第9讲 函数的对称性 - -2026年高考数学一轮复习基础梳理练习

这是一份第9讲 函数的对称性 - -2026年高考数学一轮复习基础梳理练习，共26页。
知识点目录
\l "_bkmark0" 【知识点 1】判断函数的对称性1
\l "_bkmark1" 【知识点 2】利用对称性求函数值或解析式3
\l "_bkmark2" 【知识点 3】对称性与奇偶性、周期性的综合应用4
\l "_bkmark3" 【知识点 4】利用对称性解不等式或方程6
基础知识
奇函数、偶函数的对称性
奇函数关于原点对称，偶函数关于 y 轴对称．
若 f(x＋a)是偶函数，则函数 f(x)图象的对称轴为 x＝a；若 f(x＋a)是奇函数，则函数 f(x)
图象的对称中心为(a,0)．
若函数 y＝f(x)满足 f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线 x＝a 对称；若函数 y＝f(x)满足 f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称． 3．两个函数图象的对称
函数 y＝f(x)与 y＝f(－x)的图象关于 y 轴对称；
函数 y＝f(x)与 y＝－f(x)的图象关于 x 轴对称；
函数 y＝f(x)与 y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
知识点 1
知识点
【知识点 1】判断函数的对称性
轴对称：
验证 f (a  x) 
f (ax) 是否对某常数 a 恒成立．
若为多项式函数，观察是否满足 f (x) f (2ax)  0 （整理后各项系数为 0）．
中心对称：
验证 f (a  x)  f (ax)  2b 是否对某常数 a,b 恒成立．
若为多项式函数，观察是否满足 f (x)  f (2ax)2b  0 （整理后各项系数为 0）．
技巧：
二次函数 f (x)  ax2  bx  c 必关于 x   b
2a
对称．
三次函数 f (x)  ax3  bx2  cx  d 必关于其拐点  b , f   b  中心对称．
3a3a 

典型例例题1：
【例 1】（2025•四川模拟）已知函数 f (x)  x3  x ，则函数 y  f (x  2)  2 的图象()
A．关于点(2, 2) 对称B．关于点(2, 2) 对称
C．关于直线 x  2 对称D．关于直线 x  2 对称
【例 2】（2024 春•潮阳区期中）定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (4  x)  f (x)  2 ．若 f (x) 的图象关于直线 x  4 对称，则下列选项中一定成立的是()
A． f (2)  1
B． f (0)  0
C． f （4）  2
D． f （6）  1
【例 3 】（ 2025 • 苏州三模） 已知函数
f (x)  3x  1  ex  ex ， 定义域为 R 的函数 g(x) 满足
x
g(x)  g(x)  6 ，若函数 y  f (x) 与 y  g(x) 的图象有四个交点，分别为(x1 ， y1 ) ， (x2 ， y2 ) ， (x3 ，
4
y3 ) ， (x4 ， y4 ) ，则(xi  yi )  ()
i 1
A．0B．4C．8D．12
【例 4】（2024 秋•衢州期末）已知函数 y  f (x) 的图象关于点 P(a, b) 中心对称的充要条件是函数
y  f (x  a)  b 为奇函数，则函数 f (x) 
1
2x  1
图象的对称中心是()
(2, )
A． (1,1)B． 1
3
C． (0,  1 )
2
1
D．
(0, )
2
【例 5】（2024•泸州模拟）已知函数 f (x)(x  R) 满足 f (x)  f (4  x)  0 ，若函数 f (x) 与 y 
n
1图
x  2
象的交点横坐标分别为 x1 ， x2 ， ， xn ，则 xi  ()
i 1
4nB． 2nC． nD．0
知识点 2
知识点
【知识点 2】利用对称性求函数值或解析式
利用对称性建立等式：
若关于 x  a 对称，则 f (x)  f (2a  x) ，代入已知点求未知值．
若关于(a, b) 对称，f(x)=2b-f(2a-x)，用于递推或构造方程．
对称变换法：
若 f (x) 关于 x  a 对称，则 f (x)  g(| x-a |) （g 为偶函数）．若 f (x) 关于(a, b) 对称，则 f(x)=b+h(x-a)（h 为奇函数）．
典型例例题1：
【例 6】（2025•梅河口市二模）已知函数 f (x) 为 R 上的奇函数，若函数 y  g(x  2) 与 y  f (x) 的
图象关于点(1, 0) 对称，则 g （4）  ()
B．0C． 1D． 2
【例 7】（2024 秋•温州期末）已知函数 f (x)  ln(1  1 ) ．
x
（1）求 f (2)  f （1）的值；
求函数 f (x) 的定义域；
证明：曲线 y  f (x) 是中心对称图形．
【 例 8 】（ 2024 秋• 谷城县期中） 已知定义在 R 上的函数 f (x) ， 对 x  R ， 都有
f (x  2)   f (x)  2 ，若函数 f (x  1) 的图象关于直线 x  1 对称，则 f (2025)  ()
2
1
C．2D．1
【例 9】（2024 秋•鼓楼区期中）函数 y  f (x) 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 y  f (x) 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 y  f (x) 的图象关于点 P(a, b) 成中
心对称图形的充要条件是函数
y  f (x  a)  b 为奇函数． 已知函数
f (x)  x3  3x2 ， 则
f (2026)  f (2025)  f (2024)  f (1)  f (0)  f （1）  f (2023)  f (2024)  ()
A．0B．2024C．4051D．8102
【例10】（2024 秋•淮阴区月考）若偶函数 f (x) 满足 f (1  x)  f (1  x) ，且当 x (0,1) 时，f (x)  2x  1 ，
则 f (lg2 36)  (
A． 5
4
)
B． 7
9
C． 9
16
D． 7
16
知识点 3
知识点
【知识点 3】对称性与奇偶性、周期性的综合应用
对称性与周期性的关系：
若函数有两条对称轴 x  a 和 x  b （ a  b ），则周期T  2 | a  b |．
若函数有一个对称中心(a, b) 和一条对称轴 x  c （ a  c ），则周期T  4 | c  a | ．
若函数有两个对称中心(a, b) 和(c, b) （ a  c ），则周期T  2 | c  a | ．
奇偶性与对称性的结合：
奇函数+关于 x  a 对称 周期T  4 | a |．偶函数+关于(a, 0) 对称 周期T  4 | a |．
典型例例题1：
【 例 11 】（ 2025 • 黑龙江模拟） 函数 f (x) 的定义域为 R ， 且对任意的实数 x ， 都有
f (x)  f (x  2)  f (4  x) ，且 f (0)  2 ，则下列说法错误的是()
f (x) 为偶函数B． f (x) 为周期函数且周期为 12
f （4）  1
25

