中职高教版（2021）计数原理的应用教学设计及反思

这是一份中职高教版（2021）计数原理的应用教学设计及反思，共9页。教案主要包含了教学内容解析，教学目标设置，教学重难点设置，学生学情分析，教学过程设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
本节内容是中职数学高教版拓展模块一下册的8.1.3节，主题为“计数原理的应用”。主要围绕分类加法计数原理（加法原理）和分步乘法计数原理（乘法原理）展开教学，通过多个具体情境和例题，引导学生理解并掌握这两个计数原理在解决实际问题中的应用。
二、教学目标设置
知识与技能目标：使学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念，掌握其在解决不同计数问题时的运用方法，能够准确区分“分类”问题和“分步”问题，并运用相应的原理进行计算。
过程与方法目标：通过创设具体情境，引导学生分析问题，逐步分解复杂的计数问题为若干个简单问题，再进行整合，培养学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，让学生感受到数学知识在实际生活中的广泛应用，增强学生运用数学知识解决实际问题的意识和信心，培养学生的合作学习精神和探究精神。
三、教学重难点设置
重点：理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念及区别。
难点：在解决复杂计数问题时，如何合理地分解问题，将复杂问题转化为若干个简单问题，并正确整合各简单问题的计数结果。
四、学生学情分析
学生在之前的学习中已经接触过一些基本的计数问题，对简单的计数有一定的认识和理解，但对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的系统学习和深入理解还不够，缺乏对这两个原理在复杂问题中综合运用的能力。
中职学生在逻辑思维能力和抽象思维能力方面相对较弱，对于一些抽象的数学概念和原理的理解可能存在困难。在解决实际问题时，分析问题和解决问题的能力有待提高，尤其是在面对复杂的计数问题时，难以准确把握问题的本质，找到合适的解决方法。
五、教学过程设计
六、教学反思
针对学生在作业和课堂练习中出现的问题，进行详细分析和总结，找出学生知识掌握的薄弱点。在课后为学生提供针对性的辅导，针对不同层次的学生制定个性化的学习计划，帮助学生巩固基础知识，提升解题能力。对于学习困难的学生，重点讲解计数原理的基本概念和应用方法，通过一对一辅导和额外练习，逐步提高他们的学习信心和成绩；对于学有余力的学生，提供更具挑战性的拓展题目，引导他们深入探究计数原理的综合应用，培养他们的创新思维和解决问题的能力。
教学环节
解学内容
师生互动
设计意图
第一环节：新知引入环节
知识回顾
分类加法计数原理：一般地，如果完成一件事有n类方式. 第1类方式有k1种方法， 第2类方式有k2种方法，⋯ ⋯ ，第n类方式有kn种方法，那么完成这件事的方法共有
N= k1+k2+ ⋯ +kn (种).
上面的计数原理称为分类计数原理.分类计数原理又称加法原理.
分步计数原理：一般地，如果完成一件事有 n个步骤. 完成第一个步骤有 k₁种方法， 完成第2 个步骤有 k₂种方法, … , 完成第 n 个步骤有 kn种方法， 并且只有这 n 个步骤都完成后， 这件事才能完成， 那么完成这件事的方法共有
N= k₁k₂ … kn(种).
上面的计数原理称为分步计数原理.分类计数原理又称乘法原理.
方法点拨
（分解）→
复杂的计数问题 若干个简单问题的计数问题
（整合） ←
教师活动：
回顾分类计数原理、分步计数原理；指导复杂的计数问题的求解方法。
学生活动：
认真听讲，在教师的带领下掌握解题技巧。
第二环节：新课讲解环节
情境1
一个口袋内装有 3 个小球， 另一个口袋内装有 4 个小球， 所有这些小球的颜色各不相同.
(1)从两个口袋内任取1个小球， 有多少种不同的取法?
(2)从两个口袋内各取1个小球， 有多少种不同的取法?
分析(1)从两个口袋内任取1个小球， 有两
类方式： 第一类是从第一个口袋内任取 1 个
小球， 有k₁=3种取法； 第二类是从第二个口
袋内任取1个小球， 有k₂=4种取法；
(2) 从两个口袋内各取1个小球， 分为两个步骤来完成： 第一步是从第一个口袋内取1个小球， 有k₁=3种取法； 第二步是从第二个口袋内取1个小球， 有么k₂=4种取法.
