第9讲 函数的对称性 - -2026年高考数学一轮复习基础梳理（跟踪训练）

这是一份第9讲 函数的对称性 - -2026年高考数学一轮复习基础梳理（跟踪训练），共23页。试卷主要包含了我们知道等内容，欢迎下载使用。
1．（ 2024 秋• 蚌埠期末） 若函数 y  f (x) 是奇函数， 则下列各点一定是函数
y  f (x  1)  2 图象对称中心的是()
(1, 2)
(1, 2)
(1, 2)
(1, 2)
2．（2023 秋•宁波期末）定义在 R 上的函数 f (x  1) 的图象关于点(0, 2) 对称，则下列式子一定成立的是()
f (2)  f (0)  4
f (1)  f （1）  4
f (0)  f （2）
 4D． f （1）  f （3）  4
3．（2020 秋•凉州区月考）已知 y  f (x  1) 是偶函数，则函数 f (x) 图象的对称轴
是()
x  1
x  1
2
x  1
x   1
2
4 ．（ 2020 春• 东安区月考） 已知定义在 R 上的函数
f (x) 满足
f (x)  f (x) ，
f (x  1)  f (1  x) ，且当 x [0 ，1] 时， f (x)  lg2 (x  1) ，则 f (2019)  ()
A．0B．1C． 1D．2
5．（2024 秋•开封期末）已知函数 f (x) 的图象关于点(1, 0) 成中心对称图形，当 x  1
时， f (x)  x(x  1) ，则 x  1 时， f (x)  ()
(x  2)(x  3)
(x  2)(x  3)
x(x  1)
x(x  1)
6．（2024 秋•皇姑区期中）已知函数 f (x)  x3  ax2  bx  c 的三个零点分别为 1，
x1 ，x2 (0  x1  x2 ) ，若函数满足 f (2x  1)   f (1  2x) ，则 f （3）的取值范围为()
[2 ， 4]B． (4, 6)C． (6,8)D．[4 ， 8]
7．（2020 秋•无锡期末）我们知道，函数 y  f (x) 的图象关于坐标原点成中心对
称图形的充要条件是函数 y  f (x) 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数
y  f (x) 的图象关于点 P(a, b) 成中心对称图形的充要条件是函数 y  f (x  a)  b 为奇函数．则函数 f (x)  x3  3x2 图象的对称中心为()
(1, 2)
(1, 2)
(1, 2)D． (1, 2)
8．（2024•南充模拟）已知函数 f (x)  3 ，则函数 y  f (x  1)  1 的图象()
x
关于点(1,1) 对称B．关于点(1,1) 对称
C．关于点(1, 0) 对称D．关于点(1, 0) 对称 9．（2025•青羊区开学）已知函数 f (x)  ex  ex2 ，则()
A． f (x) 关于点(2, 0) 对称B． f (x) 关于点(2, 0) 对称
C． f (x) 关于直线 x  1 对称D． f (x) 关于直线 x  1 对称
10．（2024 春•渭滨区期末）已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x)  4  f (2  x) ，
若函数 y  2x  1 与函数 y  f (x) 的图象的交点为(x ， y ) ， (x ， y ) ， (x ， y ) ，
x  1
n
1122nn
则(xk  yk )  ()
k 1
A． nB． 3nC． 3nD． 6n
2
二．多选题（共 4 小题）
（多选）11．（2025•西峰区二模）函数 y  f (x) 在区间(, ) 上的图象是一条连续不断的曲线，且满足 f (3  x)  f (3  x)  6x  0 ，函数 f (1  2x) 的图象关于点(0,1)对称，则( )
A． f (x) 的图象关于点(1,1) 对称
B．8 是 f (x) 的一个周期
C． f (x) 一定存在零点
D． f (101)  299
（多选）12．（2025•仁寿县三模）已知函数 f (x) 是 R 上的奇函数，对于任意 x  R ，都有 f (x  4)  f (x) 成立，当 x [0 ， 2) 时， f (x)  2x  1 ，给出下列结论，其中正确的是()
A． f （2）  0
B．点(4, 0) 是函数 f (x) 的图象的一个对称中心
C．函数 f (x) 在[6 ， 2] 上单调递增
D．函数 f (x) 在[6 ， 6] 上有 3 个零点
（多选）13．（2025•南岗区一模）已知函数 y  f (2x  1) 的图象关于点(1, 0) 对称，函数 y  f (x  1) 的图象关于直线 x  1 对称，则下列说法正确的为()
A．4 是 f (x) 的一个周期B． f (x) 是偶函数

2025
C．f (k )  1
k 1
D． f (1  x)  f (1  x)  0
（多选）14．（2024 秋•东莞市期末）我们知道：函数 y  f (x) 的图象关于点 P(a, b)
