冀教版七年级数学上册 5.4 一元一次方程的应用（第五章 一元一次方程 学习、上课课件）

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建立一元一次方程模型解决实际问题行程问题工程问题百分率问题图形问题建立一元一次方程模型解决分段计费问题
建立一元一次方程模型解决实际问题
1. 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤(1) 审题，设未知数；(2) 找相等关系，列方程；(3) 解方程；(4) 检验；(5) 写出答案 .
2. 常见的两种相等关系(1) 总量与分量关系问题： 总量 = 各分量的和；(2) 余缺问题： 表示同一个量的两个不同的式子相等 .
特别提醒 列一元一次方程解决实际问题时需要注意以下几点：1.恰当地设未知数可以简化运算，且单位要统一；2. 题中的相等关系不一定只有一个，要根据具体情况选择；3.求出方程的解后要检验所求出的解是否符合实际意义 .
某校七年级 200 名学生分别到甲、乙两个纪念馆参观，其中到甲纪念馆参观的学生人数比到乙纪念馆参观的学生人数的2 倍少 10，求到乙纪念馆参观的学生有多少名 .
解题秘方：根据分量的和等于总量列出方程，解决问题 .
甲纪念馆参观人数+乙纪念馆参观人数 = 参观学生总数 .
解：设到乙纪念馆参观的学生有 x 名，则到甲纪念馆参观的学生有(2x－10)名 .根据题意，得 2x－10+x=200.移项，得 2x+x=200+10.合并同类项，得 3x=210.系数化为 1，得 x=70.答：到乙纪念馆参观的学生有 70 名 .
1-1.学校从七、八、九三个年级选取学生100人担任志愿者，七年级选取了25人，九年级选取的人数是八年级选取的人数的两倍．(1) 求八年级选取的人数；
解：设八年级选取x人，则九年级选取2x人，由题意，得25＋x＋2x＝100，解得x＝25.答：八年级选取25人．
(2)如果下一次学校选取志愿者，七年级的人数至少要30人，则七年级志愿者人数至少要增加百分之几？
解：(30－25)÷25＝20%.答：七年级志愿者人数至少要增加20%.
一个三角形的三边长之比为 2∶ 4∶ 5，周长为 22 cm，求该三角形最长边的长 .
解题秘方：未知的量若以比例的形式出现，则解决问题的关键是求出单位量，通过设单位量表示相关的量列方程 .
解：依题意， 设三角形的三边长分别为 2x cm， 4x cm，5x cm.根据题意，得 2x+4x+5x=22，合并同类项，得 11x=22.系数化为 1，得 x=2. 所以 5x=10.答：该三角形最长边的长是 10 cm.
遇到比例问题时，一般先设每份为未知数，再用含未知数的式子表示相关的量 .
2-1.如图，它是淇淇用44根相同的木棒拼成的一个横放的“目”字图 形，已 知AB∶ AC=5∶ 3，每根木棒的长度为3 cm，求这个图形的面积．
解：设AB由5x根木棒组成，则AC由3x根木棒组成，由题意，得2×5x＋4×3x＝44，解得x＝2.所以AB＝5×2×3＝30(cm)，AC＝3×2×3＝18(cm)，则30×18＝540(cm2)．答：这个图形的面积为540 cm2.
某新能源汽车生产车间有两条生产线，第一条生产线有20 人，第二条生产线有 28 人，根据市场需求情况，要将第二条生产线的人数调整为第一条生产线人数的一半，问应从第二条生产线调多少人到第一条生产线？
解题秘方：根据“要将第二条生产线的人数调整为第一条生产线人数的一半”列出方程，求解即可．
解：设甲车间原有3x人，则乙车间原有4x人，由题意，得2(3x－12)＝4x＋12，解得x＝18，所以3x＝54.答：甲车间原有54人．
一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的 2 倍，如果把个位上的数字与十位上的数字对调，得到的数比原数小 36，求原来的两位数 .