情境2
学校开展“我和我的祖国”书面展，要从8幅学生作品中选出4幅分别挂在 1—4号四个不同的展位上， 一共有多少种不同的挂法?
分析 解决这个问题需要四个步骤： 第一步，从 8 幅作品中选择 1幅作品挂在 1 号展位，有 k₁=8种不同的选择； 第二步， 从剩下的7幅作品中选择一幅挂在2号展位上， 有k₂=7种不同的选择， 以此类推.
情境3
现有三个品牌的新能源电动汽车， 其中甲品牌有 3 种型号， 每种有4个颜色； 乙品牌有 4 种型号， 每种有 5个颜色； 丙品牌有5种型号，每种有3 个颜色. 若要从中选购一款， 他共有多少种不同的选择?
分析 解决这个问题要分别对甲、乙、丙三个汽车厂讨论， 并考虑每个汽车厂生产的汽车有多少种不同的款式. 需要综合运用分类计数原理和分步计数原理.
第 1 类： 从甲厂生产的汽车中选择， 分两步： 第1步选择汽车型号， 有3 种； 第2步选择汽车颜色, 有 4 个. 共k₁=3×4=12 种款式；
第2类： 从乙厂生产的汽车中选择， 分两步： 第1 步选择汽车型号， 有4 种； 第2步选择汽车颜色， 有5 个. 共有k₂=4×5=20种款式；
第 3 类： 从丙厂生产的汽车中选择， 分两步： 第1步选择汽车型号， 有5 种；
第2步选择汽车颜色，有3个.共有k₃=5×3=15种款式.
教师活动：
使用课件中的“情境1”、“情境2”和“情境3”来具体说明这两个原理的应用，引导学生理解原理背后的逻辑。
学生活动：
认真听讲，记录笔记；针对教师的讲解和情境示例，提出疑问或进行思考。
通过讲解和实例分析，帮助学生理解计数原理的基本概念和应用方法，为后续的学习打下坚实的基础。
第三环节：例题讲解环节
例1 一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色各不相同．
（1）从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋内各取1个小球，有多少种不同的取法？
解 （1）根据分类计数原理，不同的取法共有 3+4=7 （种） ；
（2）根据分步计数原理，不同的取法共有 3×4= 12 （种） ．
例2 学校开展“我和我的祖国”书面展，要从8幅学生作品中选出4幅分别挂在 1—4号四个不同的展位上， 一共有多少种不同的挂法?
解
根据分步计数原理，不同的挂法共有8×7×6×5=1680 （种）．
例3 现有三个品牌的新能源电动汽车， 其中甲品牌有 3 种型号， 每种有4个颜色； 乙品牌有 4 种型号， 每种有 5个颜色； 丙品牌有5种型号，每种有3 个颜色. 若要从中选购一款， 他共有多少种不同的选择?
解 第 1 类： 从甲厂生产的汽车中选择， 分两步： 第1步选择汽车型号， 有3 种； 第2步选择汽车颜色, 有 4 个. 共k₁=3×4=12 种款式；
第2类： 从乙厂生产的汽车中选择， 分两步： 第1 步选择汽车型号， 有4 种； 第2步选择汽车颜色， 有5 个. 共有k₂=4×5=20种款式；
第 3 类： 从丙厂生产的汽车中选择， 分两步： 第1步选择汽车型号， 有5 种；
第2步选择汽车颜色，有3个.共有k₃=5×3=15种款式.
根据分类计数原理和分步计数原理，不同的选择方法共有3×4+4×5+5×3=47(种)．
例 要让电路从A处到B处接通，可由多少条不同的路径？
解 电路从A处到B处接通，有三类方法：
第一类，选择第1条电路，有3种选择；
第二类，选择第2条电路，有1种选择；
第三类，选择第2条电路，分两步，第一步2种选择，第二步2种选择，共2×2=4中选择．
故根据分类加法计数原理，不同的路径总共有3+1+4=8条．
教师活动：
逐一讲解课件中的例题1、例题2和例题3，详细分析每个问题的解题思路和步骤；强调在解题过程中如何识别是分类问题还是分步问题，并应用相应的计数原理。
学生活动：
跟随教师的思路，理解每个例题的解题方法；在教师讲解过程中，积极思考并尝试自己解答。
通过具体的例题讲解，让学生学会如何将计数原理应用到实际问题中，提高学生的解题能力。
第四环节：小组合作环节
(1)若密码为4位，每位均为0~9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个?