成中心对称图形的充要条件是 y  f (x  a)  b 为奇函数，类比以上结论也可得到函 数 y  f (x) 的图象关于直线 x  c 成轴对称图形的充要条件．已知函数 f (x) 的定义 域为 R ，其图象关于直线 x  2 成轴对称图形，且 f (x  1) 为奇函数，当2„ x  5 时，
f (x)  ln(6  x) ，则下列说法中正确的是()
A． f (x) 的图象关于点(1, 0) 成中心对称图形
B． f (x  2) 为偶函数
C． f (x) 的最小正周期为 12
D．当8„ x  11 时， f (x)  ln(12  x)
三．填空题（共 4 小题）
15．（2025 春•惠ft区月考）定义在 R 上的函数 y  f (x) 和 y  g(x) 的图象关于 y 轴
对称，且函数 y  f (x  2)  1 是奇函数，则函数 y  g(x) 图象的对称中心为 ．
ex  1
16．（2024 秋•济宁期中）已知函数 f (x)  ex  1 ， g(x)  f (x  1)  2 ，则 g(x) 的对称
中心为；若a 1 2 3  g( 2n  1)(n  N * ) ，则数列{a } 的通项公
式为 ．
g( )
nn
g()
n
g( )
nnn
17．（2025•项城市模拟）若函数 f (x)  (x  1)(
则b  ．
b ex1  1
 1) 的图象关于直线 x  1 对称，
18．（2024 秋•辽宁期中）定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (1  2x)  f (1  2x) ，且

2024
f (2x  4) 关于(2, 0) 对称，当0„ x„ 1 时， f (x)  ex  m ，则(i  1) f (i)  ．
i 1
四．解答题（共 6 小题）
19．（2024 秋•佛ft期末）已知函数 y  f (x) 的图象关于点 P(a, b) 成中心对称图形
的充要条件是函数 y  f (x  a)  b 为奇函数，若函数 f (x)  x 
求曲线 y  f (x) 的对称中心；
判断 f (x) 在区间(1, 3) 上的单调性，并用定义证明．
4 ．
x  1
20．（2024 秋•余江区期中）已知函数 f (x) 
x ．
1  x
简述 f (x) 图象可由 g(x)   1 的图象经过怎样平移得到；
x
（ 2 ） 证 明 ： f (x) 的 图 象 是 中 心 对 称 图 形 ， 并 计 算
f (2025)  f (2024)  f (2)  f (0)  f (2022)  f (2023) 的值．
21．（2024 秋•新吴区期中）有同学发现：函数 y  f (x) 的图象关于点 P(a, b) 成中心对称图形的充要条件是函数 y  f (x  a)  b 为奇函数．运用该结论解决以下问题：
直接写出函数 f (x) 
x
x  1
的对称中心；
证明：函数 g(x)  x3  3x2 的对称中心为(1, 2) ；
若函数h(x)  x3  ax2  3  2x 的对称中心为(1, 4) ，求实数a 、b 的值．
x  b
22．（2024 秋•烟台期中）若定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x)  2 f (x)  x3  9x2 ．
求函数 f (x) 的解析式；
用定义法证明： f (x) 在区间(2, ) 上单调递减；
已知函数 y  g(x) 的图象关于点 P(a, b) 成中心对称图形的充要条件是函数
y  g(x  a)  b 为奇函数．利用上述结论，求函数 y  f (x) 图象的对称中心．（注
: a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 ))
23．（2024 秋•广东月考）我们有如下结论：函数 y  g(x) 的图象关于点 P(a, b) 成中心对称图形的充要条件是函数 y  g(x  a)  b 为奇函数．
判断： f (x)  x3  6x2  13x  9 的图象是否关于点Q(2,1) 成中心对称图形？
已知 f (x) 是定义域为 R 的初等函数，若 h(x)  f (x  m)  f (x  m)  n ，证明：
h(x) 的图象关于点(m, n) 成中心对称图形．
24．（2024 秋•成都期中）经研究，函数 y  f (x) 为奇函数的充要条件是函数
y  f (x  a)  b 图象的对称中心为点(a,b) ，函数 y  f (x) 的图象关于点(a,b) 成中心对称图形的充要条件是函数 F (x)  f (x  a)  b 为奇函数，由 F (x)  F (x)  0 得函数
y  f (x) 关于点(a,b) 成中心对称图形的充要条件是 f (a  x)  f (a  x)  2b ．
（1）已知函数 f (x)  mx5  nx3  3 ，且 f （5）  2 ，求 f (5) 的值；
3x2  11x  13
证明函数 g(x)  4x  5 图象的对称中心为(2, 3) ；
x2
