2024-2025学年上海市同济大学第二附属中学高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市同济大学第二附属中学高二下学期期末考试数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个志愿者组织有成员45人，40岁以上的成员有25人，如果按照年龄进行分层随机抽样，要抽取一个容量为18的样本，则应抽取40岁以上成员的人数为( )
A. 12B. 10C. 8D. 6
2.已知随机事件A、B，B表示事件B的对立事件，P(A)=0.4，P(B)=0.6，则下面结论正确的是( )
A. 事件A与B一定是对立事件
B. P(A∪B)=1
C. P(AB)=0.24
D. 若事件A、B相互独立，则PAB=0.16
3.已知随机变量X的分布列为
若D(X)=p4(0D(Y)；③E(X)=E(ξ)；④D(X)b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，线段PF1与y轴相交于点Q.若5QF1=7PF2，且∠F1PF2=60∘，则C的离心率为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知直线l1:mx+3y+1=0；l2:x+(m+2)y+2m−1=0
(1)若l1//l2，求实数m的值；
(2)若不经过坐标原点的直线l2在两个坐标轴上的截距相等，求实数m的值．
18.(本小题14分)
为积极参与马拉松比赛，某中学决定从3000名学生随机抽取100名学生进行体能检测，这100名学生进行了15公里的马拉松比赛，比赛成绩(分钟)的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是[50,60),[60,70)，[70,80),[80,90)，[90,100]．

(1)求图中a的值，并估计这100名学生比赛成绩的平均数；
(2)根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学生中约有多少名学生能在80分钟内完成15公里马拉松比赛?
19.(本小题14分)
已知抛物线C:y2=2px(p>0)与椭圆E:x24+y23=1有一个相同的焦点，过抛物线C焦点的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且|AB|=8．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求直线l的方程．
20.(本小题14分)
时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
(1)是否有99.9％的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？
(2)统计学中常用R BA=P BAP BA表示在事件A条件下事件B发生的优势，称为似然比，当R BA≥1.35时，我们认为事件A条件下B发生有优势．现从这200人中任选1人，A表示“选到的主播带货良好”，B表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计R BA的值，并判断事件A条件下B发生是否有优势；
(3)现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数X的概率分布和数学期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
21.(本小题14分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点A在直线l:x−y+2=0上，C的左焦点为F，点B(0,−2 2),FB⊥l．M为C的右支上一动点．
(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)过点F且斜率为 3的直线与C的左支交于D，E两点，求▵DEM的面积的最小值；
(3)设N为C的左支上与A不重合的一动点，若直线l平分∠MAN，证明：直线MN恒过定点．
答案解析
1.【答案】B
【解析】【分析】计算分层抽样的抽取比例乘以样本容量可得答案．
【详解】因为分层抽样的抽取比例为1845，所以应抽取40岁以上成员的人数为25×1845=10．
故选：B
2.【答案】D
【解析】【分析】举例判断AB，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解P(A∪B),P(AB)，即可判断C，结合对立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解PAB判断D．
【详解】对于AB，一个密封的盒子中有标号为1，2，3，4，5的5个小球从中任取1球，
记事件A：从中取出球的标号为1，2，事件B：从中取出球的标号为1，2，3，
则P(A)=0.4,P(B)=0.6，满足P(A)+P(B)=1，但A,B不是对立事件，故A错误；
由上例可知P(A∪B)=P(B)=0.6，故B错误；
对于C，P(AB)=P(A)P(B)仅在事件A、B相互独立时才成立，而不知道事件A、B的关系，故不确定P(AB)的值，错误．
对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、B也相互独立，
所以PAB=P(A)⋅PB=P(A)⋅1−P(B)=0.4×(1−0.6)=0.16，正确．
故选：D
3.【答案】D
【解析】【分析】由均值与方差的计算概念，可得答案．
【详解】由题意可得E(X)=0×p+1×(1−p)=1−p，
