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人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》单元测试卷(困难)(含答案解析)
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人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》单元测试卷
考试范围:第二章;考试时间:120分钟;总分150分
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在试卷上无效。
3.考试结束后,本试卷和答题卡一并交回。
第I卷(选择题)
一、单选题(本大题共8小题,共40.0分)
1. 已知P是椭圆E:x24+y2m=1上任意一点,M,N是椭圆上关于坐标原点对称的两点,且直线PM,PN的斜率分别为k1,k2k1k2≠0,若k1+k2的最小值为1,则实数m的值为( )
A. 1 B. 2 C. 1或16 D. 2或8
2. 已知A(−3,0), B(3,0),P为圆x2+y2=1上的动点,AP=PQ,过点P作与AP垂直的直线l 交直线QB于点M,则M的横坐标范围是( )
A. x≥1 B. x>1 C. x≥2 D. x≥22
3. 下列说法的错误的是( )
A. 经过定点Px0,y0的倾斜角不为90∘的直线方程都可以表示为y−y0=kx−x0
B. 经过定点A0,b的倾斜角不为90∘的直线的方程都可以表示为y=kx+b
C. 不经过原点的直线的方程都可以表示为xa+yb=1
D. 经过任意两个不同的点P1x1,y1、P2x2,y2直线的方程都可以表示为y−y1x2−x1=x−x1y2−y1
4. 过点P(1,2)引直线,使A(2,3),B(4,−5)到它的距离相等,则这条直线的方程是( )
A. 4x+y−6=0
B. x+4y−6=0
C. 2x+3y−7=0或x+4y−6=0
D. 3x+2y−7=0或4x+y−6=0
5. 已知实数x,y满足x|x|+y|y|3=1,则|3x+y−4|的取值范围是 ( )
A. [4−6,2) B. [4−6,4) C. 2−62,2 D. 2−62,4
6. △ABC的顶点A(4,3),AC边上的中线所在的直线为4x+13y−10=0,∠ABC的平分线所在直线方程为x+2y−5=0,求AC边所在直线的方程( )
A. x−8y+20=0 B. 2x−3y+1=0
C. 3x−5y+3=0 D. x−y+1=0
7. 已知圆C:x2+y2+2x−2my−4−4m=0(m∈R),则当圆C的面积最小时,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为( )
A. 5 B. 6 C. 5-1 D. 5+1
8. 已知点P为直线y=x+1上的一点,M,N分别为圆C1:(x−4)2+(y−1)2=4与圆C2:x2+(y−2)2=14上的点,则|PM|−|PN|的最大值为( )
A. 4 B. 92 C. 112 D. 7
二、多选题(本大题共4小题,共20.0分)
9. 设l1,l2为曲线f(x)=|lnx|的两条切线,切点分别为A,B,若l1⊥l2,且垂足为P,则下列说法正确的有( )
A. A,B两点的横坐标之和为定值 B. A,B两点的横坐标之积为定值
C. 直线AB的斜率为定值 D. P点横坐标的取值范围为(0,1)
10. 下列说法正确的是( )
A. 截距相等的直线都可以用方程xa+ya=1表示
B. 方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行y轴的直线
C. 经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tanθ(x-1)
D. 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
11. 已知lnx1−x1−y1+2=0,x2+2y2−4−2ln2=0,记M=x1−x22+y1−y22,
则( )
A. M的最小值为25 B. 当M最小时,x2=125
C. M的最小值为45 D. 当M最小时,x2=65
12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名,他发现:平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中,A−2,0、B4,0,点P满足PAPB=12,设点P所构成的曲线为C,下列结论正确的是( )
A. C的方程为x+42+y2=16
B. 在C上存在点D,使得AD=1
C. 在C上存在点M,使M在直线x+y−2=0上
D. 在C上存在点N,使得NO2+NA2=4
第II卷(非选择题)
三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13. 已知点P(x,y)满足x2+y2−4y=0,则t=y+2x的取值范围是 .
14. 给出下列五个命题:
①过点(−1,2)的直线方程一定可以表示为y−2=k(x+1)(k∈R)的形式;
②过点(−1,2)且在x,y轴截距相等的直线方程是x+y−1=0;
③过点M(−1,2)且与直线l:Ax+By+C=0(AB≠0)垂直的直线方程是B(x+1)+A(y−2)=0;
④设点M(−1,2)不在直线l:Ax+By+C=0(AB≠0)上,则过点M且与直线l平行的直线方程是A(x+1)+B(y−2)=0;
⑤点P(−1,2)到直线ax+y+a2+a=0的距离不小于2.
以上命题中,正确的序号是 .
15. 已知圆C1:x2+y2+2x−8y+8=0,若圆C2与圆C1关于直线y=−x+2对称,且与直线l:mx+y+m−2=0交于A、B两点,则|AB|的取值范围是 .
16. 已知点P在直线l:y=x+1上,过点P作圆C:x2+y2−2x+4y−4=0的切线,切点分别是A,B,AB的中点为Q,若点Q到直线l的距离为782,则点Q的坐标为 .
四、解答题(本大题共6小题,共70.0分)
17. 已知M(1,−1),N(2,2),P(3,0).
(1)求点Q的坐标,满足PQ⊥MN,PN//MQ.
(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.
18. 在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=1+cosαy=sinα(α为参数);在以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ;
(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)若射线l:y=kx(x≥0)与曲线C1,C2的交点分别为A,B(A,B异于原点),当斜率k∈[1,3)时,求|OA|⋅|OB|的取值范围.