已知函数h(x)  x3  3x2 ，求h(7)  h(6)  h(5)  h （8） h （9）的值．
一．选择题（共 10 小题）
二．多选题（共 4 小题）
一．选择题（共 10 小题）
【答案】 B
【分析】利用函数的图象变换求解．
【解答】解：因为函数 y  f (x) 是奇函数，即 f (x) 关于(0, 0) 中心对称，
又函数 y  f (x  1)  2 的图象可将 y  f (x) 的图象向上平移 2 个单位，向左平移 1
个单位，得到的，
所以函数 y  f (x  1)  2 图象对称中心的是(1, 2) ．故选： B ．
【答案】C
【分析】由已知结合函数的对称性检验各选项即可判断．
【解答】解：因为函数 f (x  1) 的图象关于点(0, 2) 对称，所以 f (x) 的图象关于点(1, 2) 对称，
所以 f (x)  f (2  x)  4 ，
结合选项可知， f (0)  f （2）  4 一定成立．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
B
A
C
A
A
C
C
题号
11
12
13
14
答案
ACD
AB
ABD
BCD
故选： C ．
【答案】C
【分析】由偶函数的图象关于 y 轴对称，得到 y  f (x  1) 的对称轴为 x  0 ，然后由图象变换，即可得到答案．
【解答】解：因为 y  f (x  1) 是偶函数，
则 y  f (x  1) 的对称轴为 x  0 ，
将函数 y  f (x  1) 的图象向右平移一个单位可得 y  f (x) 的图象，所以函数 f (x) 图象的对称轴是 x  1 ．
故选： C ．
【分析】根据函数奇偶性和条件求出函数是周期为 2 的周期函数，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化即可得到结论．
【解答】解：Q f (x)  f (x) ， f (x  1)  f (1  x) ，
 f (x  1)  f (1  x)  f (x  1) ，即有 f (x  2)  f (x) ，即函数 f (x) 是周期为 2 的函数，
Q当 x [0 ，1] 时， f (x)  lg2 (x  1) ，
 f (2019)  f (1009  2  1)  f （1）  lg2 2  1，故选： B ．
【答案】 A
【分析】利用对称性有 f (x)   f (2  x) ，结合 x  1 有2  x  1 及已知区间的函数解析式求 x  1 时 f (x) 表达式即可．
【解答】解：当 x  1 时， f (x)  x(x  1) ，
则 x  1 时， 2  x  1 ，故 f (2  x)  (2  x)(3  x) ， 又函数 f (x) 的图象关于点(1, 0) 成中心对称图形，则 f (x)   f (2  x)  (x  2)(x  3) ．
即当 x  1 时， f (x)  (x  2)(x  3) ．故选： A ．
【答案】C
【分析】根据题设得函数关于(1, 0) 对称，进而有 c  (a  b  1) 、 x1  x2  2 ，且
0  x  1  x  2 ， 结 合 f (x)  (x  1)[x2  (a  1)x  (a  b  1)]， 得 到 x ， x 是
1212
g(x)  x2  (a  1)x  (a  b  1) 的两个零点，根据二次函数性质求得 a  3 、 2  b  3 ，即可求 f （3）的范围．
【 解答】 解： 已知函数
f (x)  x3  ax2  bx  c 的三个零点分别为 1 ，
x1 ，
x2 (0  x1  x2 ) ，
若函数满足 f (2x  1)   f (1  2x) ，
即 f (x  1)  f (1  x)  0 ，故函数关于(1, 0) 对称，所以 f （1）  1  a  b  c  0 ，则c  (a  b  1) ，
故 f (x)  x3  ax2  bx  (a  b  1)  (x  1)[x2  (a  1)x  (a  b  1)] ，
令 g(x)  x2  (a  1)x  (a  b  1) ，且开口向上，对称轴为 x   a  1 ，
2
由题意 x1  x2  2 ，且0  x1  1  x2  2 ，它们也是 g(x) 的两个零点，
所以 a  1  1  a  3 ，且g(0)  a  b  1  b  2  0
，故2  b  3 ，则c  2  b ，

2g(1)  2a  b  3  b  3  0
所以 f （3）  2(b  1) (6 ， 8) ．故选： C ．
【答案】 A
【分析】根据题意，设函数 f (x)  x3  3x2 图象的对称中心为(a,b) ，据此可得
y  (x  a)3  3(x  a)2  b  x3  (3a  3)x2  (3a2  6a)x  a3  3a2  b 为奇函数，结合奇函
a3  3a2  b  0
数的性质可得3a  3  0

