山东省青岛市西海岸新区2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份山东省青岛市西海岸新区2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题（解析版），共35页。试卷主要包含了 如图，在中，，若，则的长为等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟；满分：120分）
友情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！
本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共有24道题．第Ⅰ卷1-8题为选择题，共24分；第Ⅱ卷9-16题为填空题，17题为作图题，18-24题为解答题，共96分．所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．
1. 两个完全相同的长方体小木块，如图放置于桌面上，其左视图是（ ）

A. B. C. D.
2. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A. 对角线互相垂直B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. 对角互补
3. 若点在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在中，，若，则的长为（ ）
A. 8B. 12C. D.
5. 如图，在菱形中，，．是边上的一点，，分别是，的中点，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，是的直径，，弦与延长线交于点交于，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，菱形中，，菱形在直线上向右作无滑动的翻滚每绕着一个顶点旋转叫一次操作，则经过27次这样的操作，菱形对角线交点所经过的路径总长为（ ）（结果保留）

A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：（本题满分24分，共8小题，每小题3分）
9. 当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊（Pearsn）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 _____．
10. 计算的结果为_________．
11. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示：
据此我们可以推知一元二次方程的根是_________．
12. 已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是_______．
13. 如图，过原点直线与双曲线交于两点，过点作轴，垂足为，连接，若，则的值是______．
14. 如图，一张扇形纸片OAB，，，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为__________．
15. 如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图①中：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；…，则第⑥个图中，看得见的小立方体有_____个．
16. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点、，连接与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的为______（填序号）

三．作图题（本题满分4分）
17 请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹
已知：如图，线段．点是直线外一点．
求作：矩形．使边直线上，．
四．解答题
18. （1）解方程：
（2）用配方法把二次函数化为的形式，并写出图象的对称轴和顶点坐标．
19. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，．
（1）求这个反比例函数表达式
（2）求的面积．
20. 如图，AF，AG分别是和的高，．
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长．
21. 2021年5月7日，“雪龙2”船返回上海国内基地码头，标志着中国第37次南极考察圆满完成．已知“雪龙2”船上午9时在B市的南偏东25°方向上的点A处，且在C岛的北偏东59°方向上，已知B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛232km．此时，“雪龙2”船沿着AC方向以24km/h的速度航行．请你计算“雪龙2”船大约几点钟到达C岛？(参考数据：sin31°≈，cs31°≈，tan31°≈，sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈)
22. 实验与操作：
小明是一位动手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为的正方体．
（1）如图所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为的正方形孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为 ；
（2）如果在第（1）题打孔后，再在正面中心位置（如图中的虚线所示）从前到后打一个边长为的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为 ；
（3）如果把（1）、（2）中的边长为的通孔均改为边长为的通孔，能否使橡皮泥块的表面积为？如果能，求出，如果不能，请说明理由．
23. 一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF．
（1）求证：AFCE；
（2）当∠BAC＝ 度时，四边形AECF是菱形？说明理由．
24. 如果一个三角形有两条互相垂直的中线，我们就把这样的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，是的中线，，垂足为，称这样的三角形为“中垂三角形”，设．
【特例探索】
①如图1，当时，______，______；
②如图2，当时，______，______．
【归纳证明】
请你观察（1）中的计算结果，用等式表示对三者之间关系的猜想，并利用图3证明三者之间的关系．
25. 小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元．
（1）求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？
（2）调研发现：盆景每增加1盆，盆景平均每盆利润减少2元；每减少1盆，每盆利润增加2元；花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后利润分别为，（单位：元）．
①求，关于x的函数关系式；
②当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？
26. 如图，在中，，点从点出发，沿折线以速度向点运动，同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点到达点时，点同时停止运动，当点不与重合时，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接．设运动时间为．
备用图
（1）当为何值时，？
（2）设的面积为，求与的函数关系式并写出的取值范围；
（3）当为何值时，为直角三角形？
2024山东省青岛市西海岸新区九年级期末考试
数学试题
（考试时间：120分钟；满分：120分）
友情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！
本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共有24道题．第Ⅰ卷1-8题为选择题，共24分；第Ⅱ卷9-16题为填空题，17题为作图题，18-24题为解答题，共96分．所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．
1. 两个完全相同的长方体小木块，如图放置于桌面上，其左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看，左边是一个小正方形，右边是一个矩形(无虚线)，
故选：B．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
2. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A. 对角线互相垂直B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. 对角互补
【答案】A
【解析】
【详解】解：菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线相等互相平分，
则菱形具有而矩形不一定具有的性质是：对角线互相垂直，
故选A．
3. 若点在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点在反比例函数的图象上，可以求得的值，从而可以比较出的大小关系．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
