第3章综合拔高练（高考真题演练含答案解析）-人教A版高二上册数学（选必一）

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综合拔高练高考真题练考点1　椭圆的标准方程与几何性质1.(2023新课标Ⅰ,5)设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=3e1,则a=(　　)A.233　　B.2　　C.3　　D.62.(2023全国甲文,7)设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1的两个焦点,点P在C上,若PF1·PF2=0,则|PF1|·|PF2|=(　　)A.1　　B.2　　C.4　　D.53.(2023全国甲理,12)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:x29+y26=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=35,则|OP|=(　　)A.135　　B.302　　C.145　　D.3524.(2022全国甲文,11)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若BA1·BA2=-1,则C的方程为(　　)A.x218+y216=1　　　　B.x29+y28=1　　C.x23+y22=1　　　　D.x22+y2=1考点2　直线与椭圆的位置关系5.(2023新课标Ⅱ,5)已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=(　　)A.23　　B.23　　C.-23　　D.-236.(2023天津,18)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A1,A2,右焦点为F,且|A1F|=3,|A2F|=1.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设点P是椭圆C上一动点(不与顶点重合),直线A2P交y轴于点Q,若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP面积的二倍,求直线A2P的方程.7.(2023全国乙理,20)已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为53,点A(-2,0)在C上.(1)求C的方程;(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.8.(2023北京,19)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为53,A,C分别是E的上、下顶点,B,D分别是E的左、右顶点,|AC|=4.(1)求E的方程;(2)设P为第一象限内E上的动点,直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线y=-2交于点N.求证:MN∥CD.考点3　双曲线的标准方程与几何性质9.(2023全国甲理,8)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=　(　　)A.55　　B.255　　C.355　　D.45510.(2023天津,9)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为24,则双曲线的方程为(　　)A.x28-y24=1　　　　B.x24-y28=1C.x24-y22=1　　　　D.x22-y24=111.(2023北京,12)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为2,则C的方程为　　　　. 12.(2023新课标Ⅰ,16)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,F1A⊥F1B,F2A=-23F2B,则C的离心率为　　　　. 考点4　直线与双曲线的位置关系13.(2023全国乙理,11)设A,B为双曲线x2-y29=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是(　　)A.(1,1)　　　　B.(-1,2)C.(1,3)　　　　D.(-1,-4)14.(2023新课标Ⅱ,21)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-25,0),离心率为5.(1)求C的方程;(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.15.(2022全国新高考Ⅱ,21)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±3x.(1)求C的方程;(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1>x2>0,y1>0.过P且斜率为-3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①M在AB上;②PQ∥AB;③|MA|=|MB|.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.考点5　抛物线的标准方程与几何性质16.(多选题)(2023新课标Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线y=-3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　)A.p=2　　　　B.|MN|=83C.