，解可得a 、b 的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设函数 f (x)  x3  3x2 图象的对称中心为(a,b) ，则 y  f (x  a)  b 为奇函数，
即 y  (x  a)3  3(x  a)2  b  x3  (3a  3)x2  (3a2  6a)x  a3  3a2  b 为奇函数，
a3  3a2  b  0
必有3a  3  0

，解可得a  1 ， b  2 ，
则 f (x) 的对称中心为(1, 2) ，故选： A ．
【答案】 A
【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的图象的变换，判断选项即可．
【解答】解：Q f (x)  3 为奇函数，其对称中心为(0, 0) ，
x
函数 y  f (x  1)  1 的图象是由函数 f (x) 的图象向右平移 1 单位，再向上平移 1 单位得到的，
 y  f (x  1)  1的图象的对称中心为(1,1) ．
故选： A ．
【答案】C
【分析】利用奇偶函数的对称性逐项分析可得答案．
【解答】解：假设函数 f (x) 关于点(2, 0) 对称，那么应满足 f (2  x)   f (2  x) ．
f (2  x)  e2 x  e(2 x) 2  e2 x  e x ， f (2  x)  e2 x  e(2 x) 2  e2 x  ex ，
显然 f (2  x)   f (2  x) ，所以 f (x) 不关于点(2, 0) 对称， A 选项错误；假设函数 f (x) 关于点(2, 0) 对称，那么应满足 f (2  x)   f (2  x) ．
f (2  x)  e2 x  e(2 x) 2  e2 x  e4 x ， f (2  x)  e2 x  e(2 x) 2  e2 x  e4 x ，显然 f (2  x)   f (2  x) ，所以 f (x) 不关于点(2, 0) 对称， B 选项错误．若函数 f (x) 关于直线 x  1 对称，则 f (1  x)  f (1  x) ．
f (1  x)  e1 x  e(1 x) 2  e1 x  e1 x ， f (1  x)  e1 x  e(1 x) 2  e1 x  e1 x ，
所以 f (1  x)  f (1  x) ，故 f (x) 关于直线 x  1 对称， C 选项正确．
若函数 f (x) 关于直线 x  1 对称，则 f (1  x)  f (1  x) ．
f (1  x)  e1 x  e(1 x) 2  e1 x  e3 x ，
f (1  x)  e1 x  e(1 x) 2  e1 x  e3 x ，显然 f (1  x)  f (1  x) ，
所以 f (x) 不关于直线 x  1 对称， D 选项错误．
故选： C ．
【答案】C
【分析】首先判断两个函数的对称性，再判断交点的对称性，最后利用对称性求和．
【解答】解：Q f (x)  4  f (2  x) ，
 f (x) 关于点(1, 2) 对称，
由函数 y  2x  1  2(x  1)  1  2  1
，得函数关于点(1, 2) 对称，
x  1
x  1
x  1
 y  2x  1 与 y  f (x
x  1
) 的交点也关于点(1, 2) 对称，
n
 (xk  yk )  (x1  y1 )  (x2  y2 )  ...  (xn  yn )
i 1
 (x  x  ...  x )  ( y  y  ...  y )  n  2  n  4  3n ．
12n12
故选： C ．
n22
二．多选题（共 4 小题）
【答案】 ACD
【分析】根据 f (1  2x) 的图象关于点(0,1) 对称得 f (x) 的图象关于点(1,1) 对称，进而构造函数 g(x)  f (3  x)  3x ，判断 g(x) 为偶函数，且关于(2, 5) 对称，进一步
得到 g(x) 的单调性，进而结合函数的对称性及周期性可求解 ABD ，由零点存在性定理即可判断C ．
【解答】解：对于 A ，由于 f (1  2x) 的图象关于点(0,1) 对称，
所以 f (1  2x)  f (1  2x)  2 ，故 f (1  x)  f (1  x)  2 ，所以 f (x) 的图象关于点(1,1) 对称，故 A 正确，
由 f (3  x)  f (3  x)  6x  0 得 f (3  x)  3x  f (3  x)  3x ，令 g(x)  f (3  x)  3x ，
 g(x)  f (3  x)  3x ，
所以 g(x)  g(x) ，故 g(x) 为偶函数，又 f (x) 的图象关于点(1,1) 对称，所以 f (x)  f (x  2)  2 ，又 f (x)  g(x  3)  3(x  3) ，
从而 g(x  3)  3(x  3)  g(x  2  3)  3(x  2  3)  2  g(x  3)  g(x  1)  10 ，所以 g(x) 的图象关于(2, 5) 对称，
对于C ，在 f (1  x)  f (1  x)  2 中，令 x  0 ， f （1）  1  0 ，所以 g(2)  f （1） 6  5 ，
