得：
，
解得：，（舍）．
答：年平均增长率为．
（2）解：设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：
，
整理得：，
解得：，．
∵售价不超过20元，
∴．
答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
22. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，．
∵点、分别是、的中点，
∴，．
∴．
在和中，
，
∴．
（2）解：当四边形是菱形时，四边形是矩形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
即．
∴四边形是矩形．
23. 为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果批发商响应号召，以市场价每千克元的价格收购了千克苹果，并立即将其冷藏，请根据下列信息解答问题：
①该苹果的市场价预计每天每千克上涨元；
②这批苹果平均每天有千克损坏，不能出售；
③每天的冷藏费用为元；
④这批苹果最多保存天．
若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售．
（1）多少天后这批苹果的市场价为每千克元?
（2）求天后一次性全部售出所得的利润为多少元?
（3）若天后一次性出售所得利润为元，求的值．
（1）解：设存放天后按当天价格一次性出售，
根据题意，天后这批苹果的市场价为每千克元，
，
解得：，
答：天后这批苹果的市场价为每千克元；
（2）天后的价格为：（元），
天要损坏的苹果有（千克），
天冷藏费用为（元），
天后一次性全部售出所得的利润：
（元），
答：天后一次性全部售出所得的利润为元；
（3）天后的价格为：（元），
天要损坏的苹果有（千克），
天的冷藏费用为（元），
，
整理得：，
，
，，
批苹果最多保存天，
．
24. 如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形．
探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍．
因为正方形ABCD面积为1，则正方形EFGH的面积为2，
所以EF＝FG＝GH＝HE＝，设EB＝x，则BF＝﹣x，
∵Rt△AEB≌Rt△BFC
∴BF＝AE＝﹣x
在Rt△AEB中，由勾股定理，得
x2+（﹣x）2＝12
解得，x1＝x2＝
∴BE＝BF，即点B是EF的中点．
同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．
所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍
探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）
探究三：已知边长为1的正方形ABCD， 一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）
探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）
探究二：解：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，
所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x，则BF=﹣x，
∵Rt△AEB≌Rt△BFC，
∴BF=AE=﹣x，
在Rt△AEB中，由勾股定理，得，
x2+（﹣x）2=12，
整理得x2﹣x+1=0，
b2﹣4ac=3﹣4＜0，
此方程无解，
不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；
探究三：解：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4，
所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x，
∵Rt△AEB≌Rt△BFC，
∴BF=AE=2﹣x，
在Rt△AEB中，由勾股定理，得，
x2+（2﹣x）2=12，
整理得2x2﹣4x+3=0，
b2﹣4ac=16﹣24＜0，
此方程无解，
不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍，
故答案为不存在；
探究四：解：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n，
所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x，则BF=﹣x，
∵Rt△AEB≌Rt△BFC，
∴BF=AE=﹣x，
在Rt△AEB中，由勾股定理，得，
x2+（﹣x）2=12，
整理得2x2﹣2x+n﹣1=0，
b2﹣4ac=8﹣4n＜0，
此方程无解，
不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍．