2024-2025学年湖南省郴州市高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省郴州市高二（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={x|lg3x>1}，B={x|x2−160,b>0)的一条渐近线为y=x，且右焦点F到这条渐近线的距离为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方.设S1、S2分别为△AOC的面积和△BOD的面积，求S1+S2的最大值．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.D
5.C
6.A
7.B
8.A
9.BC
10.BCD
11.ACD
12.60
13.32 23
14.(53e3,1e)
15.(1)由题意知Sn=2an−n，当n=1时，S1=2a1−1，所以S1=a1=1，
当n≥2时，Sn−1=2an−1−n+1，所以an=2an−1+1，则an+1=2(an−1+1)，
又a1+1=2≠0，所以数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an+1=2×2n−1，整理得an=2n−1；
(2)由(1)知，an=2n−1，所以bn=n+1a1+an=n+12n．
Tn=b1+b2+b3+...+bn=221+322+423+...+n+12n，①
12Tn=222+323+424+...+n+12n+1，②
由①−②得：12Tn=1+(122+123+124+...+12n)−n+12n+1
=1+14(1−12n−1)1−12−n+12n+1=32−3+n2n+1．
解得Tn=3−n+32n．
16.(1)证明：∵PE⊥平面ABCDE，CD⊂平面ABCDE，
∴CD⊥PE，
又∠EDC=90°，∴CD⊥DE，
又DE∩PE=E，DE，PE⊂平面PDE，
∴CD⊥平面PDE，
又∵EF⊂平面PDE，∴EF⊥CD，
又点F为棱PD的中点，且ED=EP，∴EF⊥PD，
又CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD，
∴EF⊥平面PCD，PC⊂平面PCD，
∴EF⊥PC．
(2)∵∠AEB=∠BEC=30°，
又Rt△EDC中，ED= 3，EC=2，
则∠DEC=30°，∴∠AED=90°，
又PE⊥平面ABCDE，
∴以E为坐标原点，EA，ED，EP所在直线为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系E−xyz，
由题知E(0,0,0)，P(0,0, 3)，A( 3,0,0)，F(0, 32, 32)，B( 3,1,0)，
∴PA=( 3,0,− 3)，AB=(0,1,0)，
由(1)知平面PCD的一个法向量为EF=(0, 32, 32)，
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅PA=0n⋅AB=0，∴ 3x− 3z=0y=0，
可取n=(1,0,1)，
设平面PAB与平面PCD所成角为θ，
∴csθ=|cs|=|EF⋅n||EF|⋅|n|= 32 62⋅ 2=12，
又θ∈[0,π2]，∴θ=π3，
所以平面PAB与平面PCD所成角为π3．
17.(1)记击中目标的次数为X，则X∼B(10,0.8)，
则P(X=k)=C10k⋅0．8k⋅0．210−k，其中k=0，1，2，…，10
所以小张恰好有8次击中目标的概率为P(X=8)=C108⋅0．88⋅0．22≈0.30．
(2)至少有8次击中目标的概率为P(X≥8)=C108⋅0．88⋅0．22+C109⋅0．89⋅0.2+C1010⋅0．810≈0.68．
(3)设击中k次概率最大，则
P(X=k)≥P(X=k−1)P(X=k)≥P(X=k+1)，
即C10k⋅0．8k⋅0．210−k≥C10k−1⋅0．8k−1⋅0．211−kC10k⋅0．8k⋅0．210−k≥C10k+1⋅0．8k+1⋅0．29−k，
化简得0.8k≥0.211−k0.210−k≥0.8k+1，解得395≤k≤445，
因为k∈N∗，属于k=8，
则小张在10次射击中，最有可能击中目标8次．
18.(1)当a=1时，f(x)=ex−1，
求导得f′(x)=ex，所以f′(0)=1，又f(0)=0，
所以f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x．
(2)当a=1时，ℎ(x)=ex−ln(x+1)−1，所以ℎ′(x)=ex−1x+1=xex+ex−1x+1，
令g(x)=xex+ex−1，求导得g′(x)=ex+xex+ex=ex(x+2)，
因为x>−1，所以g(x)在(−1,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(−1)=−1．
因为ℎ′(0)=0，所以当−11时，ℎ(x)无零点：
先证ex≥x+1：
记u(x)=ex−x−1，则u′(x)=ex−1，
当x∈(−∞,0)时，u′(x)0，
所以u(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
所以u(x)≥u(0)=0，即ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立，
再证lnx≤x−1：
由ex≥x+1，得elnx≥lnx+1，即x≥lnx+1，
所以lnx≤x−1，当且仅当lnx=0，即x=1时等号成立，
所以ℎ(x)=aex−ln(x+1)−1>ex−ln(x+1)−1−x+1=0，
因此当a>1时，ℎ(x)没有零点．
综上所述，a=1时，ℎ(x)有1个零点；当a>1时，ℎ(x)没有零点．
19.(1)设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c，
点F(c,0)到渐近线bx−ay=0的距离为bc a2+b2= 2，
因为a2+b2=c2，
所以b= 2，
因为双曲线的一条渐近线为y=x，
所以a=b= 2，
则双曲线的方程为x22−y22=1；
(2)设直线l的方程为x=ty+2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=ty+2x2−y2=2，消去x并整理得(t2−1)y2+4ty+2=0，
此时t2−1≠0Δ1=16t2−8(t2−1)=8t2+8>0y1+y2=−4tt2−1，
因为直线与双曲线右支交于两点，
所以y1y2=2t2−1