 g （2）  5  f （5） 6  f （5）  11  0 ，
由于 y  f (x) 在区间(, ) 上的图象是一条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得 f (x) 在(1, 5) 有零点，故C 正确
对 于 D ， 由 于
g(x) 的 图 象 关 于 (2, 5) 对 称 以 及
g(x)  g(x) 得
g(x)  g(x  4)  10  g(x)  g(x  4)  10 ，又 g(x  8)  g(x  4)  10 ，
所以 g(x)  g(x  8) ，
所以 g(x) 是周期为8 的周期函数，f (101)  g(98)  3  98  g （2）294  5  294  299 ，故 D 正确，
对于 B ， f （1） 1， f （9） g （6）18  g(2)  18  g （2）18  5  18  23  f
（1），
所以 8 不是 f (x) 的周期，故选： ACD ．
【答案】 AB
【分析】由 f (x  4)  f (x) ，赋值 x  2 ，可得 f （2）  f (2) ，故 A 正确；进而可得(4, 0) 是对称中心，故 B 正确；
作出函数图象，可得CD 不正确．
【解答】解：在 f (x  4)  f (x) 中，令 x  2 ，得 f （2）  f (2) ，
又函数 y  f (x) 是 R 上的奇函数，所以 f （2）  f (2)  0 ，故 A 选项正确；因为 f (x  4)  f (x) ，故 y  f (x) 是一个周期为 4 的奇函数，
因为(0, 0) 是 f (x) 的对称中心，
所以(4, 0) 也是函数 y  f (x) 的图象的一个对称中心，故 B 选项正确；作出函数 f (x) 的部分图象如图所示，
易知函数 y  f (x) 在[6 ， 2] 上不具单调性，故C 选项不正确；
函数 y  f (x) 在[6 ， 6] 上有 7 个零点，故 D 选项不正确．故选： AB ．
【答案】 ABD
【分析】由已知可得 f (x) 关于点(3, 0) 对称，关于直线 x  2 对称，结合对称轴和对称中心可得周期， 即可判断 A ； 根据函数奇偶性的定义即可判断 B ； 由
f (2  x)   f (x) ，令 x 为 x  1即可判断 D ；结合函数的周期性即可判断 D ．
【解答】解：已知函数 y  f (2x  1) 的图象关于点(1, 0) 对称，函数 y  f (x  1) 的图象关于直线 x  1 对称，
所以 f (2x  1)  f [2(2  x)  1]  0 ，即 f (2x  1)  f (5  2x)  0 ，
用 x 代换上式中的2x 可得 f (x  1)  f (5  x)  0 ，所以 f (x) 关于点(3, 0) 对称，
又因为函数 y  f (x  1) 的图象关于直线 x  1 对称，
所以函数 f (x) 的图象关于直线 x  2 对称，即 f (x  1)  f (3  x) ，又 f (x  1)  f (5  x)  0 ，
所以 f (3  x)  f (5  x)  0 ，所以 f [3  (3  x)]  f [5  (3  x)]  0 ，所以 f (2  x)   f (x) ，所以 f (4  x)   f (2  x)  f (x) ，
所以函数 f (x) 的周期为 4，故 A 正确；
因为 f (x)   f (2  x) ，所以 f (x)   f (2  x) ，
因为函数 f (x) 的图象关于直线 x  2 对称，所以 f (x  2)  f (2  x) ，所以 f (x)  f (x) ，所以 f (x) 是偶函数，故 B 正确；
因为 f (x) 关于点(3, 0) 对称， f （2）  f （4）  0 ，因为 f (2  x)   f (x) ，令 x  1 可得 f （1）   f （3），
又 f (x) 关于直线 x  2 对称，所以 f （1）  f （3）  0 ，
所以 f （1）  f （2）  f （3）  f （4）  0 ，

2025
所以f (k )  4  506  1  f (1)  0 ，故C 不正确，
k 1
因为 f (2  x)   f (x) ，所以 f (1  x)   f (x  1) ，即 f (1  x)  f (1  x)  0 ，故 D 正确．
故选： ABD ．
【答案】 BCD
【分析】由已知结合函数的对称性进行转转化可求出函数的周期，然后结合周期性，奇偶性及对称性检验各选项即可判断．
【解答】解：因为 f (x  1) 为奇函数，图象关于原点对称，故 f (x) 的图象关于(1, 0) 对称， A 错误；
由 f (x) 的图象关于 x  2 对称可得， f (x  2) 的图象关于 y 轴对称，即 f (x  2) 为偶
函数， B 正确；
函数 f (x) 关于直线 x  2 成轴对称，关于(1, 0) 对称，所以最小正周期为4(2  1)  12 ， C 正确；