4. 如图，在中，，若，则的长为（ ）
A. 8B. 12C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC.
【详解】解：∵sinB==0.5，
∴AB=2AC，
∵AC=6，
∴AB=12，
∴BC==，
故选C.
【点睛】本题考查了正弦的定义，以及勾股定理，解题的关键是先求出AB的长.
5. 如图，在菱形中，，．是边上的一点，，分别是，的中点，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图连接BD．首先证明△ADB是等边三角形，可得BD=8，再根据三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】如图连接BD.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=8，
∵
∴△ABD是等边三角形，
∴BA=AD=8，
∵PE=ED，PF=FB，
∴
故选:C.
【点睛】考查菱形的性质以及三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.
6. 如图，是的直径，，弦与延长线交于点交于，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查圆的性质、等边三角形的判定与性质及三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握圆的相关知识和三角形外角定理．根据直径所对圆周角为90度，圆的相关性质在得到，再证明是等边三角形，等弧所对圆周角相等得到，利用三角形外角的性质即可得出结果．
【详解】解：如图，连接，
，
，
是的直径，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，点D为的中点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故选：B．
7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点，判断出、、的正负，然后根据、、的正负去判断一次函数和二次函数在坐标系中的位置即可．
【详解】解：由图可知，
，，
∴
即
∵二次函数与轴有两个不同的交点
∴
∴一次函数经过一、二、三象限
当时，
∴
∴反比例函数经过一、三象限
故选：A．
【点睛】本题综合考查了一次函数、二次函数、反比例函数的图象与系数的关系．根据二次函数图象求出、、的正负是解决本题的关键．
8. 如图，菱形中，，菱形在直线上向右作无滑动翻滚每绕着一个顶点旋转叫一次操作，则经过27次这样的操作，菱形对角线交点所经过的路径总长为（ ）（结果保留）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查求弧长，本题的难点就在于求这几段弧的圆心角和半径．中心O所经过的路径总长是几段弧长，根据弧长公式即可得．但本题的难点就在于求这几段弧的圆心角和半径．从图中可以看出，第一次旋转是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是，解直角三角形可求出的长，圆心角是60度．第二次还是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是，圆心角是60度．第三次就是以点B为旋转中心，为半径，旋转的圆心角为60度．旋转到此菱形就又回到了原图．故这样旋转27次，就是这样的9个弧长的总长．依此计算即可得．
【详解】解：第一、二次旋转的弧长和，
第三次旋转的弧长，周期为3，
∵，
∴菱形中心所经过的路径总长
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：（本题满分24分，共8小题，每小题3分）
9. 当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊（Pearsn）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 _____．
【答案】0.5##
【解析】
【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可．
【详解】解：当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在0.5左右，
∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5．
故答案为：0.5．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率是解答本题的关键．
10. 计算的结果为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
11. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示：
据此我们可以推知一元二次方程的根是_________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据表格中的数据得出抛物线的对称轴为直线，根据对称性得出关于直线的对称点为，从而得出一元二次方程的根．
【详解】解：∵时，，时，，
∴与是抛物线上关于对称轴对称的两个点，
∴抛物线的对称轴为：直线，
∵关于直线的对称点为，
∴一元二次方程的根是或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的性质，解题的关键是根据表格中数据得出抛物线的对称轴为：直线．
12. 已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是_______．
【答案】且
【解析】
