人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》单元测试卷（困难）（含答案解析）

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人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分150分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。


第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知P是椭圆E:x24+y2m=1上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2k1k2≠0，若k1+k2的最小值为1，则实数m的值为(    )
A. 1 B. 2 C. 1或16 D. 2或8
2. 已知A(−3,0), B(3,0)，P为圆x2+y2=1上的动点，AP=PQ，过点P作与AP垂直的直线l 交直线QB于点M，则M的横坐标范围是(    )
A. x≥1 B. x>1 C. x≥2 D. x≥22
3. 下列说法的错误的是(    )
A. 经过定点Px0,y0的倾斜角不为90∘的直线方程都可以表示为y−y0=kx−x0
B. 经过定点A0,b的倾斜角不为90∘的直线的方程都可以表示为y=kx+b
C. 不经过原点的直线的方程都可以表示为xa+yb=1
D. 经过任意两个不同的点P1x1,y1、P2x2,y2直线的方程都可以表示为y−y1x2−x1=x−x1y2−y1
4. 过点P(1,2)引直线，使A(2,3)，B(4,−5)到它的距离相等，则这条直线的方程是(    )
A. 4x+y−6=0
B. x+4y−6=0
C. 2x+3y−7=0或x+4y−6=0
D. 3x+2y−7=0或4x+y−6=0
5. 已知实数x，y满足x|x|+y|y|3=1，则|3x+y−4|的取值范围是  (    )
A. [4−6,2) B. [4−6,4) C. 2−62,2 D. 2−62,4
6. △ABC的顶点A(4,3)，AC边上的中线所在的直线为4x+13y−10=0，∠ABC的平分线所在直线方程为x+2y−5=0，求AC边所在直线的方程(    )
A. x−8y+20=0 B. 2x−3y+1=0
C. 3x−5y+3=0 D. x−y+1=0
7. 已知圆C：x2+y2+2x−2my−4−4m=0(m∈R)，则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为(    )
A. 5 B. 6 C. 5-1 D. 5+1
8. 已知点P为直线y=x+1上的一点，M，N分别为圆C1:(x−4)2+(y−1)2=4与圆C2:x2+(y−2)2=14上的点，则|PM|−|PN|的最大值为(    )
A. 4 B. 92 C. 112 D. 7

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 设l1，l2为曲线f(x)=|lnx|的两条切线，切点分别为A，B，若l1⊥l2，且垂足为P，则下列说法正确的有(    )
A. A，B两点的横坐标之和为定值 B. A，B两点的横坐标之积为定值
C. 直线AB的斜率为定值 D. P点横坐标的取值范围为(0,1)
10. 下列说法正确的是(    )
A. 截距相等的直线都可以用方程xa+ya=1表示
B. 方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行y轴的直线
C. 经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y-1=tanθ(x-1)
D. 经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
11. 已知lnx1−x1−y1+2=0，x2+2y2−4−2ln2=0，记M=x1−x22+y1−y22，
则(    )
A. M的最小值为25 B. 当M最小时，x2=125
C. M的最小值为45 D. 当M最小时，x2=65
12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A−2,0、B4,0，点P满足PAPB=12，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是(    )
A. C的方程为x+42+y2=16
B. 在C上存在点D，使得AD=1
C. 在C上存在点M，使M在直线x+y−2=0上
D. 在C上存在点N，使得NO2+NA2=4
第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知点P(x,y)满足x2+y2−4y=0，则t=y+2x的取值范围是          ．
14. 给出下列五个命题：
①过点(−1,2)的直线方程一定可以表示为y−2=k(x+1)(k∈R)的形式;
②过点(−1,2)且在x，y轴截距相等的直线方程是x+y−1=0;
③过点M(−1,2)且与直线l:Ax+By+C=0(AB≠0)垂直的直线方程是B(x+1)+A(y−2)=0;
④设点M(−1,2)不在直线l:Ax+By+C=0(AB≠0)上，则过点M且与直线l平行的直线方程是A(x+1)+B(y−2)=0;
⑤点P(−1,2)到直线ax+y+a2+a=0的距离不小于2．
以上命题中，正确的序号是          .
15. 已知圆C1：x2+y2+2x−8y+8=0，若圆C2与圆C1关于直线y=−x+2对称，且与直线l：mx+y+m−2=0交于A、B两点，则|AB|的取值范围是          ．
16. 已知点P在直线l:y=x+1上，过点P作圆C:x2+y2−2x+4y−4=0的切线，切点分别是A,B，AB的中点为Q，若点Q到直线l的距离为782，则点Q的坐标为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知M(1,−1)，N(2,2)，P(3,0)．
(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN//MQ．
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP=∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．
18. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+cosαy=sinα(α为参数)；在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ；
(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)若射线l：y=kx(x≥0)与曲线C1，C2的交点分别为A，B(A,B异于原点)，当斜率k∈[1,3)时，求|OA|⋅|OB|的取值范围．
19. 已知直线l过点A(4,1)．
⑴若直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的12倍，求直线l的方程；
⑵已知ΔABC的一个顶点为A，AB边上的中线CM所在的直线方程为x-2y+2=0，AC边上的高BH所在的直线方程为2x+3y-2=0.求BC所在直线的方程．
20. 已知光线通过点A(2,3)，经直线l:x+y+1=0反射，其反射光线通过点B(1,1)，(1)求反射光线所在的方程；
(2)在直线l上求一点P，使PA=PB；
(3)若点Q在直线l上运动，求QA2+QB2的最小值．
21. 已知曲线C:1+ax2+1+ay2−4x+8ay=0，a∈R．
(1)当a取何值时，方程表示圆？
(2)求证：不论a为何值，曲线C必过两定点．
(3)当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值．
22. 如图，圆M：x−22+y2=1，点P−1,t为直线l：x=−1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B．