因为2„ x  5 时， f (x)  ln(6  x) ，当1  x„ 2 时， 2„ 4  x  5 ，
所以 f (4  x)  ln(2  x)  f (x) ，
当8„ x  11 时， 1  10  x„ 2 ， f (10  x)  ln(12  x) ，因为 f (10  x)  f (2  x)   f (x) ，
所以 f (x)  ln(12  x) ， D 正确．
故选： BCD ．
三．填空题（共 4 小题）
【答案】(2, 1) ．
【分析】结合奇函数的对称性及函数图象的平移可求出 f (x) 的对称中心，进而可求 g(x) 的对称中心．
【解答】解：因为函数 y  f (x  2)  1 是奇函数，所以 f (x) 的图象关于(2, 1) 对称，
函数 y  f (x) 和 y  g(x) 的图象关于 y 轴对称，所以 y  g(x) 的图象关于(2, 1) 对称．
故答案为： (2, 1) ．
【答案】(1, 2) ； an  4n  2 ．
【分析】利用中心对称的定义求出 g(x) 图象的对称中心，利用函数 g(x) 的对称性
及倒序相加法求出通项．
ex  1
【解答】解：函数 f (x) 
ex  11  ex
的定义域为 R ， f (x)   f (x) ，
ex  1
ex  1ex  1
由 g(x)  f (x  1)  2 ， f (x) 的对称中心为(0, 0) ，
将 f (x) 的图象向右平移一个单位，再向上平移 2 个单位，得到 g(x) 的图象，因此函数 g(x) 图象的对称中心是(1, 2) ；
则有 g(x)  g(2  x)  4 ，当n  N * 时， g( 1 )  g(2  1 )  4 ，
nn
an 
g() 
1
n
g() 
2
n
3
g()
n
 g( 2n  1) ，
n
a  g( 2n  1)  g( 2n  2)  g( 2n  3) 
nnnn
g() ，
1
n
于是2an  4(2n  1) ，即an  4n  2 ，所以数列{an } 的通项公式为an  4n  2 ．故答案为： (1, 2) ； an  4n  2
【答案】2．
【 分 析 】 由 已 知 可 得 f (x)  f (2  x) 对 x  R 恒 成 立 ， 进 而 得
(x  1)(
b ex1  1
 1)  (2  x  1)(
b e2 x1  1
 1) ，计算可求b ．
【解答】解：因为函数 f (x)  (x  1)(
所以 f (x)  f (2  x) 对 x  R 恒成立，
b ex1  1
 1) 的图象关于直线 x  1 对称，
所以x  R ， (x  1)(
b ex1  1
 1)  (2  x  1)(
b e2 x1  1
 1) 恒成立，
即x  R ， (x  1)(
b ex1  1
 1 
b e1 x  1
 1)  0 恒成立
 x  R ，
1
b
ex1  1
ex1
b e1 x  1
 2 恒成立
 b()  2 恒成立，所以b  2 ．
ex1  1ex1  1
故答案为：2．
【答案】1012(1  e) ．
【分析】由已知先判断函数的奇偶性及对称性，进而可求m ，及周期，结合周期性即可求解．
【解答】解：由 f (1  2x)  f (1  2x) 得函数 f (x) 的图象关于直线 x  1 对称，由 f (2x  4) 关于(2, 0) 对称得函数 f (x) 的图象关于点(0, 0) 对称，
即函数 f (x) 为奇函数， 所以 f (0)  0 ，即m  1，
所以当0„ x„ 1 时， f (x)  ex  1 ，
由题意得 f (x  4)   f (x) ， f (x  4)  f (2  x) ，所以 f (2  x)   f (x) ，
所以 f (2  x)   f (x) ，
所以 f (4  x)   f (2  x)  f (x) ，所以函数 f (x) 的周期为 4，
所以 f （2）   f (0)  0 ， f （3）   f （1）  e  1 ， f （4）   f （2）  0 ，
则2 f （1） 3 f （2） 4 f （3） 5 f （4）  2(e  1)  0  4(1  e)  0  2(1  e) ，

2024
则(i  1) f (i)  [2 f （1） 3 f （2） 4 f （3） 5 f （4） ]  [6 f （5） 7 f （6） 8 f
i 1
（7） 9 f （8） ]  [2022 f (2021)  2023 f (2022)  2024 f (2023)  2025 f (2024)]
 2(1  e)  506
 1012(1  e) ．
故答案为：1012(1  e) ．
四．解答题（共 6 小题）
【答案】（1） (1,1) ；
单调递减，证明见解析．
【分析】（1）首先设函数 g(x)  f (x  1)  1 ，判断函数 g(x) 是奇函数，即可判断函数的对称中心；
（2）根据函数单调性的定义，结合作差法，即可证明．
