湖南省郴州市2025届高三下学期综合性模拟考试数学试卷（含答案）

这是一份湖南省郴州市2025届高三下学期综合性模拟考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.马拉松爱好者小丽7∼12月份每个月的跑步里程(单位：公里)如下表所示，则小丽7∼12月份每个月的跑步里程的60%分位数为( )
A. 210公里B. 251公里C. 254公里D. 248公里
2.已知集合A={x∈N|x0)的焦点为F，H(m,4)(m>p2)是抛物线C上一点，以点H为圆心的圆与直线x=p2相切于点T.若sin∠HFT=35，则圆H的标准方程为( )
A. (x−4)2+(y−4)2=9B. (x−4)2+(y−4)2=16
C. (x−2)2+(y−4)2=4D. (x−3)2+(y−4)2=9
7.已知α+β=5π6，sin2α+sin2β=23，则cs2α+cs2β=( )
A. ±2 33B. 23C. −2 33D. 2 33
8.已知函数f(x)与其导函数f′(x)的部分图象如图所示.设函数g(x)=f(x)ex，则( )
A. f(0)f(0)
C. g(x)在(1,2)上单调递减D. g(x)在x=1处取得极大值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=ex,x⩽0,lnx,x>0,则下列结论正确的是( )
A. f(x)是奇函数
B. f(x)是增函数
C. 不等式f(x)>0的解集为(−∞,0]∪(1，+∞)
D. 若函数y=f(x)−a恰有两个零点，则a的取值范围为(0,1]
10.已知某平面图形由如图所示的四个全等的等腰△ABO，△CBO，△FEO，△DEO拼成，其中线段AD，CF，BE的中点均为点O，且AO= 3BO=2 3.若将该平面图形绕着直线a旋转半周围成的几何体记为Ω1，将该平面图形绕着直线b旋转半周围成的几何体记为Ω2，直线a⊥直线b，则( )
A. Ω1的体积为20 33π
B. Ω2的表面积为(12−4 3)π
C. 经过两次旋转后，点A所有的运动轨迹总长为4π
D. 经过两次旋转后，点A所有的运动轨迹为两个半圆
11.设正实数x，y满足8(x+y)=x3y+xy3，则( )
A. x+y≥4B. x2y2≥16C. x32+y32≥4 2D. xy(x+y)≤16
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z是关于x的方程x2−4x+5=0的一个根，则|z|= ．
13.如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1、区域2、区域3、区域4、区域5、区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有 种不同的涂色方案．
14.双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C右支上一点，且直线PF2的斜率为 2，△PF1F2是面积为2 2的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsB+bcsA=5ccsB.
(1)求csB的值;
(2)若a=5，b=7，BD=15BC，AE=15EB，求DE的长．
16.(本小题15分)
某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时．
(1)根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值α=0.005的χ2独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关?
单位：人
(2)正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为56，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为34.用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生(记为甲)进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率．
参考公式与数据：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
17.(本小题15分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(0,−2)，B(32, 3)，P为椭圆C的左顶点，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设M(m,n)(m>0,n>0)为椭圆C上的点，线段MP交y轴于点N，线段MA交x轴于点T，且|MP||MA|=6|MN||MT|，求|OM|．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=e(t1x−1)lnt+ex(1+lnx)．
(1)当t=1时，求f(x)的单调区间;
(2)当t=e时，求f(x)在(0,1]上的最小值;
(3)当t≥1时，讨论f(x)的零点个数．
19.(本小题17分)
在空间直角坐标系Oxyz中，任何一个平面的方程都能表示成ax+by+cz+d=0(其中a，b，c，d均为常数，a2+b2+c2≠0)，n=(a,b,c)为该平面的一个法向量.已知球O的半径为4，点A，B，C均在球O的球面上，以OA，OB，OC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示.平面OBC内的点E在球面上，点E在y轴上的投影在y轴的正半轴上，CE=4，过直线CE作球O的截面α，使得平面α⊥平面OBC，设截面α与球O球面的交线为圆M(M为线段CE的中点)．
(1)求点E的坐标．
(2)若平面β:2x+ 3y−z=1，证明：平面α⊥平面β．
(3)已知点B在平面γ:λx+μy+tz=4内，设线段ME在平面α内绕着点M逆时针旋转θ弧度至MH，点H在圆M上，且θ∈[0,2π)，过H作HP⊥平面AOB，垂足为点P．
①用θ表示点H的坐标;
②若 3λ=−t= 3，求点H到平面γ距离的最大值;
③若λ=0，t=−194，G(0, 3−1,4)，当直线GP与平面γ所成的角最小时，求csθ的值．
参考答案
1.C
2.B
3.B
4.B
5.C
6.A
7.C
8.B
9.CD
10.AD
11.ACD
12. 5
13.96
14. 2−1
15.解：(1)根据正弦定理可得sinAcsB+sinBcsA=5sinCcsB，
得sin(A+B)=5sinCcsB.
因为A+B=π−C，所以sin(A+B)=sinC，则sinC=5sinCcsB，
因为07.879=x0.05，
根据小概率值α=0.005的χ2独立性检验，可以推断H0不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关．
(2)设事件A=“学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”，事件B1=“学生甲每周的锻炼时间超过5小时，短跑成绩不合格”，B2=“学生甲每周的锻炼时间不超过5小时，短跑成绩不合格”，
则P(B1)=1040=14，P(B2)=3040=34，P(A|B1)=56，P(A|B2)=34，
所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=14×56+34×34=3748，所以从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生(记为甲)进行跑步技巧培训后，学生甲短跑成绩合格的概率为3748．
17.解：(1)由题意得b=2．
将点B(32, 3)及b=2代入椭圆C的方程得94a2+34=1，解得a=3，
所以椭圆C的标准方程为x29+y24=1．
(2)由相似三角形可得|MP||MA||MN||MT|=m+3m⋅n+2n=6，所以m=3(n+2)5n−2．
因为m29+n24=1，所以(n+25n−2)2+n24=1，即25n3−20n2−92n+96=0，
即25n3−40n2+20n2−32n−60n+96=0，所以5n2(5n−8)+4n(5n−8)−12(5n−8)
= (5n2+4n−12) (5n−8) =(n+2) (5n−6)(5n−8)=0，解得n=65或85．
当n=65时，m=125，|OM|= 3625+14425=6 55;
当n=85时，m=95，|OM|= 6425+8125= 1455．
故|OM|=6 55或 1455
18.解：(1)当t=1时，f(x)=ex(1+lnx)，定义域为(0,+∞)，
则f′(x)=e(1+lnx)+ex⋅1x=e(2+lnx)，f′(1e2)=0，
当00，所以f′(x)在(0,1]上单调递增，
所以当x∈(0,1]时，f′(x)≤f′(1)=(−e+2)e0，则klnt=lnk−1，即lnt=lnk−1k ①，
当t≥1时，由k(x)=1xt1x，得k′(x)=−1x2t1x−1x3t1xlnt0．
因为t≥1，所以lnt≥0.
当0