解：设原来的两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为2x.根据题意，得 10× 2x+x － 36=10x+2x，即 21x － 36=12x.解得 x=4，所以 2x=8.答：原来的两位数是 84.
解题秘方：用各数位上的数字表示原数和新数，利用两个数之间的关系列方程 .
4-1.若一个两位数，个位与十位上的数字之和是7，其中十位上的数字比个位上的数字的3倍少1，则这个两位数是 ________．
1. 行程问题中的基本关系式路程 = 速度 × 时间，时间 = 路程 ÷ 速度，速度 = 路程 ÷ 时间 .
2. 行程问题中的相等关系(1) 相遇问题中的相等关系： ①若甲、乙相向而行，则相遇时，甲走的路程 + 乙走的路程 = 甲、乙出发点之间的路程；②若甲、乙同时出发，则相遇时，甲用的时间 = 乙用的时间 .(2) 追及问题中的相等关系： ①当快者追上慢者时，快者走的路程 －慢者走的路程 = 追及路程；②若同时出发，当快者追上慢者时，快者用的时间 = 慢者用的时间 .(3) 航行问题中的相等关系： 顺水(顺风)速度 = 静水(无风) 速度 + 水(风)速，逆水(逆风)速度 = 静水(无风)速度 －水(风)速 .
特别提醒 1. 在行程问题的三个量(路程、速度、时间)中，一个量已知，另一个量设元，则第三个量用来列方程 .2. 在相遇和追及问题中，若两者同时出发，则时间相等，利用两者路程之间的关系列方程.3. 航行问题中涉及顺和逆的问题，只要路线相同，路程不变 .
甲站和乙站相距 1 500 km，一列慢车从甲站开出， 速度为 60 km/h，一列快车从乙站开出，速度为 90 km/h.(1)若两车相向而行，慢车先开 30 min，快车开出几小时后两车相遇？(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距 1 800 km ？(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距 1 200 km(此时快车在慢车的后面)？
解题秘方：根据相遇和追及问题中路程之间的关系列出方程 .
(1)若两车相向而行，慢车先开 30 min，快车开出几小时后两车相遇？
解： 设 y h 后两车相距 1 800km.由题意，得 60y+90y+1 500=1 800.解得 y=2.答： 2 h 后两车相距 1 800 km.
(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距1 800 km ？
解： 设 z h 后两车相距 1 200 km(此时快车在慢车的后面) .由题意，得 60z+1 500 － 90z=1 200. 解得 z=10.答： 10 h 后两车相距 1 200 km(此时快车在慢车的后面) .
(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距 1 200 km(此时快车在慢车的后面)？
5-1.已知A， B两地相距500 km，甲、乙两车分别从A， B两地同时出发，相向而行．甲车的速度为60 km/h，乙车的速度为40 km/h．请按下列要求列方程解题：(1) 多少小时时甲、乙两车相遇？
解：设x小时时甲、乙两车相遇．根据题意，得(60＋40)x＝500，解得x＝5.答：5小时时甲、乙两车相遇．
(2)多少小时时甲、乙两车相距100 km ？
解：设y小时时甲、乙两车相距100 km.①相遇前，两车相距100 km时，根据题意，得(40＋60)y＝500－100，解得y＝4；②相遇后，两车相距100 km时，根据题意，得(40＋60)y＝500＋100，解得y＝6.答：4小时或6小时时甲、乙两车相距100 km.
小明和哥哥早晨起来沿长为 400 m 的环形跑道练习跑步，小明跑 2 圈用的时间和哥哥跑 3 圈用的时间相等 . 两人同时同地同向出发，结果经过 2 min 40 s 第一次相遇 . 若两人同时同地反向出发，则经过多少秒第一次相遇？
解题秘方：可将环形的相遇或追及问题转化为直线形的相遇或追及问题 .