【分析】关于x的一元二次方程有两个实数根，即判别式△＝b2−4ac≥0，m-1≠0，2-m≥0，即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】此题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
13. 如图，过原点的直线与双曲线交于两点，过点作轴，垂足为，连接，若，则的值是______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查反比例函数中“k”的几何意义，设，则，根据，得到，再根据反比例函数的图象位于第一、三象限，即可得到k的值．
【详解】解：设，
∵过点O的直线与双曲线交于A、B两点，
∴，
∴， ，
∴，
∴， ，则．
又∵反比例函数图象位于第一、三象限，
∴，
∴．
故答案为：5．
14. 如图，一张扇形纸片OAB，，，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据阴影部分的面积等于S扇形OBD面积减去S弓形OD面积计算即可．
【详解】解：由折叠可知，
S弓形AD＝S弓形OD，DA＝DO，
∵OA＝OD，
∴AD＝OD＝OA，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，∠DOB＝60°，
∵AD＝OD＝OA＝6，
∴CD＝33，
∴S弓形AD＝S扇形ADO﹣S△ADO6×36π﹣93，
∴S弓形OD＝6π﹣93，
阴影部分的面积＝S扇形BDO﹣S弓形OD（6π﹣9，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积与等边三角形的性质，熟练运用扇形公式是解题的关键．
15. 如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图①中：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；…，则第⑥个图中，看得见的小立方体有_____个．
【答案】91
【解析】
【详解】解：n=1时，共有小立方体的个数为1，看不见的小立方体的个数为0个，看得见的小立方体的个数为1﹣0=1；
n=2时，共有小立方体的个数为2×2×2=8，看不见的小立方体的个数为（2﹣1）×（2﹣1）×（2﹣1）=1个，看得见的小立方体的个数为8﹣1=7；
n=3时，共有小立方体的个数为3×3×3=27，看不见的小立方体的个数为（3﹣1）×（3﹣1）×（3﹣1）=8个，看得见的小立方体的个数为27﹣8=19；
…
n=6时，共有小立方体的个数为6×6×6=216，看不见的小立方体的个数为（6﹣1）×（6﹣1）×（6﹣1）=125个，看得见的小立方体的个数为216﹣125=91．
故答案为91．
点睛：解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
16. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点、，连接与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的为______（填序号）

【答案】①②③④
【解析】
【分析】由是等边三角形，得，而，故①正确；由，，可判定②正确；由，得，由与同高，可知，则判定③正确，由，得，则，可判定④正确．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
又∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
又∵与同高，
∴，
又∵，，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，故④正确，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三．作图题（本题满分4分）
17. 请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹
已知：如图，线段．点是直线外一点．
求作：矩形．使边在直线上，．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查垂直平分线的作法及矩形的判定，理解题意，掌握基本的作图方法是解题关键．根据垂直平分线的作法及矩形的判定作图即可．
【详解】解：①以点A为圆心，线段a为半径画弧交直线m于点C和，即；
②作线段的垂直平分线交于点B；
③分别以点C和为圆心，长为半径向上画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，分别交于点D和，；
④连接，；
如图所示：矩形即为所求．
四．解答题
18. （1）解方程：
（2）用配方法把二次函数化为的形式，并写出图象的对称轴和顶点坐标．
【答案】（1），；（2）对称轴为，顶点坐标是
【解析】
【分析】（1）用因式分解法求得方程的解即可；
（2）利用配方法即可把二次函数的一般式化成顶点式．
【详解】解：（1）原方程因式分解为，
即：或，
解得：，；
（2），
该二次函数图象的对称轴为，顶点坐标是．
【点睛】本题主要考查把二次函数的一般式化成顶点式及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握配方法的应用以及掌握二次函数的性质．
19. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，．
（1）求这个反比例函数的表达式
（2）求的面积．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据一次函数求出点坐标，在代入反比例函数即可得到答案；
（2）联立两个函数，求出交点坐标，再求出一次函数与y轴的交点，即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可得，
