【暑假预习】第16讲 指数及其指数运算-2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)（含答案）

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第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：5大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a (a＞0使有意义)；
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
知识点2 分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；
正数的负分数指数幂的意义是＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；
0的正分数指数幂等于0；
0的负分数指数幂没有意义.
有理指数幂的运算性质：
aras＝ar+s；
(ar)s＝ars；
(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
知识点3 指数的运算和逆运算
指数幂的运算中常用的乘法公式
完全平方公式：
平方差公式：；
立方差公式：；
立方和公式：；
完全立方公式：
指数的运算和逆运算，遇到多重根号问题，需要先写成指数形式：
例： .
指数的逆运算过程：
.
考点一 指数与指数幂的运算
1．填空：
（1）27的3次方根表示为 ；
（2）的3次方根表示为 ；
（3）16的4次方根表示为 ．
2．计算：
(1)；
(2).
3．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
4．化简（式中的字母均为正实数）：
(1)；
(2)．
5．用分数指数幂表示下列各式（式中的字母均为正实数）：
(1)；
(2)；
(3)．
考点二 根式的化简求职
1．化简： .
2．计算： .
3．计算：．
4．化简：
（1）（）；
（2）；
（3）（）；
（4）（）.
5．求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）.
考点三 无理数指数幂的运算
1．用分数指数幂的形式表示下列各式（）：
(1)；
(2)；
(3)．
2．求下列各式的值（式中字母都是正数）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
3．已知，，对任意的实数，求证：．
4．设，，求证：函数（）是奇函数.
5．设a，b是正数，下列各题中的两个代数式是否恒等？为什么？
（1）与；（2）与；
（3）与；（4）与.
考点四 分数指数幂与根式的互化
1．设，m，n是正整数，且，则下列各式；；；正确的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
2．利用分数指数幂计算：.
3．用分数指数幂表示下列各式：
（1）（）；（2）；
（3）；（4）（）；
（5）（）；（6）（）；
（7）；（8）（）.
4．用根式的形式表示下列各式（）：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
5．用分数指数幂的形式表示下列各式（）：
（1）；
（2）；
（3）.
考点五 指数幂的化简求值
1．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
2．已知，求的值．
3．化简下列各式：
(1)；
(2)．
4．若，求的值．
5．已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
知识导图记忆
知识目标复核
1．根式的定义
2．分数指数幂的运算
3．实数指数幂的运算性质
4. 无理数指数幂
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．B．C．3D．
2．下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若，，则下列式子值为的是（ ）
A．B．C．D．
4．的分数指数幂表示为（ ）
A．B．C．D．都不对
5．设，那么（ ）
A．B．C．D．
6．计算：（ ）
A．0B．1C．100D．5
7．满足，的有序实数组可以是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．已知，下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．的运算结果是
B．16的4次方根是2
C．当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义
D．当n为大于1的奇数时，对任意都有意义
10．已知，则下列函数值计算正确的有（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．设函数，则 ．
12．若，则 ．
13．从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则第5次倒出的纯酒精的升数为 ．
14．某企业计划对生产线进行技术升级，第一年投入研发资金50万元，之后每年投入资金是上一年的1.2倍，则该企业连续8年投入研发的总资金是 万元.（结果保留整数）
四、解答题
15．完成下列式子的化简：
(1)；
(2)．
16．计算下列各题：
(1)；
(2)．
17．计算下列各式：
(1)；
(2)．
18．用分数指数幂表示下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．教材习题01
已知，，求的值．
解题方法
因为，
所以，
故可得.
【答案】
教材习题02
计算：
(1)；
(2)．
解题方法
（1）
.
（2）
.
【答案】(1)
(2)
教材习题03
把下列各式中的写成负分数指数幂的形式：
(1)；
(2)；
(3)．
解题方法
（1），；
（2），；
（3），．
【答案】(1)
(2)
(3)