山东省青岛市莱西市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

这是一份山东省青岛市莱西市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版），共38页。
说明：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，共15小题，90分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分）
1. 春节期间，贴春联、送祝福一直是我们的优良传统．下列用篆书书写的春联中“五福临门”四个字，其中可以看成中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D. 13
3. 如图所示几何体的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，数轴上点表示一个无理数，这个无理数可能是（ ）

A. B. C. D.
5. 不等式组解集为（ ）
A. B. C. D. 无
6. 如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在边长为1的正方形网格中，点在格点上，以为直径的圆过两点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，直线与双曲线在第一象限相交于点，，直线与轴交于点，则下列结论错误的是（ ）

A. B. ，
C. 当时，D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分）
11. 中国火星探测器“天问一号”到地球的距离约为公里，其中是一个用科学记数法表示的数，它原来是一个______位数．
12. 2023年10月6日晚，在杭州亚运会女篮决赛中，中国女篮以74比72战胜劲敌日本队，成功卫冕亚运会冠军．比赛时中国队5名首发队员的身高如下表：
第二节开始，身高的李月汝上场，换下身高的韩旭．设首发5名队员身高的方差为，第二节开始时，场上5名队员身高的方差为，则与的大小关系是______，（填“”，“”或“”）
13. 因式分解：______．
14. 如图，点是半圆上一点，是半圆的直径，是上不与，重合的一点，若，弦，则的长为______．

15. 如图，已知四边形和四边形均为正方形，且是的中点，连接，若，则的长为______．
16. 直线和抛物线（是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：
①抛物线的对称轴是直线；
②抛物线与轴一定有两个交点；
③关于的方程有两个根；
④若，当或时，；
其中正确的结论是______．（填序号）
三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
17 已知：．

求作：，使其圆心在边上，且与都相切．
四、解答题：（本题满分68分，共9道小题）
18. 计算：
（1）；
（2）．
19. 在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共个，它们除颜色外其余都相同．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）试估算口袋中白球有______个．
（2）现有另一个不透明的口袋中装有一红一白两个球，它们除颜色外其余都相同，一学生从两个口袋中各摸出一个球，请利用画树状图或列表的方法计算这两个球颜色相同的概率．
20. 近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示：根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）完成表格，在相应序号处填空：
（2）根据以上数据，若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．
21. 阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（）．如图（1），在中，，顶角的正对记作“”，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）如图（2），利用等腰直角三角形计算：______；
（2）如图（3），在等腰中，，若，求值．
22. 一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯的高（灯杆底部不可到达）．如图，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：）

23. 某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，销售一段时间调研发现，每天的销售数量(件)与销售单价(元/件)满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
（1）直接写出与的函数关系式；
（2）要使每天销售利润不低于1200元，应如何确定销售单价？
（3）在每天的销售量不低于60件的前提下，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）填空：①直线表达式为______；
②当时，的取值范围是______；
（2）在轴上是否存在一点，使得最短？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线分别与直线交于两点，当时，求值．
25. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题：

