【九上BS数学】宿城第一初级中学2024-2025学年度第一学期九年级数学第一次月考数学试卷

这是一份【九上BS数学】宿城第一初级中学2024-2025学年度第一学期九年级数学第一次月考数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0B．x2=0
C．x+1x=0D．x−12+1=x2
2．下面结论中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
3.关于x的一元二次方程x2+bx−10=0的一个根为2，则b的值为（ ）
A．−3B．2C．3D．7
4．如图，菱形对角线AC与BD交于点，AC=16，BD=12，则菱形的面积为（ ）
A．48B．96C．24D．6
5．关于的一元二次方程2x2+3kx−1=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
6． 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，于点E，当E为中点时，则的长为（ ）
A．B．4C．D．8
7．如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是2，则图中重叠部分的面积是（ ）
A．1B．2C．12D．14
8．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．用配方法解一元二次方程 ，下列配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（ ）
A．52B．C．322D．2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．一元二次方程x−12=x−1的解为 ．
12．如图，在矩形中，点P是线段上一动点，且，E，F为垂足，，则的值为 ．

13.已知a，b是一元二次方程x2−4x−2=0的两个实数根，则ab+a+b的值为 ．
14．如图（1），点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）的变化关系图象如图（2）.
则：（1）BD= cm； （2） a的值是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解方程：x2−3x−10=0
16．如图，已知E，F是正方形的对角线上的两点，且．求证：四边形为菱形．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．那么梯子的顶端下滑几米时，梯子的底端滑动的距离和它相等？

18．如图，点O是菱形ABCD的对角线的交点，DE//AC，CE//BD，连接OE．求证：OE=BC．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，求衬衫的单价降了多少元？
20．如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是菱形；
（2）若AB=1，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．
六、（本题满分12分）
21．学校利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度为x米的道路．已知阴影部分的面积为．求道路的宽是多少米？
七、（本题满分12分）
22．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC=63.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
八、（本题满分14分）
23．【问题情境】
（1）已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ．
【继续探究】
（2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示．
①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接，若，求线段长．
宿城第一初级中学2024-2025学年度第一学期九年级数学第一次综合素质评价
考生注意：本卷共八大题，计23小题，满分150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0B．x2=0
C．x+1x=0D．x−12+1=x2
【答案】B
【解析】A. ax2+bx+c＝0，当a=0时，方程不是一元二次方程，故A选项错误；
B.符合一元二次方程的定义，故B选项正确
C.不是整式方程，故C选项错误
D.化简后不含二次项，故D选项错误
故选：B.
2．下面结论中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】B
【详解】解：A、应该是对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，故选项不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确，故选项符合题意；
C、应该是对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，故选项不符合题意；
D、应该是对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，故选项不符合题意；
故选：B．
3.关于x的一元二次方程x2+bx−10=0的一个根为2，则b的值为（ ）
A．−3B．2C．3D．7
【答案】C
【解析】∵关于x的一元二次方程x2+bx−10=0的一个根为2
∴将x=2代入方程，得:2²+b×2−10=0
解得b=3
故选：C
4．如图，菱形对角线AC与BD交于点，AC=16，BD=12，则菱形的面积为（ ）
A．48B．96C．24D．6
【答案】B
【解析】∵在菱形ABCD中，AC=16 BD=12
∴菱形ABCD的面积=12×AC×BD=12×16×12=96
故选：B
5．关于的一元二次方程2x2+3kx−1=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
【答案】A
【解析】∵△=b²−4ac=（3k)²−4×2×（−1)=9k²+8＞0
∴方程有两个不相等的实数根
故选：A
6． 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，于点E，当E为中点时，则的长为（ ）
A．B．4C．D．8
【答案】D
【详解】解：四边形是矩形
，
∵于点E，当E为中点，
∴垂直平分，
，
．
故选：D．
7．如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是2，则图中重叠部分的面积是（ ）
A．1B．2C．12D．14
【答案】A
【详解】解：如图，
正方形和正方形的边长都是2，
，，，
∴，
在和中，，，
；
则图中重叠部分的面积是1，
故选：A
8．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：利用该款燃油汽车今年4月份的售价＝该款燃油汽车今年2月份的售价该款汽车这两月售价的月平均降价率，即可列出关于x的一元二次方程．
根据题意得：．
故选：A．
9．用配方法解一元二次方程 ，下列配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：，即，
方程两边同时加4，可得，即，
故选：B．
10．如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（ ）
A．52B．C．322D．2
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．连接，由正方形的性质可得，，则，由 H是的中点，可得，根据勾故定理求、的值，根据，求的值，进而可求．
【详解】解：如图，连接，
由正方形的性质可得，，
∴，
∵ H是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．一元二次方程x−12=x−1的解为 ．
【答案】x=1或x=2
【分析】先移项，再利用提取公因式把方程左边分解得到（x−1）（x−1−1）=0，则原方程化为
x−1=0或x−1−1=0，然后解一次方程即可。
【解答】∵(x − 1)²=x−1，
∴(x − 1)²−(x−1)=0.
∴(x−1)(x−1−1)=0
∴x=1或x=2，
故答案为:x=1或x=2
12．如图，在矩形中，点P是线段上一动点，且，E，F为垂足，，则的值为 ．

