2024-2025学年上海市同济大学第二附属中学高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市同济大学第二附属中学高二下学期期末考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个志愿者组织有成员45人，40岁以上的成员有25人，如果按照年龄进行分层随机抽样，要抽取一个容量为18的样本，则应抽取40岁以上成员的人数为( )
A. 12B. 10C. 8D. 6
2.已知随机事件A、B，B表示事件B的对立事件，P(A)=0.4，P(B)=0.6，则下面结论正确的是( )
A. 事件A与B一定是对立事件
B. P(A∪B)=1
C. P(AB)=0.24
D. 若事件A、B相互独立，则PAB=0.16
3.已知随机变量X的分布列为
若D(X)=p4(0D(Y)；③E(X)=E(ξ)；④D(X)b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，线段PF1与y轴相交于点Q.若5QF1=7PF2，且∠F1PF2=60∘，则C的离心率为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知直线l1:mx+3y+1=0；l2:x+(m+2)y+2m−1=0
(1)若l1//l2，求实数m的值；
(2)若不经过坐标原点的直线l2在两个坐标轴上的截距相等，求实数m的值．
18.(本小题14分)
为积极参与马拉松比赛，某中学决定从3000名学生随机抽取100名学生进行体能检测，这100名学生进行了15公里的马拉松比赛，比赛成绩(分钟)的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是[50,60),[60,70)，[70,80),[80,90)，[90,100]．

(1)求图中a的值，并估计这100名学生比赛成绩的平均数；
(2)根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学生中约有多少名学生能在80分钟内完成15公里马拉松比赛?
19.(本小题14分)
已知抛物线C:y2=2px(p>0)与椭圆E:x24+y23=1有一个相同的焦点，过抛物线C焦点的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且|AB|=8．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求直线l的方程．
20.(本小题14分)
时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
(1)是否有99.9％的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？
(2)统计学中常用R BA=P BAP BA表示在事件A条件下事件B发生的优势，称为似然比，当R BA≥1.35时，我们认为事件A条件下B发生有优势．现从这200人中任选1人，A表示“选到的主播带货良好”，B表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计R BA的值，并判断事件A条件下B发生是否有优势；
(3)现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数X的概率分布和数学期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
21.(本小题14分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点A在直线l:x−y+2=0上，C的左焦点为F，点B(0,−2 2),FB⊥l．M为C的右支上一动点．
(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)过点F且斜率为 3的直线与C的左支交于D，E两点，求▵DEM的面积的最小值；
(3)设N为C的左支上与A不重合的一动点，若直线l平分∠MAN，证明：直线MN恒过定点．
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.B
5.x=−2
6.18/0.125
7.5

9.33
10.−∞,− 3∪[1,+∞)

12.15.5
13. 10+1
14.1
15.①③④
16. 74/14 7
17.【详解】(1)当l1//l2时，满足m(m+2)=3m(2m−1)≠1，解得m=−3．
所以实数m的值为−3．
(2)因为l2:x+(m+2)y+2m−1=0．
且由题意可知m+2≠02m−1≠0，所以解得m≠−2且m≠12，
令x=0，得y=1−2mm+2，令y=0，得x=1−2m，
所以1−2mm+2=1−2m，解得m=−1．
所以实数m的值为−1．

18.【详解】(1)由频率分布直方图得10(2a+0.04+0.03+0.02)=1，解得a=0.005，
这100名学生比赛成绩的平均数为
55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73；
(2)由频率分布直方图可知，样本中能在80分钟内完成15公里马拉松比赛的频率为
10×(0.005+0.04+0.03)=0.75，
所以该校3000名学生中能在80分钟内完成15公里马拉松比赛的学生人数约为
3000×0.75=2250名.

