2026届高三数学一轮复习讲义（标准版）第三章进阶篇不等式证明方法进阶1指对放缩（Word版附答案）

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切线放缩证明不等式是一种常用的方法，它可以解决许多数学问题，常见的有指对切线放缩，使用切线放缩可以深入理解数学的本质.
题型一 指对切线放缩
常见的指对切线放缩
例1 证明不等式：ex-ln(x+2)>0.
思维升华 指对同时出现时，一般求导难以解决，常见的方法有隐零点、同构、放缩等.
跟踪训练1 当x>0时，证明：ex2-xln x2成立.
答案精析
例1 证明 要证ex-ln(x+2)>0，
即证ex>ln(x+2)，
又ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立，
令t=x+2，则ln(x+2)=ln t≤t-1=x+1，
即ln(x+2)≤x+1，当且仅当x=-1时等号成立，
故ex≥x+1≥ln(x+2)，等号成立的条件不一致，则ex>ln(x+2)，结论得证.
跟踪训练1 证明 要证当x>0时，ex2-xln x2成立，
即证x2-x+ex>2成立，
即证x2-2x+1+x+ex-1>2成立，
即证(x-1)2+x+ex>3成立，
由基本不等式得x+ex≥2e，当且仅当x=e时等号成立，
而2e>3，(x-1)2≥0，故原不等式成立，
结论得证.