（1）取何值时，平分；
（2）设的面积为，求与的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由．
附加题 （本题供学有余力的学生尝试解答，不作为考试内容）
26. 如图，直线与轴交于点，与轴分别交于点，二次函数的图象过两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）将抛物线沿轴向右平移个单位长度，当的值为多少时，平移后所得新抛物线与直线只有一个公共点？
（3）将抛物线沿轴向左平移个单位长度，所得新抛物线与原抛物线相交于点，当点在第二象限，求面积的最大值，并求此时的值．
2023-2024学年度第一学期期末质量检测
初四数学试题
（考试时间：120分钟；满分：120分）
说明：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，共15小题，90分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分）
1. 春节期间，贴春联、送祝福一直是我们的优良传统．下列用篆书书写的春联中“五福临门”四个字，其中可以看成中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
【详解】解：选项B、C、D的图形都不能找到一个点，使这些图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A的图形能找到一个点，使这个图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：A．
2. 计算的结果是（ ）
A B. C. D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算．先算乘方，再算加减，即可解答．
【详解】解：
，
故选：B．
3. 如图所示几何体的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图．根据从左面看到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：该几何体的左视图为一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线．
故选：B．
4. 如图，数轴上点表示一个无理数，这个无理数可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，正确确定点P对应的数的大小是解答本题的关键．先根据数轴确定点P对应的数的大小，再结合选项进行判断即可．
【详解】解：根据题意得：点P表示的数在和 之间，
A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、是有理数，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：B．
5. 不等式组的解集为（ ）
A. B. C. D. 无
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组：先移项再合并同类项，系数化1，解出每个不等式的解，再取公共部分的解集，即可作答．
【详解】解：∵
∴
即
故选：C
6. 如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角定理．设直线与交于点，与交于点，先由对顶角的性质得，再由等边三角形的性质得，然后由三角形的外角定理可求出，最后再根据直线可得的度数．
【详解】解：设直线与交于点，与交于点，如图所示：
，
，
为等边三角形，
，
为的一个外角，
，
直线，
．
故选：C．
7. 如图，在边长为1的正方形网格中，点在格点上，以为直径的圆过两点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形、圆周角定理．连接，先根据勾股定理求出，再根据圆周角定理得到，根据正弦的定义解答即可．
【详解】解：如图，连接，
∵直径，
∴，
根据题意得：，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A
8. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，
根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9. 如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设抛物线解析式为，由已知抛物线过，可求出，把代入函数表达式即可解决问题，合理建立坐标系是解本题的关键．
【详解】建立如图所示坐标系，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为
抛物线过，
把代入
，
两壁灯之间的水平距离为，
故选：C．
10. 如图，直线与双曲线在第一象限相交于点，，直线与轴交于点，则下列结论错误的是（ ）

A. B. ，
C. 当时，D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，反比例函数与不等式和两点间的距离，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：、由在第一象限相交于点，，
则，
解得，故此选项正确，不符合题意；
、由，则，
∵在图象上，
∴，
解得，
∴点，，
由过，，
∴，
解得，故此选项正确，不符合题意；
、由，，再根据图象可知当时，，
故此选项正确，不符合题意；
、由上可知，，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，故此选项不正确，符合题意，
故选：．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分）
11. 中国火星探测器“天问一号”到地球的距离约为公里，其中是一个用科学记数法表示的数，它原来是一个______位数．
【答案】十
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
即它原来是一个十位数．
故答案为：十．
12. 2023年10月6日晚，在杭州亚运会女篮决赛中，中国女篮以74比72战胜劲敌日本队，成功卫冕亚运会冠军．比赛时中国队5名首发队员的身高如下表：
第二节开始，身高的李月汝上场，换下身高的韩旭．设首发5名队员身高的方差为，第二节开始时，场上5名队员身高的方差为，则与的大小关系是______，（填“”，“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了方差．利用方差公式计算，然后比较大小即可．
【详解】解：首发5名队员身高的平均数为：，
首发5名队员身高的方差为
，
第二节5名队员身高的平均数为：，
第二节5名队员身高的方差为
．
故．
故答案为：．
13. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
14. 如图，点是半圆上一点，是半圆的直径，是上不与，重合的一点，若，弦，则的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式．连接，根据圆周角定理得，根据圆内接四边形的性质当得，所以，根据，得，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接，

是半圆的直径，
，
，
，
，
，，
，
，
∴的长为．
故答案为：．
15. 如图，已知四边形和四边形均为正方形，且是的中点，连接，若，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．过点作交于点，交于点，则，再证明，得出，再利用勾股定理即可解答．
【详解】解：过点作交于点，交于点，则，
四边形和四边形均为正方形，
，，，
，
，
，，
，，
，
故答案为：．
16. 直线和抛物线（是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：
①抛物线的对称轴是直线；
②抛物线与轴一定有两个交点；
③关于的方程有两个根；
④若，当或时，；
其中正确的结论是______．（填序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查了二次函数基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，掌握解法是解题的关键．
①由直线经过点可得，从而可求，即可求解；②可得，由，可得，即可求解；③可判断抛物线也过，从而可得方程的一个根为，可求抛物线的对称轴为直线，从而可得抛物线与轴的另一个交点为，即可求解；④当，当时，，即可求解．
【详解】解：①直线经过点，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
故①正确；
②，
由①得，
，
，
，
抛物线与x轴一定有两个交点，
故②正确；
③当时，
，
抛物线也过，
由得
方程，
方程的一个根为，
抛物线，
，
抛物线的对称轴为直线，
与轴的一个交点为，
，
解得：，
抛物线与轴的另一个交点为，
关于x的方程有两个根，，
故③正确；
④当，当时，，
故④错误；
故答案为：①②③．
三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
17. 已知：．