【答案】
【分析】此题考查了矩形的性质以及勾股定理、三角形面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．首先连接，在矩形中，，，可求得以及的面积，继而可得，则可求得答案．
【详解】解：连接，

∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∵
∴．
故答案为：．
13.已知a，b是一元二次方程x2−4x−2=0的两个实数根，则ab+a+b的值为 ．
【答案】2.
【分析】本题考查两根与系数的关系，利用根与系数的关系，找出a+b=4，ab=-2是解题的关键.
【解答】∵a，b是一元二次方程x2−4x−2=0的两个实数根，
∴a+b= 4,ab=−2,
∴ab+a+b=−2+4=2
故答案为:2
14．如图（1），点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）的变化关系图象如图（2）.
则：（1）BD= cm； （2） a的值是 ．
【答案】（1）BD=5 （2） a=
【分析】过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，根据图象可得菱形的边长为a，DB＝5，求出DE＝3，再利用勾股定理列方程可求a的值．
【详解】（1）解：过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，
∵菱形ABCD中，ADBC，
∴当点F在边AD上运动时，y的值不变，
∴AD＝a，即菱形的边长是a，
∴a·DE＝a，
∴DE＝3，
当点F在DB上运动时，y逐渐减小，
∴DB＝5，
（2）Rt△DBE中，BE＝，
在Rt△DCE中，DC＝a，CE＝4−a，DE＝3，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，从函数图象获取信息，根据图象分析得出菱形的边长为a，DB＝5是解题关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解方程：x2−3x−10=0
答案：x1=5，x2=−2。
【详解】解：十字相乘的方法分解可得(x−5)(x+2)=0，
即x−5=0或x+2=0，
解得x1=5，x2=−2。
16．如图，已知E，F是正方形的对角线上的两点，且．求证：四边形为菱形．
【答案】见解析
【分析】连接交于O，证与互相垂直平分，即可由菱形的判定定理得出结论；
【详解】（1）证明：连接，交于点，
四边形是正方形，
，，，
∵
∴，即，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质和菱形的判定定理．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．那么梯子的顶端下滑几米时，梯子的底端滑动的距离和它相等？