则D(X)=(0−1+p)2×p+(1−1+p)2×(1−p)=p4，解得p=34．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】设曲线C上一点P(x,y)，其绕原点O顺时针旋转π4后对应的曲线E上的点为P′x,y′，然后根据旋转变换公式列方程组表示出x,y，代入曲线C的方程化简可得结果．
【详解】设曲线C上一点P(x,y)，其绕原点O顺时针旋转π4后对应的曲线E上的点为P′x′,y′，
则x′=xcs7π4−ysin7π4y′=xsin7π4+ycs7π4，即x′= 22x+ 22yy′=− 22x+ 22y,
所以x= 22(x′−y′)y= 22(y′+x′),
所以 22(x′−y′)2+ 22(x′+y′)2− 22(x′−y′) 22(x′+y′)=3，
所以12(x′−y′)2+12(x′+y′)2−12(x′2−y′2)=3，
所以x′2−2x′y′+y′2+x′2+2x′y′+y′2−x′2+y′2=6，
所以x′2+3y′2=6，即x′26+y′22=1．
所以曲线E的方程为x26+y22=1．
故选：B
5.【答案】x=−2
【解析】【分析】由题意结合抛物线的标准方程确定其准线方程即可．
【详解】由抛物线方程y2=8x可得2p=8，则p2=2，故准线方程为x=−2．
故答案为x=−2．
【点睛】本题主要考查由抛物线方程确定其准线的方法，属于基础题．
6.【答案】18/0.125
【解析】【分析】根据条件概率公式即可求解．
【详解】P(A∩B)=P(B|A)P(A)=12×14=18，
故答案为：18．
7.【答案】5
【解析】【详解】根据椭圆的定义确定点P的轨迹，进而得到椭圆参数，再由椭圆参数关系求参数值．
【分析】因为|PA|+|PB|=6>|AB|=4，
所以点P的轨迹是以A(−2,0),B(2,0)为焦点的椭圆．
易知2a=6,2c=4，即a=3,c=2，
所以n=a2−c2=32−22=5．
故答案为：5
8.【答案】0.5/12
【解析】【分析】根据正态分布的性质，即正态分布曲线关于均值对称，结合已知条件求出a的值．
【详解】已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，根据正态分布的性质可知，正态分布曲线关于均值μ=2对称．
因为P(X≤3.5)=0.7，P(X≤a)=0.3，且0.7+0.3=1，根据正态分布曲线的对称性可知，3.5与a关于对称轴x=2对称．
已知3.5与a关于x=2对称，所以3.5+a2=2，可得：3.5+a=4，
移项可得：a=4−3.5=0.5．
故答案为：0.5．
9.【答案】33
【解析】【分析】由题意可得数据的个数，根据百分位数的定义，可得答案．
【详解】由题意可知共有12个数据，且12×30％=3.6，则第30百分位数为33．
故答案为：33．
10.【答案】−∞,− 3∪[1,+∞)
【解析】【分析】首先利用两点式斜率公式求出kPA，kPB，再结合图象即可求出直线l的斜率的取值范围．
【详解】设点P(0,−2)，依题意kPA=−2−10−3=1，kPB=−2−40−−2 3=− 3．
因为直线l与线段AB有交点，所以kl≤− 3或kl≥1，
由图可知直线l的斜率的取值范围是−∞,− 3∪[1,+∞)．
故答案为：−∞,− 3∪[1,+∞)．
11.【答案】0.51/51100
【解析】【分析】理解题干中的条件概率，利用全概率公式求解即可．
【详解】设事件A=“发送的信号为0”，事件B=“接收的信号为1”，
则P(A)=PA=0.5，P(B|A)=0.07，PB|A=0.95，
因此P(B)=P(A)P(B|A)+PAPB|A=0.5×(0.07+0.95)=0.51．
故答案为：0.51．
12.【答案】15.5
【解析】【分析】求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程后可求得a的值．
【详解】由表格中的数据可得x=1+2+3+44=2.5，y=14+15+17+144=15，
所以回归直线y=−0.2x+a过点(2.5,15)，则−0.2×2.5+a=15，解得a=15.5．
故答案为：15.5．
13.【答案】 10+1
【解析】【分析】先确定点N的轨迹为圆，再根据圆外一点到圆上的点的距离的最值的求法确定|MN|的最大值．
【详解】如图：
因为直线x−ky−2=0过点C(2,0)，
设直线与圆x2+y2=8相交于A,B两点，N为AB中点，则ON⊥AB．
当点N,C重合时，在Rt▵ONC中，D(1,0)为OC中点，所以|DN|=12|OC|=1．
所以弦AB的中点N在以D(1,0)为圆心，1为半径的圆上，易知点C也在该圆上．
所以|MN|≤|MD|+|DN|= 32+12+1= 10+1．
故答案为： 10+1
14.【答案】1
【解析】【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，得出点B坐标，再结合双曲线的定义可得答案．
【详解】由题意可作图如下：
由x2a2−y29−a2=1，则b2=9−a2，c= a2+b2=3，
则F1(−3,0)，F2(3,0)，
设BxB,yB,yB0)．
根据椭圆的定义：|PF1|+|PF2|=2a，且|QF1|=|QF2|，
则|PQ|+|QF2|+|PF2|=2a，得到|PQ|=2a−12k,|PF1|=2a−5k．
在▵QPF2中，根据余弦定理|QF2|2=|PQ|2+|PF2|2−2|PQ||PF2|cs∠F1PF2，
可得：(7k)2=(2a−12k)2+(5k)2−2×(2a−12k)×5k×cs60°，
化简得到4a2−58ak+180k2=0，即2a2−29ak+90k2=0，
则(a−10k)(2a−9k)=0，则a=10k或a=92k，
当a=10k，则a10=k，
在▵F1PF2中，|PF1|=32a，|PF2|=12a，|F1F2|=2c，∠F1PF2=60°，
