第二章　平面解析几何 试卷学案练习

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第3课时　直线的一般式方程【学习目标】1.理解直线的一般式方程的特点,以及与其他方程形式的区别与联系;2.掌握直线的一般式方程与其他形式之间的相互转化,进一步掌握求直线方程的方法.◆ 知识点一　直线的一般式方程关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B,C都是实常数,且A,B不同时为0,即A2+B2≠0)表示直线,我们把Ax+By+C=0称为直线的　　　　　　. ①A,B不能同时为0,即A2+B2≠0.②直线的一般式方程能表示所有的直线,在求直线方程时,最后结果一般都化成　　　　　　. ③当A=0时,y=-表示一条与y轴　　　　的直线; 当B=0时,x=-表示一条与x轴　　　　的直线; 当B≠0时,y=-x-,直线的斜率为-,截距为-.④v=(A,B)为直线Ax+By+C=0的一个法向量.若直线l过点P0(x0,y0),且它的一个法向量为v=(A,B),则它的直线方程为　　　　　　　　　　　. ◆ 知识点二　直线方程五种形式之间的互化图2-2-3【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)直线方程的其他特殊形式都可化为一般式方程. (　 )(2)直线的一般式方程都可以化为截距式方程. (　 )(3)直线的一般式方程都可以化为斜截式方程. (　 )(4)当A,B同时为0时,方程Ax+By+C=0也可表示一条直线. (　 )2.(1)与已知直线Ax+By+C=0平行或垂直的直线l的方程该如何表示?(2)已知直线l的方程为Ax+By+C=0(A,B不同时为0),求当A,B,C满足什么条件时,直线l有如下性质:直线l经过原点;直线l与x轴平行;直线l与y轴平行;直线l与x轴重合;直线l与y轴重合.  ◆ 探究点一　求直线的一般式方程例1 根据下列条件分别写出直线方程,并化成一般式方程.(1)斜率是,经过点A(8,-2);(2)经过点B(-2,0),且与x轴垂直;(3)斜率为-4,在y轴上的截距为7;(4)经过A(-1,8),B(4,8)两点;(5)经过C(-1,5),D(2,-1)两点;(6)在x,y轴上的截距分别是-3,-1;(7)经过点(2,-3),且直线的一个方向向量为a=(2,4).   变式 根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式方程.(1)斜率是-,且经过点A(8,-6)的直线的方程为　　　　　　. (2)经过点B(4,2),且平行于x轴的直线的方程为　　　　. (3)在x轴和y轴上的截距分别是和-3的直线的方程为　　　　　　. (4)经过两点A(1,0),B(m,1)的直线的方程为　　　　　　. (5)若直线l过点A(-5,3),且v=(2,3)是直线l的一个法向量,则直线l的方程为　. [素养小结]在求直线方程时,常用的是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程,再化为一般式方程,一般选用规律为:(1)已知直线的斜率和直线上某一点的坐标时,选用直线的点斜式方程;(2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时,选用直线的斜截式方程;(3)已知直线上两点坐标时,选用直线的两点式方程;(4)已知直线在x轴、y轴上的截距时,选用直线的截距式方程.◆ 探究点二　含参数的直线一般式方程有关问题的解决例2 设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0.(1)已知直线l在x轴上的截距为-3,求m的值;(2)已知直线l的斜率为1,求m的值;(3)若直线l与y轴平行,求m的值.   变式 [2022·南京天印中学高二月考] 已知直线l:kx-y+2+k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.    [素养小结](1)对含参数的直线的一般式方程的有关问题,需灵活地把一般式方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)变形为相应的直线方程形式.(2)当直线方程中含有参数时,直线恒过定点.如变式题中直线l:kx-y+2+k=0,可将其变形为k(x+1)+(-y+2)=0,然后解方程组确定定点坐标.也可以将其变形为y-2=k(x+1),由直线的点斜式方程可知直线过定点(-1,2).若方程形式为y=kx+b,则直线恒过点(0,b).1.若直线3x-4y+k=0在两坐标轴上的截距之和为2,则k的值为 (　 )A.24 B.12C.10 D.-242.[2022·北京师达中学高二月考] 若方程Ax+By+C=0表示的直线是y轴,则 (　 )A.B·C=0  B.A≠0C.B·C=0且A≠0 D.A≠0且B=C=03.[2022·合肥七中高二期中] 已知直线l经过点O(0,0),且v=(3,-4)是直线l的一个法向量,则直线l的方程为              (　 )A.4x+3y=0  B.4x-3y=0C.3x-4y=0  D.3x+4y=04.(多选题)如果AB<0,BC<0,那么直线Ax+By+C=0经过 (　 )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5.[2022·石家庄高二期中] 过点A(-2,1),且倾斜角的余弦值为-的直线的一般式方程为　　　　　　　.