【解答】解：（1）根据题意，函数 y  f (x) 的图象关于点 P(a, b) 成中心对称图形的充要条件是函数 y  f (x  a)  b 为奇函数，
设 g(x)  f (x  1)  1  x  1  4  1  x  4 ，
xx
则函数 g(x) 的定义域为{x | x  0} ，其定义域关于原点对称，
且 g(x)  x  4  (x  4)  g(x) ，
xx
所以 g(x)  f (x  1)  1 为奇函数， 所以函数 f (x) 的对称中心为(1,1) ．
（2）函数 f (x) 在(1, 3) 上单调递减．
证明： x1 ， x2 (1, 3) ，且 x1  x2 ，
则 f (x )  f (x )  x 4 (x 4 )  (x  x )  ( 44 )

121x  12x  112x  1x  1
1212
 (x  x )  ( 44 )  (x  x ) 4(x2  x1 )

12x  1
x  1
12(x
 1)(x
 1)
1212
 (x  x )[1 4]
12(x  1)(x  1)
 (x
12
 x ) (x1  1)(x2  1)  4 ，
12(x  1)(x  1)
12
因 为 x1 ， x2 (1, 3) ， 所 以 x1  1 ， x2  1(0, 2) ， (x1  1)(x2  1) (0 ， 4) ，
(x1  1)(x2  1)  4  0 ，
又 x1  x2 ，所以 x1  x2  0 ，所以 f (x1 )  f (x2 )  0 ，即 f (x1 )  f (x2 ) ，所以函数 f (x) 在(1, 3) 上单调递减．
【答案】（1）答案见解析；
（2）证明见解析，4048．
【分析】（1）变形函数 f (x) ，再利用平移变换求出变换过程．
（2）利用中心对称的定义计算推理得证；再利用对称性求出函数值及和．
【解答】解：（1）由于 f (x) 
x
1  x
 1  x  1  1 
1  x
1 ，
1  x
则 g(x) 的图象先向左平移一个长度单位，再向上平移一个长度单位得到 f (x) 的图
象．
（2）因为 f (x)  f (2  x) x 
2  x
x  2  x  2 ，
1  x
1  (2  x)1  x
1  x
所以 f (x) 的图象关于(1,1) 中心对称；
则 f (2023)  f (2025)  2 ， f (2022)  f (2024)  2 ， ， f (0)  f (2)  2 ，
所以 f (2025)  f (2024) L f (2)  f (0) L f (2022)  f (2023)  2  2024  4048 ．
【答案】（1） (1,1) ．
证明见解析．
a  3 ， b  1 或b  3 ．
2
【分析】（1）函数 f (x) 
为奇函数即可；
x
x  1
的对称中心为(1,1) ，进而验证用函数 y  f (x  a)  b
记G(x)  g(x  1)  2 ，进而证明G(x) 为奇函数即可得证；
令 H (x)  h(x  1)  4 ，进而由 H (x)  H (x)  0 可求实数a 、b 的值．
【解答】解：（1）因为函数 F (x)  f (x  1)  1 
x  1 (x  1)  1
 1  1 ，
x
所以函数 F (x) 的定义域{x | x  0} ， F (x)  F (x) ，
所以 F (x) 是奇函数，
所以函数 f (x) 
x
x  1
的对称中心为(1,1) ．
（2）证明：记G(x)  g(x  1)  2  (x  1)3  3(x  1)2  2  x3  3x ，则定义域为 R ，即定义域关于原点对称，
又G(x)  G(x)  (x)3  3(x)  x3  3x  0 ，
所以G(x) 为奇函数，
所以 g(x) 的对称中心为(1, 2) ．
（3） h(x)  x3  ax2  3  2x  x3  ax2  3  2(x  b)  2b  x3  ax2  3  2b  2 ，
x  bx  bx  b
令 H (x)  h(x  1)  4  (x  1)3  a(x  1)2 
3  2b 2 (x  1)  b
 x3  (3  a)x2  (3  2a)x  3  a 
3  2b ，
x  1  b
因为若函数h(x)  x3  ax2  3  2x 的对称中心为(1, 4) ，
x  b
所以 H (x)  h(x  1)  4 是奇函数，所以 H (x)  H (x)  0 ，
即
(x)3  (3  a)(x)2  (3  2a)(x)  3  a 
3  2b
 x3  (3  a)x2  (3  2a)x  3  a 
3  2b  0
(x)  1  bx  1  b
，
整理得2(3  a)(1  x2 )  2(3  2b)(1  b)  0 ，
(1  b)2  x2
(3  2b)(1  b)  0
得3  a  0，

解得a  3 ， b  3 或b  1 ．
2
【答案】（1） f (x)  x3  3x2 ；
证明见解析；
(1, 2) ．
【分析】（1）根据给定条件，利用方程组法求出 f (x) 的解析式；