根据余弦定理|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|cs∠F1PF2，
可得：(2c)2=(32a)2+(12a)2−2×32a×12a×cs60°，
可得：4c2=74a2，则c2a2=716，
可得e=ca= 716= 74．
当a=92k时，|PQ|=2a−12k0)的焦点坐标为(1,0)，∴p2=1，即p=2．
∴抛物线C的方程为y2=4x．
(2)易知直线l不与x轴重合，又直线l过焦点(1,0)，
设直线l的方程为x=my+1，Ax1,y1、Bx2,y2，
联立y2=4xx=my+1，消去x并整理得y2−4my−4=0，则Δ=16m2+16>0，
∴y1+y2=4m，∴x1+x2=my1+1+my2+1=my1+y2+2=4m2+2，
∴|AB|=x1+x2+p=4m2+4=8，解得m=±1．
∴直线l的方程为y=x−1或y=−x+1．

【解析】【分析】(1)求出抛物线的焦点坐标，可得出p的值，由此可得出抛物线的标准方程；
(2)设直线l的方程为x=my+1，Ax1,y1、Bx2,y2，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合抛物线的焦点弦长公式可得出m的值，即可得出直线l的方程．
20.【答案】【详解】(1)由题意得χ2=200×(60×70−40×30)2100×100×90×110=18.182．
由于18.182>10.828，所以有99.9％的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联．
(2)R( BA)=P( BA)P( BA)=P(AB)P(A)P(AB)P(A)=P(AB)P(AB)=n(AB)n(AB)=7040=74=1.75，
因为1.75>1.35，所以认为在事件A条件下B发生有优势．
(3)按照分层抽样，直播带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，
随机变量X的可能取值为1，2，3，
P(X=1)=C31⋅C22C53=310，
P(X=2)=C32⋅C21C53=610=35，
P(X=3)=C33C53=110，
所以X的分布列为：
所以数学期望EX=1×310+2×35+3×110=95．

【解析】【分析】(1)根据公式可求χ2的值，结合临界值表可判断是否有99.9％的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联．
(2)根据条件概率公式可求R BA，据此值可判断在事件A条件下B发生有优势．
(3)利用超几何分布可求X的分布列，根据公式可求其期望．
21.【答案】【详解】(1)依题意，点A(−2,0)，设F(−c,0),c>0，由B(0,−2 2),FB⊥l，得−2 2−00−(−c)=−1，
解得c=2 2，而a=2，因此b2=c2−a2=4，双曲线C的方程为x24−y24=1，
所以双曲线C的渐近线方程为x±y=0．
(2)由(1)知，F(−2 2,0)，直线DE的方程为y= 3(x+2 2)，
由y= 3(x+2 2)x2−y2=4消去y得x2+6 2x+14=0，解得x=−3 2±2，
则|DE|= 1+( 3)2|−3 2+2−(−3 2−2)|=8，
▵DEM的面积最小，当且仅当点M到直线DE的距离最小，
平移直线DE与双曲线C的右支相切的切点M0到直线DE的距离最小，
设切线方程为y= 3x+m，由y= 3x+mx2−y2=4消去y得2x2+2 3mx+m2+4=0，
Δ=12m2−8(m2+4)=0，解得m=±2 2，
当m=2 2时，直线DE与双曲线C的左支相切，不符合题意，因此m=−2 2，
因此点M0到直线DE的距离为点(0,−2 2)到直线DE的距离d=2 6+2 22= 6+ 2，
所以求▵DEM的面积的最小值为S=12|DE|⋅d=4( 6+ 2)．
(3)依题意，直线MN斜率存在，设其方程为y=kx+t，M(x1,y1),N(x2,y2)，
由N为双曲线C的左支上与A不重合的点，得t≠2k，
设点M关于直线l:x−y+2=0对称点为M′(x0,y0)，则x0+x12−y0+y12+2=0y0−y1x0−x1=−1,
解得x0=y1−2,y0=x1+2，由直线l平分∠MAN，得M′(y1−2,x1+2)在直线AN上，
而AN=(x2+2,y2),AM′=(y1,x1+2)，则y1y2−(x1+2)(x2+2)=0，
即(kx1+t)(kx2+t)−(x1+2)(x2+2)=0，整理得(k2−1)x1x2+(kt−2)(x1+x2)+t2−4=0，
由y=kx+tx2−y2=4消去y得(k2−1)x2+2ktx+t2+4=0，k2−10,
x1+x2=−2ktk2−1,x1x2=t2+4k2−1，因此(k2−1)⋅t2+4k2−1+(kt−2)⋅−2ktk2−1+t2−4=0，
整理得t(t−2k)=0，而t≠2k，解得t=0，直线MN：y=kx过定点(0,0)，
所以直线MN恒过定点(0,0)．

【解析】【分析】(1)根据给定条件，结合斜率坐标公式求出a,b,c，即可求出双曲线C的渐近线方程．
(2)求出直线DE的方程，平移直线DE与双曲线右支相切，求出面积最小值．
(3)设出直线MN，与双曲线方程联立，利用韦达定理及对称关系建立方程求解．
X
0
1
P
p
1−p
2
7
8
3
1
3
6
6
8
4
0
5
5
2
4
8
第x天
1
2
3
4
最低气温y(单位 ∘C)
14
17
15
14
直播带货评级主播的学历层次
优秀
良好
合计
本科及以上
60
40
100
专科及以下
30
70
100
合计
90
110
200
α=Pχ2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
X
1
2
3
P
310
35
110