解 (1)设置1个4位密码要分4步进行，每一步确定一位
数字，每一位上都可以从0~9这10个数字中任取1个，
有10种取法．
根据分步计数原理，4位密码的个数是10×10×10×10=10000．
(2)有5封不同的信，投到3个不同的信箱，有多少种不同的投法？如果是3封信投到5个信箱呢？
解 (2)有5封不同的信，投到3个不同的信箱，有35种不同的投法.
如果是3封信投到5个信箱，有53种不同的投法.
教师活动：
将学生分成小组，布置小组合作任务，如课件中的“小组合作”问题；在小组讨论过程中，巡视各组，提供指导和帮助，确保每个小组都能积极参与并有效解决问题。
学生活动：
在小组内积极讨论，共同解决问题，每个成员都承担一定的任务，如记录、计算等；小组讨论结束后，选派代表向全班展示小组的解答结果。
通过小组合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力，同时让学生在实践中进一步巩固对计数原理的理解和应用。
第五环节：课堂练习环节
1.某电路包含开关组 A 和开关组 B.
(1) 如左图所示， 若只闭合1 只开关接通电路， 使电灯发光， 有多少种不同的方法(开关组A 与开关组B是并联关系) ?
(2) 如右图所示, 若闭合 A、B中各 1只开关接通电路， 使电灯发光， 有多少种不同的方法(开关组 A 与开关组 B 是串联关系) ?
解 (1)按要求接通电路，只要在A中的3只开关或B中的2只开关中合上1只即可．
根据分类加法计数原理，共3+3=5有种不同的方法．
(2)按要求接通电路必须分两步进行：
第一步，合上A中的1只开关；
第二步，合上B中的1只开关．
根据分步乘法计数原理，共有2×3=6种不同的方法．
2.从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选择两名同学参加学校羽毛球、跳绳两个活动，每人最多只能参加一项， 一共有多少种选择?
解 我们可以将这个问题分为两个步骤：
第1步，选择参加羽毛球活动的同学：
有4名同学（甲、乙、丙、丁）可以选择参加羽毛球活动。因此，有4种可能的选择。
第2步，选择参加跳绳活动的同学：
在选择了参加羽毛球活动的同学之后，剩下3名同学可以选择参加跳绳活动。因此，有3种可能的选择。
根据分步乘法计数原理，共有4×3=12种不同的选择．
3.有9个互不相同的小球， 其中 4个红球、3个绿球和2个黄球.现从中取两个颜色相同的球， 分别放入两个不同的杯子， 一共有多少种放法?
解 第一步，取两个颜色相同的球：
第1类，有4个红球，从4个红球中取2个红球的方式数为4×3/2 =6.
第2类，有3个绿球，从3个绿球中取2个绿球的方式数为3.
第3类，有2个黄球，从2个黄球中取2个黄球的方式数为1.
取两个颜色相同的球的总方式数为6+3+1=10.
第二步，将两个球放入两个不同杯子：
将2个球放入2个杯子的方法数是2.
根据分步乘法计数原理，共有10×2=20种不同的放法．
教师活动：
出示课件中的课堂练习题目；巡视教室，观察学生的练习情况，及时解答学生在练习过程中遇到的问题。
学生活动：
独立完成课堂练习题目，运用所学的计数原理解决问题；在完成练习后，与同桌或周围的同学交流答案和解题思路。
通过课堂练习，检验学生对本节课知识的掌握程度，及时发现并解决学生在学习过程中存在的问题。
第六环节：课堂小结环节
（分解）→
复杂的计数问题 若干个简单问题的计数问题
（整合） ←
教师活动：
引导学生回顾本节课所学的主要内容，包括分类加法计数原理和分步乘法计数原理的定义、应用方法以及解题步骤；总结本节课的重点和难点，强调在解决计数问题时需要注意的事项。
学生活动：
积极参与回顾和总结，与教师和其他同学交流自己的学习心得和体会。
通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的知识点，加深对计数原理的理解和记忆，同时让学生明确本节课的重点和难点。
第七环节：作业布置环节
教师活动：
布置不同层次的作业，包括基础作业、中等作业和拓展作业；强调作业的完成要求和提交时间。
学生活动：
记录作业内容和要求，明确作业的完成方法和时间安排。
通过布置不同层次的作业，满足不同学生的学习需求，巩固本节课所学知识，同时为下一节课的学习做好准备。