以MN为直径的圆与l相切　　　　D.△OMN为等腰三角形17.(2023北京,6)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=(　　)A.7　　B.6　　C.5　　D.418.(2023全国乙理,13)已知点A(1,5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为　　　　. 19.(2023天津,12)过原点O的一条直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切,交曲线y2=2px(p>0)于点P,若|OP|=8,则p的值为　　　　. 考点6　直线与抛物线的位置关系20.(2023全国甲理,20)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=415.(1)求p;(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且FM·FN=0,求△MFN面积的最小值.21.(2023新课标Ⅰ,22)在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点0,12的距离,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于33.高考模拟练应用实践1.(多选题)画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆,我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C:x23+y2=1,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,M为椭圆C的蒙日圆上一动点,直线MA,MB分别与椭圆相切于A,B两点,O为坐标原点,下列说法正确的是　(　　)A.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=4B.记点A到直线l:2x+y-4=0的距离为d,则d-|AF2|的最小值为0C.一矩形的四条边均与椭圆C相切,则此矩形的面积的最大值为43D.△AOB的面积的最大值为322.(多选题)已知双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,具有公共焦点的椭圆与其在第一象限内的交点为P,双曲线和椭圆的离心率分别为e1,e2,△PF1F2的内切圆的圆心为I,过F2作直线PI的垂线,垂足为D,则(　　)A.I到y轴的距离为aB.点D的轨迹是双曲线C.若S△IPF1-S△IPF2≥13S△IF1F2,则1b>0)的左、右焦点,P是椭圆C上一点,若线段PF1上有且只有中点Q满足|QF1|=2|QO|(其中O是坐标原点),则椭圆C的离心率是　　　　. 5.已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是12,其左、右焦点分别为F1,F2,过点B(0,b)且与直线BF2垂直的直线交x轴负半轴于点D.(1)求证:2F1F2+F2D=0;(2)若点D(-3,0),过椭圆Γ的右焦点F2且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆Γ交于P,Q两点,M是点P关于x轴的对称点,在x轴上是否存在一个定点N,使得M,Q,N三点共线?若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由.6.设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,a2+b2=1,O为坐标原点,过F的直线l与C的右支相交于A,B两点.(1)若bb>0)的离心率是12,短轴长为23,椭圆的左、右顶点分别为A1,A2,过椭圆C与抛物线E:y2=2px(p>0)的公共焦点F的直线l与椭圆相交于A,B两点,与抛物线E相交于P,Q两点,点M为PQ的中点.(1)求椭圆C和抛物线E的方程;(2)记△ABA1的面积为S1,△MA2Q的面积为S2,若S1≥3S2,求直线l在y轴上的截距的取值范围.8.已知抛物线C:y2=4x,圆M:(x-3)2+y2=r2(r>0),圆M上的点到抛物线上的点的距离的最小值为2.(1)求圆M的方程;(2)设P为x=-7上一点,P的纵坐标不等于±2.过点P作圆M的两条切线,分别交抛物线C于两个不同的点A(x1,y1),B(x2,y2)和点Q(x3,y3),R(x4,y4),求证:y1y2y3y4为定值.9.已知抛物线C:y2=2px(00).依题可得a+c=3,a-c=1,解得a=2,c=1.又a2=b2+c2,所以b=3,所以椭圆C的方程为x24+y23=1,离心率e=ca=12.(2)依题意可得过点A2(2,0)的直线A2P不平行于坐标轴,设其方程为x=my+2(m≠0),联立直线A2P与椭圆C的方程得x=my+2,x24+y23=1,消去x,可得(3m2+4)y2+12my=0,设P(xP,yP),又A2(2,0),所以0+yP=-12m3m2+4,则yP=-12m3m2+4,设Q(0,yQ),因为直线A2P交y轴于点Q,所以yQ=-2m,S△A1PQ=|S△A1A2Q-S△A1A2P|=12×4×|yQ-yP|=22m-12m3m2+4,S△A2PF=12×1×|yP|=6m3m2+4.又S△A1PQ=2S△A2PF,所以22m-12m3m2+4=26m3m2+4,解得m=±63,所以直线A2P的方程为x=±63y+2,即3x+6y-6=0或3x-6y-6=0.7.解析　(1)设椭圆C的半焦距为c(c>0),由题意知ca=53,b=2,又a2=b2+c2,所以a=3,c=5.故C的方程为y29+x24=1.