6-1.有甲、乙，丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙相背而行，甲每分钟走40 m，乙每分钟走38 m，丙每分钟走35 m．在途中，甲和乙相遇后3 min和丙相遇．问：这个花圃的周长是多少米？
一列火车匀速行驶经过一座桥，火车完全通过桥共用了50 s，整列火车在桥上的时间为 30 s，已知桥长 1 200 m，求火车的长度和速度 .
火车“完全通过桥”是指从火车头上桥到火车尾离桥，“整列火车在桥上” 是指火车尾上桥到火车头离桥.
解题秘方：理解“完全通过桥”和“整列火车在桥上”所指的火车的运动过程，根据火车行驶的速度不变列方程 .
解：设火车的长度为 x m. 列表如下：
拓展：两列火车错车问题的相等关系：相向：两列火车所行路程的和 = 两列火车车身长的和；同向：两列火车所行路程的差 = 两列火车车身长的和 .
7-1.一列火车匀速行驶，经过一条长800 m的隧道，从车头开始进入隧道到车尾离开隧道一共需要50 s的时间，在隧道中央的顶部有一盏灯，垂直向下发光照在火车上的时间是18 s，求火车的长度.
[母题教材P175观察与思考 ]近年来，跑步运动已经成为全民参与的重要体育活动，越来越多的人加入到跑步运动中 . 某跑步爱好者在一次跑步中，先按原计划 10 km / h 的平均速度跑了一半的路程，后受各种因素影响，平均速度下降了 20%，并以此速度跑完了后半程 . 这样总用时比原计划多了 15 min，求他此次跑步的总路程 .
解题秘方：(解法一) 设他此次跑步原计划用 x h，根据总路程不变列出方程即可；
解题秘方：(解法二)设他此次跑步的总路程为 x km，根据实际用时比原计划多用了 15 min 列出方程即可．
8-1.甲、乙两港口相距80 km，一艘轮船从甲港口逆流向乙港口航行的速度为48 km/h，水流速度为2 km / h，现计划在甲、乙两港口之间修建一个丙港口，若该轮船从甲港口航行到丙港口所用时间与从乙港口航行到丙港口所用时间相同，求甲港口到丙港口之间的距离．
2. 找相等关系的方法与行程问题相类似，一般有如下规律：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果一个量已知，另一个量设元，那么就从第三个量找相等关系列方程 .
特别提醒 1. 当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，通常把总工作量看成整体 1.2.常见的相等关系：    总工作量 = 各部分工作量之和 .
某市为打造引江枢纽风光带，将一段长为 1 200 米的河道整治任务交由甲、乙两个工程队接力完成，共用时 60 天 . 已知甲队每天整治 24 米，乙队每天整治 16 米，求甲、乙两队分别整治河道多少米 .
解题秘方：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，已知一个量，设另一个量，用第三个量列方程求解 .
检查一处住宅区的自来水管，甲单独完成需 14 天，乙单独完成需 18 天，丙单独完成需 12 天，前 7 天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后 2 天由乙、丙两人合作完成，那么乙中途离开了几天？
解题秘方：工作量分三部分：甲 7 天的工作量，乙(7 －离开的天数)天的工作量，乙、丙合作 2 天的工作量 .
当总工作量未知时，一般把总工作量看成整体1，则工作效率为单独完成总工作量所用时间的倒数 .
10-1.整理一批图书，一个人做要40小时完成，现计划由一部分人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应安排多少人先做4小时？
1. 百分率问题主要有三类，分别为增长率问题、利润率问题和储蓄利率问题．2. 储蓄问题中的几个概念 顾客存入银行的钱叫本金；银行付给顾客的酬金叫利息；本金和利息的和叫本息和；存入银行的时间叫期数 .
知识储备●利润率是相对于进价而言的，是利润与进价的商，再化成百分数；●在标价的基础上打折时，打几折，售价等于标价乘十分之几 .
