湖南省郴州市2025届高三下学期综合性模拟考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 马拉松爱好者小丽月份每个月的跑步里程（单位：公里）如下表所示，则小丽7月份每个月的跑步里程的分位数为（ ）
2. 已知集合，则（ ）
3. 曲线在点处的切线方程为（ ）
4. 定义：，其中为向量的夹角.若，则（ ）
5. 给定一个数列，记，则把数列称为的一阶差数列.若数列的一阶差数列的通项公式为，则（ ）
6. 已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点.若，则圆的标准方程为（ ）
7. 已知，则（ ）
8. 已知函数与其导函数的部分图象如图所示.设函数，则（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
10. 已知某平面图形由如图所示的四个全等的等腰拼成，其中线段的中点均为点，且.若将该平面图形绕着直线旋转半周围成的几何体记为，将该平面图形绕着直线旋转半周围成的几何体记为，直线直线，则（ ）

11. 设正实数满足，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知复数是关于的方程的一个根，则__________.
13. 如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1､区域2､区域3､区域4､区域5､区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有__________种不同的涂色方案．
14. 双曲线的左､右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线的实半轴长为__________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，求的长.
16. 某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时.
(1)根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？
单位：人
(2)正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率.
参考公式与数据：，其中.
17. 已知椭圆过点为椭圆的左顶点，为坐标原点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设为椭圆上的点，线段交轴于点，线段交轴于点，且，求.
18. 已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求在上的最小值；
(3)当时，讨论的零点个数.
19. 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中均为常数，），为该平面的一个法向量.已知球的半径为4，点均在球的球面上，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.平面内的点在球面上，点在轴上的投影在轴的正半轴上，，过直线作球的截面，使得平面平面，设截面与球球面的交线为圆（为线段的中点）.
(1)求点的坐标.
(2)若平面，证明：平面平面.
(3)已知点在平面内，设线段在平面内绕着点逆时针旋转弧度至，点在圆上，且，过作平面，垂足为点.
①用表示点的坐标；
②若，求点到平面距离的最大值；
③若，当直线与平面所成的角最小时，求的值.
湖南省郴州市2025届高三下学期综合性模拟考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：计数原理与概率统计、集合与常用逻辑用语、三角函数与解三角形、函数与导数、平面向量、数列、平面解析几何、空间向量与立体几何、等式与不等式、复数
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
月份
7月
8月
9月
10月
11月
12月
跑步里程
310
254
220
210
248
300
A．210公里
B．251公里
C．254公里
D．248公里
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．8
B．16
C．
D．
A．556
B．557
C．292
D．291
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．在上单调递减
D．在处取得极大值
A．是奇函数
B．是增函数
C．不等式的解集为
D．若函数恰有两个零点，则的取值范围为
A．的体积为
B．的表面积为
C．经过两次旋转后，点所有的运动轨迹总长为
D．经过两次旋转后，点所有的运动轨迹为两个半圆
A．
B．
C．
D．
每周的锻炼时间
短跑成绩
合计
短跑成绩合格
短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过5小时
每周的锻炼时间不超过5小时
合计
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
7
适中
7
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
总体百分位数的估计
2
0.94
交集的概念及运算；求含sinx(型)函数的值域和最值
3
0.94
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
4
0.85
用定义求向量的数量积；三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系
5
0.65
累加法求数列通项；由递推关系式求通项公式；分组（并项）法求和
6
0.65
由圆心（或半径）求圆的方程；抛物线定义的理解；由直线与圆的位置关系求参数；抛物线的焦半径公式
7
0.65
用和、差角的余弦公式化简、求值；用和、差角的正弦公式化简、求值
8
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；函数极值点的辨析；比较函数值的大小关系
二、多选题
9
0.85
函数图象的应用；根据函数零点的个数求参数范围；函数奇偶性的定义与判断；根据解析式直接判断函数的单调性
10
0.65
求旋转体的体积
11
0.15
作差法比较代数式的大小；条件等式求最值；基本不等式求积的最大值；基本不等式求和的最小值
三、填空题
12
0.85
求复数的模；复数范围内方程的根
13
0.85
涂色问题；实际问题中的组合计数问题
14
0.65
正弦定理解三角形；利用定义解决双曲线中焦点三角形问题；双曲线定义的理解
四、解答题
15
0.85
余弦定理解三角形；逆用和、差角的正弦公式化简、求值；正弦定理解三角形；向量的线性运算的几何应用
16
0.85
独立性检验解决实际问题；利用全概率公式求概率；完善列联表；卡方的计算
17
0.4
根据椭圆过的点求标准方程；椭圆中存在定点满足某条件问题；根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围
18
0.65
由导数求函数的最值（不含参）；利用导数研究函数的零点；利用导数求函数的单调区间（不含参）
19
0.4
线面角的向量求法；点到平面距离的向量求法；空间中点的位置及坐标特征；空间位置关系的向量证明
序号
知识点
对应题号
1
计数原理与概率统计
1,13,16
2
集合与常用逻辑用语
2
3
三角函数与解三角形
2,4,7,14,15
4
函数与导数
3,8,9,18
5
平面向量
4,15
6
数列
5
7
平面解析几何
6,14,17
8
空间向量与立体几何
10,19
9
等式与不等式
11
10
复数
12