(2)证明:易知直线PQ的斜率存在且小于0,又直线PQ过点(-2,3),所以设直线PQ的方程为y=kx+2k+3,k0,b>0),由题知c=2,ca=2,则a=2,又c2=a2+b2,∴b2=2,则C的方程为x22-y22=1.12.答案　355解析　如图,因为F2A=-23F2B,所以A,B,F2共线,且F2在A,B之间,设|AF2|=2x,则|BF2|=3x,|BF1|=3x,|AB|=5x,又因为F1A⊥F1B,所以|AF1|=|AB|2-|BF1|2=4x,由双曲线的定义得2a=|AF1|-|AF2|=4x-2x,则a=x,∠BF2F1+∠AF2F1=π,|F1F2|=2c,结合余弦定理的推论得cos∠BF2F1+cos∠AF2F1=(3a)2+(2c)2-(3a)22×3a×2c+(2a)2+(2c)2-(4a)22×2a×2c=0,解得c=355a,所以离心率e=ca=355.13.D　设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,y1≠y2,则AB的中点坐标为x1+x22,y1+y22,设原点与线段AB的中点的连线的斜率为k,则kAB=y1-y2x1-x2,k=y1+y2x1+x2,∵A,B在双曲线上,∴x12-y129=1,x22-y229=1,两式作差,整理得kABk=9.对于A,可得k=1,则kAB=9,∴lAB:y=9x-8,与x2-y29=1联立,消去y,得72x2-2×72x+73=0,Δ=-2880),半焦距为c,由题意知c=25,e=5=ca,则a=2,所以b2=c2-a2=(25)2-22=16,所以双曲线C的方程为x24-y216=1.(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),x1y2,P(x,y),由题意设过点(-4,0)的直线的方程为x=ty-4,由x=ty-4,x24-y216=1,消去x整理得(4t2-1)y2-32ty+48=0,易知4t2-1≠0,Δ=64×(4t2+3)>0,则y1+y2=32t4t2-1,y1y2=484t2-1,故y1+y2=2t3y1y2.易知A1(-2,0),A2(2,0),则直线MA1:y-y1y1=x-x1x1+2,直线NA2:y-y2y2=x-x2x2-2,联立消去y得x-x1x1+2+1y1=x-x2x2-2+1y2,即x=2y1(x2-2)+2y2(x1+2)y2(x1+2)−y1(x2-2)=4y2(x1+2)y2(x1+2)−y1(x2-2)-2=2ty1y2-4y23y1-y2-2=3y1-y23y1-y2-2=-1,即点P在定直线x=-1上.15.解析　(1)由题意可得ba=3,a2+b2=2,故a=1,b=3,所以C的方程为x2-y23=1.(2)易知直线PQ的斜率存在且不为0.设直线PQ的方程为y=kx+t(k≠0),将y=kx+t代入C的方程得(3-k2)x2-2ktx-t2-3=0,则x1+x2=2kt3−k2,x1x2=-t2+33−k2,又因为x1>x2>0,所以3-k20,得p=6.20.解析　(1)联立x=2y-1,y2=2px,消去x得y2-4py+2p=0.由题知Δ=16p2-8p>0,且p>0,∴p>12,设A(xA,yA),B(xB,yB),则yA+yB=4p,yAyB=2p,∴|AB|=1+22|yA-yB|=5(4p)2-4×2p=415,∴p=2或p=-32(舍).(2)由(1)知C:y2=4x,F(1,0),易知直线MN的斜率不为0,设直线MN的方程为x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),联立x=my+n,y2=4x,消去x得y2-4my-4n=0.则Δ=16m2+16n>0,∴m2+n>0①,由根与系数的关系得y1+y2=4m,y1y2=-4n,∴x1+x2=4m2+2n,x1x2=n2,FM=(x1-1,y1),FN=(x2-1,y2),∴FM·FN=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0,即4m2=n2-6n+1②,①②联立可得n2-6n+14+n>0,解得n≠1,又n2-6n+1=4m2≥0,∴n≤3-22或n≥3+22.S△MFN=12|MF||NF|=12(x1+1)(x2+1)=12(x1x2+x1+x2+1)=12(2n2-4n+2)=(n-1)2.又∵n≤3-22或n≥3+22,∴当n=3-22时,(S△MFN)min=(2-22)2=12-82.21.解析　(1)设点P(x,y),由题意得|y|=x2+y-122,化简得y=x2+14,故W的方程为y=x2+14.(2)证明:不妨令A,B,D三点在W上,如图,设At,t2+14.易知直线AB的斜率存在且不为0,设为k,则直线AD的斜率为-1k.联立直线AB:y-t2+14=k(x-t)与抛物线W的方程,消去y,整理得x2-kx+kt-t2=0,则xA·xB=kt-t2,又xA=t,所以xB=k-t.故|AB|=1+k2|k-2t|.同理,|AD|=1+1k21k+2t,所以矩形ABCD的周长L=21+k2|k-2t|+1+1k21k+2t.(i)当k2≥1时,k4≥1,所以k2≥1k2,所以1+k2≥1+1k2,所以1+k2|k-2t|≥1+1k2|k-2t|.所以L≥21+1k2|k-2t|+1k+2t①.又因为|k-2t|+1k+2t≥k+1k,所以L≥21+1k2·k+1k.令k2=m,则L≥2(m+1)3m2,m≥1.设f(x)=(x+1)3x2,则f '(x)=(x+1)2(x-2)x3,则f(x)在[1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(2)=274,所以L≥2274,即L≥33.而①中“=”当且仅当k2=1时取得,故L>33.(ii)当021+k2·k+1k,即L>2(k2+1)3k2.令k2=n,则L>2(n+1)3n,0