，解得： ，
代入反比例函数得，
，解得，
∴ ；
【小问2详解】
解：由题意得，
当 时，，即
联立两个函数可得，
，解得： 或，
∴ ，，
∴ ．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数及一次函数反比例函数图像共存交点围成图形面积问题，解题关键是联立两函数求出交点将三角形转换成底边在x轴y轴上的三角形．
20. 如图，AF，AG分别是和的高，．
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由直角三角形的性质得出，可证明；
（2）由相似三角形的性质可得到答案．
【详解】（1），分别是和的高，
，，
，，
，
，
，
；
（2），
，
，，
，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理和性质是解题的关键．
21. 2021年5月7日，“雪龙2”船返回上海国内基地码头，标志着中国第37次南极考察圆满完成．已知“雪龙2”船上午9时在B市的南偏东25°方向上的点A处，且在C岛的北偏东59°方向上，已知B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛232km．此时，“雪龙2”船沿着AC方向以24km/h的速度航行．请你计算“雪龙2”船大约几点钟到达C岛？(参考数据：sin31°≈，cs31°≈，tan31°≈，sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈)
【答案】“雪龙2”船大约17点钟到达C岛．
【解析】
【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用正切的定义表示出BD、CD，列出方程，解方程即可．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，
由题意知，∠ABC=28°+25°=53°，∠ACB=59°-28°=31°，BC=232km，
设AD=x，
在Rt△ABD中，∵∠ABD=53°，
∴BD==≈x，
在Rt△ACD中，∵∠ACD=31°，
∴CD==≈x，
∵BD+CD=BC，
∴x+x=232，
解得：x=96，
∴AD=96(km)，
∴AC=2AD=192(km)，
∴192÷24=8(h)，
∴9+8=17，
答：“雪龙2”船大约17点钟到达C岛．
【点睛】本题考查是解直角三角形的应用--方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
22. 实验与操作：
小明是一位动手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为的正方体．
（1）如图所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为的正方形孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为 ；
（2）如果在第（1）题打孔后，再在正面中心位置（如图中的虚线所示）从前到后打一个边长为的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为 ；
（3）如果把（1）、（2）中的边长为的通孔均改为边长为的通孔，能否使橡皮泥块的表面积为？如果能，求出，如果不能，请说明理由．
【答案】（1）110 （2）118
（3）当边长改为时，表面积为
【解析】
【分析】（1）打孔后的表面积=原正方体的表面积﹣小正方形孔的面积+孔中的四个矩形的面积．
（2）打孔后的表面积=图①中的表面积﹣2个小正方形孔的面积+新打的孔中的八个小矩形的面积．
（3）根据（1）（2）中的面积计算方法，用a表示出图①和图②的面积．然后让用得出的图②的表面积=118计算出a的值．
【小问1详解】
解：表面积S1=4×4×6﹣2×+4×1×4=110（cm2）．
故答案为110；
【小问2详解】
解：表面积S2=110﹣4+4×1.5×2=118（cm2）．
故答案为118；
【小问3详解】
解：能使橡皮泥块的表面积为118cm2，理由为：
∵S1=96﹣2a2+4a×4，S2=S1﹣4a2+4×4a﹣4a2
∴96﹣2a2+16a﹣8a2+16a=118，
96﹣10a2+32a=118，
5a2﹣16a+11=0，
∴a1=，a2=1，
∵a≠1，＜4，
∴当边长改为cm时，表面积为118cm2．
【点睛】对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积﹣截去的面积．
23. 一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF．
（1）求证：AFCE；
（2）当∠BAC＝ 度时，四边形AECF是菱形？说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）30，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）证出∠HAF＝∠MCE，即可得出AFCE；
（2）证出四边形AECF是平行四边形，再证出AF＝CF，即可得出四边形AECF是菱形．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴ADBC，
∴∠DAC＝∠BCA，
由翻折知，∠DAF＝∠HAF＝∠DAC，∠BCE＝∠MCE＝∠BCA，
∴∠HAF＝∠MCE，
∴AFCE；
（2）解：当∠BAC＝30°时四边形AECF为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAD＝90°，ABCD，
由（1）得：AFCE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝60°．