19. 已知直线l过点A(4,1).
⑴若直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的12倍,求直线l的方程;
⑵已知ΔABC的一个顶点为A,AB边上的中线CM所在的直线方程为x-2y+2=0,AC边上的高BH所在的直线方程为2x+3y-2=0.求BC所在直线的方程.
20. 已知光线通过点A(2,3),经直线l:x+y+1=0反射,其反射光线通过点B(1,1),(1)求反射光线所在的方程;
(2)在直线l上求一点P,使PA=PB;
(3)若点Q在直线l上运动,求QA2+QB2的最小值.
21. 已知曲线C:1+ax2+1+ay2−4x+8ay=0,a∈R.
(1)当a取何值时,方程表示圆?
(2)求证:不论a为何值,曲线C必过两定点.
(3)当曲线C表示圆时,求圆面积最小时a的值.
22. 如图,圆M:x−22+y2=1,点P−1,t为直线l:x=−1上一动点,过点P引圆M的两条切线,切点分别为A,B.
(1)若t=−1,求切线所在直线方程;
(2)若两条切线PA,PB与y轴分别交于S、T两点,求ST的最小值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的简单几何性质及基本不等式的应用,同时考查直线的斜率,由已知得出k1k2=−m4,然后利用基本不等式求解即可.
【解答】
解: 设P(x1,y1),M(x0,y0),
因为P,M在椭圆上,
所以x124+y12m=1x024+y02m=1,
两式相减并变形得,y12−y02x12−x02=−m4,
因为M,N是椭圆上关于坐标原点对称的两点,
所以N(−x0,−y0),
因为直线PM,PN的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0),
所以k1k2=y1−y0x1−x0·y1+y0x1+x0=y12−y02x12−x02=−m4,
所以|k1|+|k2|≥2|k1||k2|=|m|,当|k1|=|k2|时取等号,
又|k1|+|k2|的最小值为1,
所以|m|=1,
又m>0且m≠4,
所以m=1.
故选A.
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系,属中档题.
设P点坐标为(x0,y0),Q点坐标为(x1,y1),因为AP=PQ,得Q(2x0+3,2y0).设直线AP斜率为k,分类讨论:(1)若P不在x轴上,解得:|x|>1;(2)若P在x轴上,则P,M重合,则M点横坐标为x=±1,故|x|≥1.
【解答】
解:设P点坐标为(x0,y0),Q点坐标为(x1,y1),
因为AP=PQ,所以(x0+3,y0)=(x1−x0,y1−y0),
解得:Q(2x0+3,2y0).
设直线AP斜率为k,
(1)若P不在x轴上,则k≠0,且k=y0x0+3,
因为,MP⊥AP,所以MP的斜率为k1=−x0−3y0,
MP的方程为y=−x0−3y0(x−x0)+y0,
BQ的方程为y−02y0−0=x−32x0,
所以MP、BQ的方程联立,消元得:(x02+y02+3x0)x=x0y02+x03+3(x02+y02),
因为P在圆上,所以x02+y02=1,
整理得:x=x0+31+3x0=33(1+23x0+1),
因为|x0|1;
(2)若P在x轴上,则P,M重合,则M点横坐标为x=±1.
综上所述:|x|≥1.
故答案为A.
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查直线方程的适用范围,注意直线的斜率是否存在,以及截距的定义,考查判断能力和推理能力,是基础题.,由点斜式方程可判断A;由直线的斜截式可判断B;讨论直线的截距是否为0,可判断C;由两点式的直线方程可判断D.
【解答】
解:
经过定点P(x0,y0)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y−y0=k(x−x0),故A正确;
经过定点A(0,b)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y=kx+b,故B正确;
不经过原点的直线的方程不一定都可以表示为xa+yb=1,比如x=a或y=b,故C错误;
过任意两个不同的点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)直线的方程都可以表示为:
(y−y1)(x2−x1)=(x−x1)(y2−y1),故D正确.
故选C.
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查直线方程的求法,考查直线斜率求法和中点坐标公式,考查分类讨论思想,属于拔高题.
分两种情况讨论: ①过P(1,2)且与直线AB平行的直线; ②过点P(1,2)与线段AB的中点C(3,−1)的直线,分别求解即可.
【解答】
解:由题意得kAB=−5−34−2=−4,
线段AB的中点为C(3,−1).
分两种情况讨论:①过P(1,2)且与直线AB平行的直线满足题意,
其方程为y−2=−4(x−1),
整理得4x+y−6=0;
②过点P(1,2)与线段AB的中点C(3,−1)的直线满足题意,
其方程为y−(−1)2−(−1)=x−31−3,
整理得3x+2y−7=0.
故满足条件的直线方程是4x+y−6=0或3x+2y−7=0,
故选D.
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了点到直线的距离公式,两平行直线间的距离,椭圆的概念及标准方程,直线与椭圆的位置关系,双曲线的概念及标准方程,双曲线的性质及几何意义和数形结合思想,属于较难题.
利用所给方程,结合椭圆和双曲线的方程得所给方程所表示的曲线C,作出曲线C和直线3x+y−4=0的图形,设Px,y是曲线C上一点,点P到直线3x+y−4=0的距离为d,利用点到直线的距离公式得|3x+y−4|=2d,利用两平行直线间的距离得直线3x+y=0与直线3x+y−4=0的距离为2,再利用双曲线渐近线性质得2d