利用单调递减函数的定义，计算推理得证；
由（1）结合给定的结论，利用奇函数的性质计算出对称中心．
【解答】解：（1）由 f (x)  2 f (x)  x3  9x2 ，得 f (x)  2 f (x)  x3  9x2 ，联立消去 f (x) 得： 3 f (x)  3x3  9x2 ，
即 f (x)  x3  3x2 ；
121122
（2）证明：任取 x1 ， x2 (2, ) 且2  x1  x2 ，则 f (x )  f (x )  x3  3x2  (x3  3x2 )
 (x3  x3 )  (3x2  3x2 )  (x  x )(x2  x2  x x )  3(x  x )(x  x )
211221121 21212
 (x  x )[(x  2)2  (x  2)2  x x  4  x  x
 4] ，
21121 212
由2  x  x ，得(x  2)2  0 ， (x  2)2  0 ， x  x  4  0 ， x  x  0 ，
12121221
因此 f (x1)  f (x2 ) ，
所以函数 f (x) 在区间(2, ) 上单调递减；
（3）设函数 y  f (x) 图象的对称中心为(a,b) ，则函数 g(x)  f (x  a)  b 为奇函数，于是 g(x)  x3  (3  3a)x2  (6a  3a2 )x  a3  3a2  b ，
g(x)  x3  (3  3a)x2  (6a  3a2 )x  a3  3a2  b ，而 g(x)  g(x)  0 ，
因此(3  3a)x2  a3  3a2  b  0 ，对任意 x  R 恒成立，
则3  3a  0 ，且a3  3a2  b  0 ，解得a  1， b  2 ，
所以函数 y  f (x) 图象的对称中心为(1, 2) ．
【答案】（1）成中心对称图形；
（2）证明见解析．
【分析】（1）整理可得 f (x  2)  1  x3  x ，根据题目中的条件，结合奇偶性的定义，可得答案；
（2）设m(x)  f (x)  f (x) ，根据题目中的条件，结合奇偶性的定义分析证明．
【解答】解：（1）因为 f (x)  x3  6x2  13x  9 ，
所以 f (x  2)  1  (x  2)3  6(x  2)2  13(x  2)  10  x3  x ，因为 y  x3  x 为奇函数，即 f (x  2)  1为奇函数，
故函数 f (x)  x3  6x2  13x  9 的图象关于点(2,1) 成中心对称图形；
（2）证明：因为h(x)  f (x  m)  f (x  m)  n ，所以h(x  m)  n  f (x)  f (x) ，
令m(x)  f (x)  f (x) ，
因为 f (x) 是定义域为 R 的初等函数，所以m(x) 也是定义域为 R 的初等函数，又m(x)  m(x)  [ f (x)  f (x)]  [ f (x)  f (x)]
 f (x)  f (x)  f (x)  f (x)  0 ，
所以m(x) 为奇函数，即 y  h(x  m)  n 为奇函数．
由结论得， h(x) 的图象关于点(m, n) 成中心对称图形．
【答案】（1） f (5)  4 ；
证明见解析；
34 ．
【分析】（1）根据题意，分析 f (x)  f (x) 的值，进而分析可得答案；
根据题意，设 F (x)  g(x  2)  3 ，证明 F (x) 为奇函数，易得结论；
根据题意，设G(x)  h(x  1)  2 ，分析可得函数G(x) 为奇函数，h(x) 的对称中心为(1, 2) ，进而分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数 f (x)  mx5  nx3  3 ，则 f (x)  mx5  nx3  3 ，则有 f (x)  f (x)  6 ，
又由 f （5）  2 ，则 f (5)  4 ；
（2）证明：设 F (x)  g(x  2)  3 ，
g(x) 
函数3x2  11x  13
x2  4x  5
x  2
x2  4x  5
 3 
x  2
(x  2)2  1
 3 ，
则 F (x)  g(x  2)  3 
x，
x2  1
易得 F (x) 的定义域为 R ，且 F (x)  F (x) ，则 F (x) 为奇函数，
故函数 g(x) 的对称中心为(2, 3) ；
（3）根据题意， h(x)  x3  3x2  [(x  1)  1]3  3[(x  1)  1]2  (x  1)3  3(x  1)  2 ，设G(x)  h(x  1)  2 ，
则G(x)  h(x  1)  2  x3  3x ，
易得G(x) 的定义域为 R ，且G(x)  G(x) ，
则函数G(x) 为奇函数， h(x) 的对称中心为(1, 2) ，则有h(x)  h(2  x)  4 ，
令 x  1 ，可得h （1）  2 ．
故h(7)  h(6)  h(5)  h （8）h （9） h(7)  h （9）h(6)  h （8）  h(1)  h
（3） h （1）  34 ．