求作：，使其圆心在边上，且与都相切．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图－复杂作图．根据作一个角的平分线和过直线外一点作已知直线的垂线的作法作出图形即可．
【详解】解：作的角平分线交于O，过O作于H，以O为圆心，为半径作，则即为所求．
．
四、解答题：（本题满分68分，共9道小题）
18. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值以及熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
（1）根据特殊角的三角函数值计算即可；
（2）先通分，然后根据同分母的分式相加减的运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
19. 在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共个，它们除颜色外其余都相同．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）试估算口袋中白球有______个．
（2）现有另一个不透明的口袋中装有一红一白两个球，它们除颜色外其余都相同，一学生从两个口袋中各摸出一个球，请利用画树状图或列表的方法计算这两个球颜色相同的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）根据统计数据，摸到白球的频率接近，根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算白球的个数；
（）先利用画树状图法展示所有8种等可能的结果数，再找出两个球颜色相同所占结果数，然后根据概率公式求解；
本题考查了利用频率估计概率，列表法或树状图法求概率，解题的关键是正确理解频率和概率之间的关系．
【小问1详解】
根据统计数据，摸到白球的频率接近，根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，
设白球有个，
则，解得，
故答案为：；
【小问2详解】
将第一个口袋中个白球分别记为白1，白2，白3，画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中两个球颜色相同的情况有种．
∴两个球颜色相同的的概率为．
20. 近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示：根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）完成表格，在相应序号处填空：
（2）根据以上数据，若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．
【答案】（1）①6；②5；③4
（2）选“美团”网约公司，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了统计的有关知识．
（1）利用平均数、中位数、众数的定义分别计算后即可确定正确的答案；
（2）根据中位数及众数的大小进行选择即可．
【小问1详解】
解：①“美团”的平均数是：
（千元）；
故答案为：6；
②把“滴滴”的这些数从小到大排列，中位数是第5、第6个数的平均数，
“滴滴”的中位数是：（千元）；
故答案为：5；
③“滴滴”的众数为4（千元）；
故答案为：4；
【小问2详解】
解：选“美团”网约公司，理由如下：
两家公司月收入中位数，众数美团均大于滴滴，
因此选“美团”网约车公司．
21. 阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（）．如图（1），在中，，顶角的正对记作“”，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）如图（2），利用等腰直角三角形计算：______；
（2）如图（3），在等腰中，，若，求的值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，理解题中关于角的正对的定义是解题的关键．
（1）根据题中正对的定义即可解决问题．
（2）根据题中正对的定义即可解决问题．
【小问1详解】
解：由题知，
因为是等腰直角三角形，
所以．
则，
即．
故答案为：；
【小问2详解】
解：过点作的垂线，垂足为，
因为，，
则，
所以．
在中，
，
所以，
在中，
．
所以．
22. 一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯的高（灯杆底部不可到达）．如图，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：）

【答案】该景观灯的高约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，过点作，，垂足为，设，解得出，再证明字模型相似，从而利用相似三角形的性质可得最后根据，列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，