∴∠ACD＝30°，
由折叠的性质得∠DAF＝∠HAF＝30°，
∴∠HAF＝∠ACD，
∴AF＝CF，
∴四边形AECF是菱形；
故答案为：30．
【点睛】本题考查矩形的性质、平行线的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
24. 如果一个三角形有两条互相垂直的中线，我们就把这样的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，是的中线，，垂足为，称这样的三角形为“中垂三角形”，设．
【特例探索】
①如图1，当时，______，______；
②如图2，当时，______，______．
【归纳证明】
请你观察（1）中的计算结果，用等式表示对三者之间关系的猜想，并利用图3证明三者之间的关系．
【答案】（1），，，；（2），理由见解答．
【解析】
【分析】（1）如图1，由，，得到，根据相似三角形的判定与性质列比例式可得，长，由勾股定理计算和的长，最后由中线的定义可得和的长即可；如图2，同理根据含角的直角三角形的性质可得结论；
（2）设，，由得到，，再由勾股定理可得结论即可．
【详解】解：特例探索：①如图1．连接，
，是的中线，
，
，
当，时，，
，是的中线，
，
∴，又，
，
，
由勾股定理得：，
，
，；
②如图2，连接，

当，时，
在中，，，
，，
，
∴，
，
，，
由勾股定理得：，
，
，；
故答案：①，；②，；
归纳证明：猜想：，理由如下：
如图3，连接，

，是的中线，
是的中位线，
，且，
，
设，，
，，
在中，，
在中，，
在中，，
．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，三角形中线，三角形中位线，含30角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，根据条件表示相关的线段是解本题的关键．
25. 小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元．
（1）求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？
（2）调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，每盆利润增加2元；花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后利润分别为，（单位：元）．
①求，关于x的函数关系式；
②当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？
【答案】（1）140元，20元
（2）①；
②5，8050
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数与二次函数的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）设1盆盆景和1盆花卉的利润分别为x元和y元，由题意得二元一次方程组，求解即可；
（2）①由（1）知1盆盆景的利润为140元，为盆景增加x盆后每盆的利润，第二期有盆景盆，两者相乘即为，由（1）知1盆花卉的利润为20元，第二期花卉有盆，两者相乘即为；
②由得出关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设1盆盆景和1盆花卉利润分别为x元和y元，由题意得：
，
解得：，
答：1盆盆景的利润为140元，1盆花卉的利润为20元；
【小问2详解】
解：由题意可知，第二期有盆景盆．
由题意得：
①；
；
②
，
∵，抛物线开口向下，
∴当时，W取得最大值，，
∴当时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大．
26. 如图，在中，，点从点出发，沿折线以速度向点运动，同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点到达点时，点同时停止运动，当点不与重合时，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接．设运动时间为．
备用图
（1）当为何值时，？
（2）设的面积为，求与的函数关系式并写出的取值范围；
（3）当为何值时，为直角三角形？
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）当时，得，则，代入计算即可；
（2）根据点，点关于直线的对称，得到，证明，由三角形相似得到的长，再求出的代数式，根据代入化简即可；
（3）分点M在上或点M在上，由轴对称性知，是等腰三角形，从而点D为直角顶点，利用三角函数表示出和的长，进而解决问题．
【小问1详解】
解：在中，由勾股定理得，，
当时，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴时，；
【小问2详解】
解：点，点关于直线的对称，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：∵点N是点M关于直线的对称点，
∴，
∴为等腰三角形，
∴当为直角三角形时，，
∴，
∵，
∴此时为等腰直角三角形，
即，
①如图，当M在上运动时，此时，
∵，
∴，
，
∴，
，
，
∵，
∴，
∴，符合题意，
②如图，当M在上运动时，此时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，符合题意，
综上所述，当 或 时，为直角三角形．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练利用相似三角形的性质表示线段的长是解题的关键．x
…
0
1
…
y
…
0
4
6
6
…
x
…
0
1
…
y
…
0
4
6
6
…