19.【详解】(1)∵椭圆E:x24+y23=1的焦点坐标为(±1,0)，
∴抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，∴p2=1，即p=2．
∴抛物线C的方程为y2=4x．
(2)易知直线l不与x轴重合，又直线l过焦点(1,0)，
设直线l的方程为x=my+1，Ax1,y1、Bx2,y2，
联立y2=4xx=my+1，消去x并整理得y2−4my−4=0，则Δ=16m2+16>0，
∴y1+y2=4m，∴x1+x2=my1+1+my2+1=my1+y2+2=4m2+2，
∴|AB|=x1+x2+p=4m2+4=8，解得m=±1．
∴直线l的方程为y=x−1或y=−x+1．

20.【详解】(1)由题意得χ2=200×(60×70−40×30)2100×100×90×110=18.182．
由于18.182>10.828，所以有99.9％的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联．
(2)R( BA)=P( BA)P( BA)=P(AB)P(A)P(AB)P(A)=P(AB)P(AB)=n(AB)n(AB)=7040=74=1.75，
因为1.75>1.35，所以认为在事件A条件下B发生有优势．
(3)按照分层抽样，直播带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，
随机变量X的可能取值为1，2，3，
P(X=1)=C31⋅C22C53=310，
P(X=2)=C32⋅C21C53=610=35，
P(X=3)=C33C53=110，
所以X的分布列为：
所以数学期望EX=1×310+2×35+3×110=95．

21.【详解】(1)依题意，点A(−2,0)，设F(−c,0),c>0，由B(0,−2 2),FB⊥l，得−2 2−00−(−c)=−1，
解得c=2 2，而a=2，因此b2=c2−a2=4，双曲线C的方程为x24−y24=1，
所以双曲线C的渐近线方程为x±y=0．
(2)由(1)知，F(−2 2,0)，直线DE的方程为y= 3(x+2 2)，
由y= 3(x+2 2)x2−y2=4消去y得x2+6 2x+14=0，解得x=−3 2±2，
则|DE|= 1+( 3)2|−3 2+2−(−3 2−2)|=8，
▵DEM的面积最小，当且仅当点M到直线DE的距离最小，
平移直线DE与双曲线C的右支相切的切点M0到直线DE的距离最小，
设切线方程为y= 3x+m，由y= 3x+mx2−y2=4消去y得2x2+2 3mx+m2+4=0，
Δ=12m2−8(m2+4)=0，解得m=±2 2，
当m=2 2时，直线DE与双曲线C的左支相切，不符合题意，因此m=−2 2，
因此点M0到直线DE的距离为点(0,−2 2)到直线DE的距离d=2 6+2 22= 6+ 2，
所以求▵DEM的面积的最小值为S=12|DE|⋅d=4( 6+ 2)．
(3)依题意，直线MN斜率存在，设其方程为y=kx+t，M(x1,y1),N(x2,y2)，
由N为双曲线C的左支上与A不重合的点，得t≠2k，
设点M关于直线l:x−y+2=0对称点为M′(x0,y0)，则x0+x12−y0+y12+2=0y0−y1x0−x1=−1,
解得x0=y1−2,y0=x1+2，由直线l平分∠MAN，得M′(y1−2,x1+2)在直线AN上，
而AN=(x2+2,y2),AM′=(y1,x1+2)，则y1y2−(x1+2)(x2+2)=0，
即(kx1+t)(kx2+t)−(x1+2)(x2+2)=0，整理得(k2−1)x1x2+(kt−2)(x1+x2)+t2−4=0，
由y=kx+tx2−y2=4消去y得(k2−1)x2+2ktx+t2+4=0，k2−10,
x1+x2=−2ktk2−1,x1x2=t2+4k2−1，因此(k2−1)⋅t2+4k2−1+(kt−2)⋅−2ktk2−1+t2−4=0，
整理得t(t−2k)=0，而t≠2k，解得t=0，直线MN：y=kx过定点(0,0)，
所以直线MN恒过定点(0,0)．
X
0
1
P
p
1−p
2
7
8
3
1
3
6
6
8
4
0
5
5
2
4
8
第x天
1
2
3
4
最低气温y(单位 ∘C)
14
17
15
14
直播带货评级主播的学历层次
优秀
良好
合计
本科及以上
60
40
100
专科及以下
30
70
100
合计
90
110
200
α=Pχ2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
X
1
2
3
P
310
35
110