合肥园博园汇聚了 31 个国内展园和 7 个国际展园，展示了中国传统园林和世界各地的园林艺术 . 自开园以来，受到广大市民和全国游客的青睐，成为又一打卡地 . 据统计，某日 A 入口比 B 入口入园游客多 1.2 万人 . 第二天 A 入口入园游客增加了 10%， B 入口入园游客减少了 10%，当天 A， B 入口入园游客总人数增加了 3%，试求第二天 A， B 入口入园的游客人数各是多少万人？
解题秘方：设某日 A 入口入园游客有 x 万人，根据题意表示出其他几个人数，列出方程求解即可．
解：设某日 A 入口入园游客有 x 万人，则 B 入口入园游客有(x－1.2)万人，第二天 A 入口入园游客有(1+10%) x 万人，B 入口入园游客有(1－10%)(x－1.2)万人，根 据 题 意 得(1+10%) x+(1－10%)(x－1.2) =(1+3%) [x+(x－1.2) ]，整理得 2x－1.08=2.06x－1.236，解得 x=2.6，则(1 + 10%) × 2.6=2.86(万人)，(1－10%) ×(2.6 －1.2) =1.26(万人)．答：第二天 A 入口入园的游客人数为 2.86 万人， B 入口入园的游客人数为 1.26 万人．
11-1.某快餐店支持线上和线下两种消费方 式． 2024年第 一季度，该快餐店的收入总额 达50万 元，线 上 收入与线下收入的比是2∶ 3．第二季度该快餐店转变运营模式，同时加大了线上推广的力度，因而收入总额明显提升．与第一季度相比，收入总额增长了20%，其中线上收入增长了35%．求该快餐店第二季度的线下收入的增长率．
解：设第一季度线上收入2x万元，线下收入3x万元，则2x＋3x＝50，解得x＝10，则2x＝20，3x＝30，即第一季度线上收入20万元，线下收入30万元．设该快餐店第二季度的线下收入的增长率为a，则20×(1＋35%)＋30(1＋a)＝50×(1＋20%)，解得a＝10%.答：该快餐店第二季度的线下收入的增长率为10%.
某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共 1 200 只，这两种型号节能灯的进货单价、销售单价如下表：
(1)如果进货款恰好为 46 000 元，那么可以购进甲型节能灯多少只？(2)该超市为庆祝元旦，进行大促销活动，决定对乙型节能灯打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为 20%，请问乙型节能灯需打几折？
解题秘方：根据甲、乙两种灯的总进价为 46 000 元列出一元一次方程，解方程即可；
解： 设购进甲型节能灯 x 只，则购进乙型节能灯(1 200－x)只．由题意，得 25x+45(1 200－x) =46 000，解得 x=400．答：可以购进甲型节能灯 400 只．
(1)如果进货款恰好为 46 000 元，那么可以购进甲型节能灯多少只？
解题秘方：根据售价－进价=进价× 利润率，列出一元一次方程，解方程即可 .
解：设乙型节能灯需打 a 折，则 0.1× 60a－45=45× 20%，解得 a=9．答：乙型节能灯需打九折．
(2)该超市为庆祝元旦，进行大促销活动，决定对乙型节能灯打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为 20%，请问乙型节能灯需打几折？
12-1. [期末·保定竞秀区]一商场经销的A，B两种商品， A种商品每件进价40元，利润率为50%； B种商品每件进价50元，售价80元．(1)A种商品每件售价为 _______元.
(2) 若该商场同时购进A，B两种商品共100件，恰好总进价为4 700元，求购进A， B两种商品各多少件.
