2026届高三数学一轮复习讲义（标准版）第三章进阶篇不等式恒（能）成立问题进阶2参数半分离与主元变换（Word版附答案）

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例1 若不等式aln x-x+1≤0恒成立，求实数a的取值范围.
思维升华 在半分离时，要调节参数a与x的位置，使f(x)与g(x)的作图更方便，一般分为一条动直线与一条曲线.
跟踪训练1 设函数f(x)=2lnx，x>0，-x2-2x，x≤0，若不等式f(x)≤ax+2对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围为 .
题型二 主元变换
例2 已知不等式ln x-12x2+bx+c≤0对任意的x∈(0，+∞)，b∈0，32恒成立，求c的取值范围.
思维升华 一些导数大题经常会含有多个变量，主要解题思路是以x为主元进行求解，但有时解题过程较为复杂，此时，有的题目就可以以其他变量为主元进行求解.
跟踪训练2 已知函数f(x)=2ax+bx-1-2ln x，对任意a∈[1，3]和任意x∈(0，+∞)，f(x)≥2bx-3恒成立，求实数b的取值范围.
答案精析
例1 解 ∵不等式aln x-x+1≤0恒成立，
∴aln x≤x-1恒成立，x>0，
当a≤0时，显然不恒成立，
当a>0时，原不等式等价于ln x≤1a(x-1)恒成立，
由于y=ln x在x=1处的切线方程为y=x-1，
∴要使ln x≤1a(x-1)恒成立，
只需1a=1，即a=1，
∴a的取值范围为{1}.
跟踪训练1 2e2，-2+22
解析 作出函数f(x)的图象，如图，
直线y=ax+2恒过定点(0，2)，由图可知a>0，
当直线y=ax+2与y=-x2-2x相切时，
联立y=ax+2，y=-x2-2x可得x2+(a+2)x+2=0，
令Δ=(a+2)2-8=0，
解得a=-2+22或a=-2-22(舍去)；
当直线y=ax+2与曲线y=2ln x相切时，
设切点P(x0，2ln x0)，
则曲线在点P处的切线方程为y-2ln x0=2x0(x-x0)，
又切线过点(0，2)，
解得x0=e2，此时a=2x0=2e2，所以a的取值范围为2e2，-2+22.
例2 解 令f(b)=x·b+ln x-12x2+c，b∈0，32，
由于x>0，所以函数f(b)在0，32上单调递增，
所以f(b)0，
所以h(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，+∞)上单调递增，
所以h(x)min=h(e2)=2-2e2，
所以b≤2-2e2，
故b的取值范围为-∞，2-2e2.