人教A版高中数学高二上册选择性必修第一册同步考点讲与练专题2.11 直线和圆的方程全章综合（基础）（2份，原卷版+解析版）

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第二章 直线和圆的方程全章综合测试卷（基础篇）参考答案与试题解析一．选择题 1．已知直线l经过A−1,4，B1,2两点，则直线l的斜率为（    ）A．3B．−3C．1D．−1【解题思路】直接代入直线斜率公式即可.【解答过程】因为直线l经过A−1,4，B1,2两点，所以直线l的斜率为kAB=2−41−−1=−1，故选：D．2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是（    ）A．m1C．m0化为2x−4y+2m=0m>0，因为两平行线间的距离为25，所以2m−(−6)22+(−4)2=25，得2m+6=20，因为m>0所以2m+6=20，得m=7，所以m+n=7−4=3，故答案为：3.15．在平面直角坐标系中，已知点A(4,0)，点P在圆O:x2+y2=9上运动，则线段AP的中点Q的轨迹方程是 x−22+y2=94 ．【解题思路】由几何性质计算即可.【解答过程】  如图所示，取OA中点D，连接DQ，则DQ为△APO的一条中位线，D2,0，即有DQ∥OP，且12PO=DQ=32，故Q在以D为圆心，DQ长为半径的圆上，所以Q的轨迹方程为x−22+y2=94.故答案为：x−22+y2=94.16．若直线l:mx+y=2mm∈R与圆C:x2+y2−6x−4y−7=0交于A,B两点，则△ABC面积的最大值为 53 .【解题思路】先求得△ABC面积的表达式，再利用二次函数的性质即可求得△ABC面积的最大值.【解答过程】圆C:x2+y2−6x−4y−7=0的圆心C(3,2)，半径r=25，直线l:mx+y=2mm∈R恒过定点Q(2,0)，则QC=5，设AB中点为M，则点M在以QC为直径的圆上，设圆心C(3,2)到直线l:mx+y=2mm∈R距离为d，则0≤d≤QC=5，AB=2252−d2=220−d2，则△ABC的面积为12AB⋅d=d20−d2=20d2−d4=−d2−102+100当d=5即d2=5时−d2−102+100取得最大值53.则△ABC面积的最大值为53.故答案为：53.四．解答题17．判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由．(1)l1:3x−2y−7=0，l2:2x+3y−1=0；(2)l1:y−2=0，l2:y+1=0．【解题思路】分别写出直线l1, l2的斜率，即可判断出其位置关系.【解答过程】（1）设直线l1, l2的斜率分别为k1，k2．因为k1=32，k2=−23，所以k1⋅k2=−1从而l1与l2垂直;（2）因为k1=k2=0，−2≠1，从而l1与l2平行．18．已知直线l1:2x−3y+4=0,l2:ax−32y−1=0，且l1∥l2．(1)求a的值；(2)求两平行线l1与l2之间的距离．【解题思路】（1）由两直线平行，可得23=a32，从而可求出a的值；（2）先将直线l2变形后，再利用两平行线间的距离公式可求得结果.【解答过程】（1）因为直线l1:2x−3y+4=0,l2:ax−32y−1=0，且l1∥l2，所以23=a32，解得a=1（2）由（1）知l2的方程为x−32y−1=0，即2x−3y−2=0，所以l1与l2之间的距离为d=4−(−2)22+(−3)2=613=61313 ．19．已知△ABC的顶点分别为A(2,4),B(0,−2),C(−2,3)，求：(1)直线AB的方程;(2)AB边上的高所在直线的方程;【解题思路】（1）由AB的坐标可得斜率，由点斜式方程可写出方程，化为一般式即可；（2）由垂直关系可得高线的斜率，由高线过点C，同（1）可得.【解答过程】（1）∵A(2,4),B(0,−2)，∴kAB=4−(−2)2−0=3，由点斜式方程可得y−(−2)=3(x−0)，化为一般式可得3x−y−2=0（2）由（1）可知kAB=3，故AB边上的高线所在直线的斜率为−13，又AB边上的高线所在直线过点C(−2,3)，所以方程为y−3=−13(x+2)，化为一般式可得x+3y−7=0.  20．已知直线l过点3,2且与直线y=−72x+1垂直，圆C的圆心在直线l上，且过A6,0，B1,5两点．(1)求直线l的方程；(2)求圆C的标准方程．【解题思路】（1）由题设l:2x−7y+m=0，代入(3,2)得出直线l的方程；（2）设圆心Ct,2t+87，根据AC=BC=r得出圆C的标准方程.【解答过程】（1）由题设l:2x−7y+m=0，代入(3,2)得m=8，于是l的方程为2x−7y+8=0.（2）设圆心Ct,2t+87，则AC=BC=r，即t−62+2t+8249=t−12+2t+87−52，解得：t=3，∴r=13，又圆心C3,2，∴圆C的标准方程为x−32+y−22=13.21．已知圆C经过点A4,2、B6,0，圆心C在直线x+y−4=0上.(1)求圆C的方程；(2)若直线y=kx+2与圆C相交于P、Q两点，PQ=23，求实数k的值.【解题思路】（1）求出直线AB的中垂线方程联立直线x+y−4=0方程即可得圆心坐标，进而可求半径，即可求出圆C的方程；（2）由PQ=23可得点C4,0到直线y=kx+2的距离为1，由点到直线的距离公式即可列方程求解.【解答过程】（1）AB的中点为M5,1，斜率k=−1，则直线AB的中垂线为y=x−4联立y=x−4y=4−x，解得x=4y=0，即C4,0，BC=2，圆C的方程为x−42+y2=4.（2）由于PQ=23，点C4,0到直线y=kx+2的距离d=6kk2+1=1，即35k2=1，解得k=±3535.22．已知圆C的圆心在直线x+y−2=0上，且经过点A4,0，B2,2．(1)求圆C的方程；(2)若直线l:x−y−10=0，点P为直线l上一动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，当四边形PMCN面积最小时，求直线MN的方程．【解题思路】（1）求出直线AB的垂直平分线方程，联立两直线方程求出交点坐标，即可得到圆心坐标，从而求出圆的半径，即可得到圆的方程.（2）由S四边形PMCN=2S△PMC=2PM可知当PM最小时四边形面积最小，当PC⊥l时，PM最小，求出直线PC的方程，从而求出P点坐标，即可求出以PC为直径的圆，再两圆方程作差可得.【解答过程】（1）解：由题意可得：kAB=2−02−4=−1，AB中点坐标为M3,1，则直线AB的垂直平分线方程为y−1=x−3，由x+y−2=0y−1=x−3，解得x=2y=0，所以两直线的交点坐标为2,0，即所求圆的圆心坐标为2,0，圆的半径r=4−2=2，所以圆的方程为x−22+y2=4．（2）解：∵S四边形PMCN=2S△PMC=2PM，∴当PM最小时四边形面积最小，又PM=PC2−r2得当PC⊥l时，PM最小，此时kPC=−1，直线PC的方程是y=−x+2，由y=−x+2x−y−10=0，解得x=6y=−4，所以直线l与直线PC的交点为P6,−4，PC的中点为4,−2，PC=16+16=42，故以PC为直径的圆为x−42+y+22=8，又易知M，N在以PC为直径的圆上，则直线MN是以PC为直径的圆与圆C的公共弦，联立两圆方程x−42+y+22=8x−22+y2=4，两式相减得到x−y−3=0，所以直线MN：x−y−3=0.