2024-2025学年上海市同济大学第一附属中学高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市同济大学第一附属中学高二上学期期末考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.空间中有两个不同的平面α,β和两条不同的直线m,n，则下列说法中正确的是( )
A. 若α⊥β,m⊥α,n⊥β，则m⊥nB. 若α⊥β,m⊥α,m⊥n，则n⊥β
C. 若α//β,m//α,n//β，则m//nD. 若α//β,m//α,m//n，则n//β
2.已知事件A和事件B满足A∩B=⌀，则下列说法正确的是( )．
A. 事件A和事件B独立B. 事件A和事件B互斥
C. 事件A和事件B对立D. 事件A和事件B互斥
3.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P为线段A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是( )
A. DD1B. ACC. AD1D. B1C
4.小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设F1(−1,0)、F2(1,0)是平面直角坐标系xOy内的两个定点，满足|PF1|⋅|PF2|=2的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论：
①曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形；
②动点P的横坐标的取值范围是[− 3, 3]；
③|OP|的取值范围是[1, 3]；
④△PF1F2的面积的最大值为1．
其中正确结论的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.直线x−y+1=0的倾斜角 ．
6.圆柱的底面半径为3，高为4，其侧面积为 ．
7.在空间直角坐标系中，点A(1,2,−3)关于xOz平面对称的点的坐标是 ．
8.若一组数据x1,x2,x3的方差为3，则2x1+1,2x2+1,2x3+1的方差为 ．
9.某校抽取100名学生测量他们的身高，其山最大值为188cm，最小值154cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为 ．
10.为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下(按从小到大的顺序排列，单位：kg)
56 56 57 58 59 59 61 63 64 65 66 68 69 70 73 74 83
据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为 kg．
11.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，其中m,n∈N.若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则m⋅n= ．
12.正四面体相邻两个面所成二面角的余弦值为 ．
13.已知A、B、C是半径为1的球面上的三点，若AB=AC=1，则BC的最大值为 ．
14.已知抛物线y2=4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为 ．
15.在▵ABC中，AB=5,AC=7,BC=6，则以B,C为焦点，且过A点的双曲线的离心率为 ．
16.设Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3是平面曲线x2+y2=2x−4y上任意三个不同的点，则T=x1y2−x2y1+x2y3−x3y2的最大值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA=PB=AD=3,AB=4，且平面PAB⊥底面ABCD．

(1)求该四棱锥的体积；
(2)求异面直线PC和AB所成角的余弦值．
18.(本小题12分)
设fx=sinωxω>0．
(1)当函数y=fx的最小正周期为2π时，求y=fx+csx在0,π上的最大值；
(2)若ω=2，且在▵ABC中，角A､B､C所对的边长为a､b､c，锐角A满足fA+π6=0,AB⋅AC=2，求a的最小值．
19.(本小题12分)
一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片．
(1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件A表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”，求PA；
(2)若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，事件B表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件C表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证B,C是独立的，并说明理由．
20.(本小题12分)
已知过点P3, 2的双曲线C的渐近线方程为x± 3y=0.如图所示，过双曲线C的右焦点F作与坐标轴都不垂直的直线l交C的右支于A,B两点．

(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若双曲线C上的点Qx0,y0到其两条渐近线的距离分别为d1,d2，求d1d2的值；
(3)已知点Q32,0，求证：∠AQF=∠BQF．
21.(本小题12分)
如图，设椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1､F2为Γ的左､右焦点，过点F1的直线l与Γ交于A､B两点．
(1)若椭圆Γ的离心率为12,▵F1F2A的周长为6，求椭圆Γ的方程；
(2)求证：1F1A+1F1B为定值；
(3)是否存在直线l，使得△ABF2为等腰直角三角形？若存在，求出Γ的离心率e的值，若不存在，请说明理由．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】π4
6.【答案】24π
7.【答案】1,−2,−3
8.【答案】12
9.【答案】7
10.【答案】69
11.【答案】24
12.【答案】13
13.【答案】 3
14.【答案】4 2
15.【答案】3
16.【答案】15 3
17.【答案】解：(1)等腰▵PAB中，设边AB的中点为E，易知PE⊥AB，
因为平面PAB⊥底面ABCD，且PAB∩底面ABCD=AB，
则PE⊥平面ABCD，在Rt▵PAE中，PA=3,AE=2，所以PE= 5，
则体积V=13S矩形ABCD×h=13×3×4× 5=4 5．
(2)法一：因为AB/​/CD，
所以∠PCD即为异画直线PC和AB所成的角或其补角；
由(1)知平面PAB⊥底面ABCD，且平面PAB∩底面ABCD=AB
矩形ABCD中，CB⊥AB，
因为平面PAB⊥底面ABCD，且PAB∩底面ABCD=AB，
所以CB⊥面PAB，又因为PB⊂面PAB，从而CB⊥PB，
Rt▵PBC中，PB=BC=3，所以PC=3 2
同理可得PD=3 2,▵PCD中，PC=PD=3 2,CD=4，
由余弦定理可得cs∠PCD=PC2+CD2−PD22PC⋅CD
=18+16−182×3 2×4= 23，
所以异面直线PC和AB所成角的余弦值为 23．
法二：以AB的中点为E为原点，
EB,EP为x,z轴建立空间坐标系，