解：设购进A种商品x件，则购进B种商品(100－x)件，由题意，得40x＋50(100－x)＝4 700，解得x＝30，故100－x＝70.答：购进A种商品30件，B种商品70件．
(3) 元旦期间，该商场对A， B两种商品进行 优 惠 促 销活动：如果购买A， B两种商品超过600元，那么超过600元 的部分打折优惠．琪琪购买了总价值为800元的A， B两种商品，享受优惠后，实际共付款720元，直接写出该商场超过600元的部分是打几折销售的？
该商场超过600元的部分是打六折销售的．
为了准备小颖六年后上大学的学费 15 000 元，她的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式：(1)先存一个三年期的，三年后将本息和自动转存一个三年期； (2)直接存一个六年期的．你认为哪种储蓄方式开始需存入的本金比较少？
解题秘方：根据公式“本息和=本金×(1+年利率× 期数)” 列方程求解即可．
解：设开始需存入的本金为 x 元．若按照第一种储蓄方式，则 x(1+3.24%× 3)(1+3.24%× 3) =15 000，解得 x ≈ 12 460；若按第二种储蓄方式，则 x(1+3.6%× 6) =15 000，解得 x ≈ 12 336．因为 12 460>12 336，因此，按第二种储蓄方式开始需存入的本金少．
13-1.一种节能型冰箱，商家计划按进价加价20%作为售价，为了促销，商家现在按原售价的九折出售了40台，降价后的新售价是每台2 430元.(1)按照新售价出售，商家每台冰箱还可盈利多少元？
解：设这种节能型冰箱的进价是每台x元，根据题意，得(1＋20%)x×90%＝2 430，解得x＝2 250，2 430－2 250＝180(元)．答：按照新售价出售，商家每台冰箱还可盈利180元．
(2)售完这批冰箱后，商家将购进40台冰箱的进货款存入银行，存期一年，不扣利息税，到期可得人民币92 025元，求这项储蓄的年利率是多少？
解：设这项储蓄的年利率是m，根据题意，得2 250×40＋(2 250×40)m＝92 025，整理得90 000×(1＋m)＝92 025，解得m＝0.022 5＝2.25%.答：这项储蓄的年利率是2.25%.
用一元一次方程解决图形相关问题用到的公式一般为长方形的周长和面积公式、长方体的体积公式、圆柱的表面积和体积公式．常见的等量关系：(1)形变体积(周长)不变；(2) 形变体积也变，但质量不变．
特别解读     用一元一次方程解决图形问题的关键是找到不变的量或相等的量，可以是变化前后的两个相等的量，也可以是一条边长的两种不同表示方法.
[母题教材P180练习T1 ]把直径为 6 cm，长为 16 cm 的圆钢锻造成半径为 4 cm 的圆钢，则锻造后圆钢的长是 ______cm．
解题秘方：根据锻造后的圆钢与锻造前的圆钢的体积相同，列方程求解即可．
解：设锻造后的圆钢的长为 x cm，则 π· 3 2× 16=π· 4 2· x，解得 x=9．
14-1.用五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的周长是32 cm，则小长方形的面积是________ .
建立一元一次方程模型解决分段计费问题
分段计费问题主要分为两类，一类是出租车付费问题，另一类是阶梯水电价问题．运用一元一次方程模型解决水费、电费、出租车费、电话费、煤气费等日常生活所产生的费用时，注意分段收费的收费标准以及分的段数，找准等量关系，列方程即可．
特别提醒     建立一元一次方程模型解决分段计费问题，可以画线段图，在线段图上可以清楚直观地看到不同段的收费标准 .
近几年我国部分地区不时出现的严重干旱，使我们认识到节水的重要性 . 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市对自来水收费采用了阶梯价格的调控手段 . 该市自来水收费价格见价目表(水费按月结算).(1)若某户居民 2 月份用水 10.5 m3，应交水费多少元？
(2)若该户居民 3， 4 月份共用水 16 m3( 4 月份用水量超过3 月份)，共交水费 46 元，则该户居民 3， 4 月份各用水多少立方米？
解题秘方：根据价目表中的每月用水量与价格之间的对应关系求解 .
解：由题意，得 2× 6+4×(10－6) +8×(10.5－10) =32(元)，所以应交水费 32 元 .
解： 设 3 月份用水 x m 3，则 4 月份用水(16－x) m3.分三种情况：①当 x ≤ 6 时， 16－x ≥ 10，依题意，得 2x+2× 6+4× 4+8(16－x－10) =46.整理，得 6x=30，所以 x=5，此时 16－x=11，符合题意 .
②当 6