(1)若t=−1，求切线所在直线方程；
(2)若两条切线PA，PB与y轴分别交于S、T两点，求ST的最小值．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的简单几何性质及基本不等式的应用，同时考查直线的斜率，由已知得出k1k2=−m4，然后利用基本不等式求解即可．
【解答】
解： 设P(x1,y1)，M(x0,y0)，
因为P，M在椭圆上，
所以x124+y12m=1x024+y02m=1,
两式相减并变形得，y12−y02x12−x02=−m4，
因为M,N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，
所以N(−x0,−y0)，
因为直线PM,PN的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0)，
所以k1k2=y1−y0x1−x0·y1+y0x1+x0=y12−y02x12−x02=−m4，
所以|k1|+|k2|≥2|k1||k2|=|m|，当|k1|=|k2|时取等号，
又|k1|+|k2|的最小值为1，
所以|m|=1，
又m>0且m≠4，
所以m=1．
故选A．  
2.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，属中档题．
设P点坐标为(x0,y0)，Q点坐标为(x1,y1)，因为AP=PQ，得Q(2x0+3,2y0).设直线AP斜率为k，分类讨论：(1)若P不在x轴上，解得：|x|>1;(2)若P在x轴上，则P，M重合，则M点横坐标为x=±1，故|x|≥1.
【解答】
解：设P点坐标为(x0,y0)，Q点坐标为(x1,y1)，
因为AP=PQ，所以(x0+3,y0)=(x1−x0,y1−y0)，
解得：Q(2x0+3,2y0).
设直线AP斜率为k，
(1)若P不在x轴上，则k≠0，且k=y0x0+3，
因为，MP⊥AP，所以MP的斜率为k1=−x0−3y0，
MP的方程为y=−x0−3y0(x−x0)+y0，
BQ的方程为y−02y0−0=x−32x0，
所以MP、BQ的方程联立，消元得：(x02+y02+3x0)x=x0y02+x03+3(x02+y02)，
因为P在圆上，所以x02+y02=1，
整理得：x=x0+31+3x0=33(1+23x0+1)，
因为|x0|1;
(2)若P在x轴上，则P，M重合，则M点横坐标为x=±1.
综上所述：|x|≥1.
故答案为A．  
3.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查直线方程的适用范围，注意直线的斜率是否存在，以及截距的定义，考查判断能力和推理能力，是基础题．，由点斜式方程可判断A；由直线的斜截式可判断B；讨论直线的截距是否为0，可判断C；由两点式的直线方程可判断D．
【解答】
解：
经过定点P(x0,y0)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y−y0=k(x−x0)，故A正确；
经过定点A(0,b)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y=kx+b，故B正确；
不经过原点的直线的方程不一定都可以表示为xa+yb=1，比如x=a或y=b，故C错误；
过任意两个不同的点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)直线的方程都可以表示为：
(y−y1)(x2−x1)=(x−x1)(y2−y1)，故D正确．
故选C．
  
4.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查直线方程的求法，考查直线斜率求法和中点坐标公式，考查分类讨论思想，属于拔高题．
分两种情况讨论： ①过P(1,2)且与直线AB平行的直线； ②过点P(1,2)与线段AB的中点C(3,−1)的直线，分别求解即可．
【解答】
解：由题意得kAB=−5−34−2=−4，
线段AB的中点为C(3,−1)．
分两种情况讨论：①过P(1,2)且与直线AB平行的直线满足题意，
其方程为y−2=−4(x−1)，
整理得4x+y−6=0;
②过点P(1,2)与线段AB的中点C(3,−1)的直线满足题意，
其方程为y−(−1)2−(−1)=x−31−3，
整理得3x+2y−7=0．
故满足条件的直线方程是4x+y−6=0或3x+2y−7=0，
故选D．
  
5.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了点到直线的距离公式，两平行直线间的距离，椭圆的概念及标准方程，直线与椭圆的位置关系，双曲线的概念及标准方程，双曲线的性质及几何意义和数形结合思想，属于较难题．
利用所给方程，结合椭圆和双曲线的方程得所给方程所表示的曲线C，作出曲线C和直线3x+y−4=0的图形，设Px,y是曲线C上一点，点P到直线3x+y−4=0的距离为d，利用点到直线的距离公式得|3x+y−4|=2d，利用两平行直线间的距离得直线3x+y=0与直线3x+y−4=0的距离为2，再利用双曲线渐近线性质得2d