【答案】2米
【分析】利用勾股定理算出未滑动前梯子底端距墙的水平距离，设梯子顶端向下滑动，则梯子底端也滑动，利用勾股定理列方程，即可解答．
【详解】解：未滑动前梯子底端距墙的水平距离为，
设梯子顶端向下滑动，则梯子底端也滑动，
此时梯子的顶端距地面的垂直距离为，梯子的底端距墙面的垂直距离为，
可得方程：，
解得，（舍去），
当梯子的顶端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等．
【点睛】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系列方程是解题的关键．
18．如图，点O是菱形ABCD的对角线的交点，DE//AC，CE//BD，连接OE．求证：OE=BC．
【答案】见解析；
【分析】（1）先证明四边形OCED是平行四边形，然后再由菱形的性质可得AC⊥BD，再利用矩形的定义证明；再根据矩形的对角线相等和菱形的邻边相等证明即可．
【详解】证明：∵DE//AC，CE//BD
∴四边形OCED是平行四边形
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，即∠COD=90°
∴四边形OCED是矩形；
∴OE=CD
又∵菱形ABCD
∴BC=CD
∴OE=BC．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定和性质，掌握矩形和菱形的判定与性质成为解答本题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，求衬衫的单价降了多少元？
【答案】衬衫的单价降了15元．
【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可．
【详解】设衬衫的单价降了x元．根据题意，得（20+2x）（40﹣x）=1250，
解得：x1=x2=15，
答：衬衫的单价降了15元．
20．如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是菱形；
（2）若AB=1，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH的四边相等，即可证得；
（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE的长，则正方形的面积可以求得．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，
∴FG=CD，HE=CD，FH=AB，GE=AB．
∵AB=CD，
∴FG=FH=HE=EG．
∴四边形EGFH是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，
∴GF∥DC，HF∥AB．
∴∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC．
∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°．
∴∠GFH=90°．
∴菱形EGFH是正方形．
∵AB=1，
∴EG=AB=．
∴正方形EGFH的面积=（）2=．
六、（本题满分12分）
21．学校利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度为x米的道路．已知阴影部分的面积为．求道路的宽是多少米？
【答案】道路的宽为6米．
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，平移的性质，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键．设道路的宽为x米，利用平移的性质可得阴影部分组成一个边长为米，宽为米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可．
【详解】解：设道路的宽为x米， 根据题意结合平移的性质可得：
，
解得：（舍去）或，
通道的宽为6米；
七、（本题满分12分）
22．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC=63.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）能，t=4； （3）或4时，△DEF为直角三角形.
【分析】在中，，，根据30°角直角三角形的性质及已知条件即可证得结论；
先证得四边形AEFD为平行四边形，使▱AEFD为菱形则需要满足的条件为AE=AD，由此即可解答；
时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中求可得，由此即可解答；时，由知，则得，求得，由此列方程求解即可；时，此种情况不存在．
【详解】在中，，，，
．
又，
．
能，
，，
．
又，
四边形AEFD为平行四边形．
∵，根据30°角直角三角形的性质，
∴BC=3AB, 又BC=63
∴AB=6,AC=12．
∴AD=AC−DC=12−6t．
若使▱AEFD为菱形，则需，
即t=12−2t，t=4．
即当t=4时，四边形AEFD为菱形．
时，四边形EBFD为矩形．
在中，，
．
即12−2t=2t，t=4．
时，由四边形AEFD为平行四边形知，
．
，
∴AD=12AE．
即12−2t=12t，t=245．
时，此种情况不存在．
综上所述，当t=4秒或t=245秒时，为直角三角形．
【点睛】本题考查了菱形的性质和的判定定理，矩形的判定和性质，第三小问中涉及到需要进行分类讨论，注意不要漏解．
八、（本题满分14分）
23．【问题情境】
（1）已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ．
【继续探究】
（2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示．
①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接，若，求线段长．
【答案】（1）；；（2）①；，理由见解析；②，过程见解析；
【分析】（1）延长交于J．证明，即可；
（2）①延长，交的延长线于点H，证明，即可；②过点G作，证明，可得，再由勾股定理，即可求解；
【详解】解：（1）如图1中，延长交于J．
∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故答案为：；．
（2）①结论：；．理由：
如图，延长，交的延长线于点H，
∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②如图3，过点G作，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题．