∵四边形是矩形，
∴，，
设，
在中，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
∴，
该景观灯的高约为．
23. 某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，销售一段时间调研发现，每天的销售数量(件)与销售单价(元/件)满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
（1）直接写出与的函数关系式；
（2）要使每天销售利润不低于1200元，应如何确定销售单价？
（3）在每天的销售量不低于60件的前提下，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）定价不低于元而不高于元时，每天销售利润不低于元
（3）当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润，元
【解析】
【分析】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用；
（1）设每天的销售数量件与销售单价元件之间的关系式为用待定系数法可得；
（2）根据题意得⋅，解方程可得销售单价应定为元或元，根据二次函数的性质即可求解；
（3）设每天获利元，，由二次函数性质可得当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润，元．
【小问1详解】
解：设每天的销售数量件与销售单价元件之间的关系式为
把，代入得：
，
解得，
；
【小问2详解】
设每天获利元，
即：，
解得：，，
由二次函数的性质和已知可得，，
定价不低于元而不高于元时，每天销售利润不低于元．
【小问3详解】
，
对称轴是直线，
又，
，
，
当时，随增大而增大，
时，取最大值，最大值是 元，
答：当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润，元．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）填空：①直线的表达式为______；
②当时，的取值范围是______；
（2）在轴上是否存在一点，使得最短？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线分别与直线交于两点，当时，求的值．
【答案】（1）①；②
（2）存在，
（3）或
【解析】
【分析】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，轴对称最短路径问题，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
（1）①先将点代入正比例函数解析式，求出的值，再将点和点坐标代入一次函数解析式求解即可；
②根据一次函数交点坐标即可得到结论；
（2）根据函数的解析式得到点的坐标为，如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则此时最短，，设直线的解析式为，待定系数法求得直线的解析式为，于是得到；
（3）先求出的面积，根据，分两种情况得关于的方程，即可求出的值．
【小问1详解】
解：①将点代入正比例函数，
得，
解得，
点坐标为，
将点，点代入一次函数，
得，
解得，
一次函数解析式为，
故答案为：；
②一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，
当时，的取值范围是；
故答案为：；
【小问2详解】
解：一次函数解析式为，
当时，，
点的坐标为，
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
则此时最短，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
；
【小问3详解】
解：，
，
当时，，两点的坐标分别为和，
，
，
解得或0（舍去），
当时，，两点的坐标分别为和，
，
，
解得或（舍去），
的值为0或．
25. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题：

（1）取何值时，平分；
（2）设的面积为，求与的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由．
【答案】（1）当时，平分；
（2）；
（3）存在，当时，与相切．
【解析】
【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握圆的性质和相似三角形的判定和性质是解题关键．
（1）由直径所对的圆周角是直角可得，运用勾股定理可得，再证得，可得，利用角平分线性质可得，建立方程求解即可得出答案；
（2）过点作于点，利用相似三角形性质可得，再运用面积法求得，再根据三角形面积即可求得答案；
（3）过点作于点，利用相似三角形性质和圆的性质即可求得答案．
【小问1详解】
解：由题意得：，，，，，
是的直径，
，
中，，
，，
，
，即，
，
，
当时，平分，
，
解得：，
当时，平分；
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，

，
，即，
，
，，
，即，
，
；
【小问3详解】
解：存在某一时刻，使与相切．理由如下：
如图，过点作于点，

由（1）（2）知：，，，，，，
，
，
，
与相切，
，
，
，
，
，即，
解得：，
当时，与相切．
附加题 （本题供学有余力的学生尝试解答，不作为考试内容）
26. 如图，直线与轴交于点，与轴分别交于点，二次函数的图象过两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）将抛物线沿轴向右平移个单位长度，当的值为多少时，平移后所得新抛物线与直线只有一个公共点？
（3）将抛物线沿轴向左平移个单位长度，所得新抛物线与原抛物线相交于点，当点在第二象限，求面积的最大值，并求此时的值．
【答案】（1）
（2）
（3）面积的最大值是，此时的值为
【解析】
【分析】（1）利用直线解析式求得、的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）联立平移后抛物线方程与直线方程，通过求解；
（3）作轴，交直线于，设，则，求得，由，得到，即可求得当时，的面积有最大值，此时，代入平移后的抛物线方程，即可求得的值．
【小问1详解】
解：直线与轴交于点，与轴分别交于点，
，，
二次函数的图象过，两点，
，
解得，
二次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：∵，
抛物线沿轴向右平移个单位长度的解析式为，
令，整理得，
由题意得，
解得．
【小问3详解】
解：作轴，交直线于，
设，则，
，
，
，
当时，的面积有最大值，
此时，
抛物线沿轴向左平移个单位长度的解析式为，
把代入得，，
解得或舍去，
此时的值为．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象于几何变换，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数平移的规律．队员
韩旭
金维娜
李梦
潘臻琦
王思雨
身高
207
180
182
190
175
摸球的次数
摸到白球的频率
平均月收入/千元
中位数/千元
众数/千元
“美团”
①
6
6
“滴滴”
6.1
②
③
销售单价(元/件)
每天销售数量(件)
队员
韩旭
金维娜
李梦
潘臻琦
王思雨
身高
207
180
182
190
175
摸球的次数
摸到白球的频率
平均月收入/千元
中位数/千元
众数/千元
“美团”
①
6
6
“滴滴”
6.1
②
③
销售单价(元/件)
每天销售数量(件)