则P0,0, 5,B2,0,0,A−2,0,0,C2,3,0，
所以AB=4,0,0,PC=2,3,− 5，
csPC,AB=PC⋅ABPC⋅AB=8 4+9+5⋅4= 23，
所以异面直线PC和AB所成角余弦值为 23．

18.【答案】解：(1)因为函数y=fx的最小正周期为2π，所以ω=1，
故y=fx+csx=sinx+csx= 2sinx+π4，
由于x∈0,π，所以x+π4∈π4,5π4，
故当x+π4=π2，即x=π4时，取到最大值 2．
(2)当ω=2，所以fx=sin2x，
故当fA+π6=0时，sin2A+π3=0，即2A+π3=kπ,k∈Z，
由于A为锐角，解得A=π3，
因为AB⋅AC=2，所以bccsπ3=2，得bc=4，
所以a2=b2+c2−2bccsA≥2bc−2bccsA=4，
等号当且仅当b=c=2时等号成立，此时a的最小值为2．

19.【答案】解：【详解】(1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，
共包含4×4=16个基本事件，
其中事件：A=3,4,4,3,4,4包含3个基本事件，
所以PA=316．
(2)若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，共包含4×3=12个基本事件，
事件B=1,2,2,1,2,4,4,2，所以PB=412=13，
事件C=1,4,2,4,3,4,4,1,4,2,4,3，所以PC=612=12，
当B,C同时发生，即2张卡片上数宁之和是3的倍数同时积足4的倍数，有两种取法2,4,4,2，
所以PB∩C=212=16，
因为P(B∩C)=P(B)P(C)，所以事件B与事件C是独立的．

20.【答案】解：(1)因为双曲线C的渐近线方程为x± 3y=0，
所以设双曲线方程为x2−3y2=λλ≠0，
又双曲线过点P3, 2，
则λ=9−3×2=3，所以双曲线的方程为x2−3y2=3，
即x23−y2=1．
(2)因为Qx0,y0在曲线x23−y2=1上，
则x 023−y 02=1⇒x 02−3y 02=3，
渐近线方程：x± 3y=0，
所以：d1d2=x0+ 3y0 1+3⋅x0− 3y0 1+3=x 02−3y 024=34
(3)由(1)可知F2,0,l的斜率存在且不为0，设l的方程为y=kx−2，
联立y=kx−2x2−3y2=3，消去y得1−3k2x2+12k2x−12k2−3=0，
设Ax1,y1,Bx2,y2，由题意得1−3k2≠0Δ>0x1+x2>0x1⋅x2>0⇒k∈−∞,− 33∪ 33,+∞,
则x1+x2=−12k21−3k2x1⋅x2=−12k2−31−3k2,
所以kAQ+kBQ=y1x1−32+y2x2−32=kx1−2x1−32+kx2−2x2−32
=k2x1x2−72x1+x2+6x1x2−32x1+x2+94
=k2−12k2−3+72×12k2+61−3k2−12k2−3+32×12k2+941−3k2=0,
所以kAQ=−kBQ,∠AQF=∠BQF得证．


21.【答案】解：(1)设椭圆Γ的焦距为2c．
由题意，ca=12,2a+2c=6，解得a=2,c=1，b= a2−c2= 3
故椭圆Γ的方程为x24+y23=1．
(2)椭圆Γ左焦点F1的坐标为−c,0．
当直线l的斜率为0时，1F1A+1F1B=1a−c+1a+c=2ab2为定值．
当直线l的斜率不为0时，设l的方程为ty=x+c,Ax1,y1,Bx2,y2．
点A､B的坐标为方程组x2a2+y2b2=1,ty=x+c的实数解，消x，得a2+b2t2y2−2tcb2y−b4=0．
于是有y1+y2=2tcb2a2+b2t2,y1⋅y2=−b4a2+b2t2