f (2i)  2
i 1
【例 12】（2025•李沧区模拟）已知函数 f (x) 是 R 上的奇函数，且 f (x)  f (2  x) ，当 x (0 ，1] 时，

2025
f (x)  2x  3 ，则f (i)  ()
i 1
B．1C．0D． 1
【例 13】（2025•鹤山区二模）已知函数 f (x) 的定义域为 R ，若 f (2x  1) 为奇函数，且 f (x  1) 为偶函数，则()
A． f (2023)  0
B． f (2024)  0
C． f (2021)  0
D． f (2022)  0
【例 14】（2025 春•大祥区期中）已知 y  f (x  1) 的图像关于点(1, 0) 对称，对x  R ，都有
f (x  1)  f (x  3) 成立，且当 x (2, 0) 时， f (x)  2x2 ，则 f (2021) 等于()
A． 2B．2C．0D． 8
【例 15 】（ 2025 春• 青羊区期中） 已知函数
f (x) 的定义域是 R ， 满足
f (x)  f (2  x) ，
f (x)  f (4  x)  0 ，函数 f (x) 的导函数 f (x) 在 R 上总有意义，则 f  （5）  ()
A．0B．1C．2D．4
知识点 4
知识点
【知识点 4】利用对称性解不等式或方程
利用对称性化简表达式：
若 f (x) 关于 x  a 对称，令t  x  a ，将不等式转化为关于 t 的偶函数形式，利用单调性求解．
若 f (x) 关于(a, b) 对称，令 t=x-a，将表达式转化为关于 t 的奇函数形式，结合中心对称性质分析.
对称性与单调性结合：
对称轴 / 中心两侧的单调性相反（如偶函数在 x>a 单调递增，则 x  a 单调递减），利用对称性将不等式两边转化到同一单调区间求解．
典型例例题1：
【例 16】（2024•博望区学业考试）已知函数 f (x) 为定义在 R 上的函数，对任意的 x  R ，均有
f (x  2)  f (2  x) 成立，且 f (x) 在[2 ， ) 上单调递减，若 f (1)  0 ，则不等式 f (x  1)… 0 的解集为()
A．[2 ， 4]B．[0 ， 6]C．[2 ， 4]D．[4 ， 6]
【例 17】（2024 秋•蔡甸区月考）已知函数 f (x) 为定义在 R 上的函数，对任意的 x  R ，均有
f (x  2)  f (2  x) 成立，且 f (x) 在[2 ， ) 上单调递减，若 f (1)  0 ，则不等式 f (x  1)… 0 的解集为 [0 ， 6] ．
【例 18】（2024 秋•沙坪坝区期末）已知函数 f (x)  e|x1|  x2  2x  1 ，则使得不等式 f (2m)  f (m  1)
成立的实数m 的取值范围是()
A．
1
( ,1)
3
∪
C． (,  1)(1, ) 3
B． ( 1 ,1)
3
∪
D． (, 1)(1, ) 3
【例 19】（2023 秋•垫江县月考）已知函数 f (x)  ax2  (a  2)x  3(a  0) ．
若 f (x  1) 为偶函数，求a 的值；
解关于 x 的不等式 f (x)  1 ．
【例 20】（2024 秋•耒阳市月考）已知偶函数 f (x) 与奇函数 g(x) 的定义域都是[2 ， 2] ，它们在
[0 ， 2] 上的图象如图所示，则使关于 x 的不等式 f (x)  g(x)  0 成立的 x 的取值范围为()
(2 ， 1) (0 ，1)B． (1 ， 0) (0 ，1)
C． (1 ， 0) (1 ， 2)D． (2 ， 1) (1 ， 2)
第 9 讲 函数的对称性
知识点目录
\l "_bkmark4" 【知识点 1】判断函数的对称性1
\l "_bkmark5" 【知识点 2】利用对称性求函数值或解析式5
\l "_bkmark6" 【知识点 3】对称性与奇偶性、周期性的综合应用8
\l "_bkmark7" 【知识点 4】利用对称性解不等式或方程13
基础知识
奇函数、偶函数的对称性
奇函数关于原点对称，偶函数关于 y 轴对称．
若 f(x＋a)是偶函数，则函数 f(x)图象的对称轴为 x＝a；若 f(x＋a)是奇函数，则函数 f(x)
图象的对称中心为(a,0)．
若函数 y＝f(x)满足 f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线 x＝a 对称；若函数 y＝f(x)满足 f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称． 3．两个函数图象的对称
函数 y＝f(x)与 y＝f(－x)的图象关于 y 轴对称；
函数 y＝f(x)与 y＝－f(x)的图象关于 x 轴对称；
函数 y＝f(x)与 y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
知识点 1
知识点
【知识点 1】判断函数的对称性
轴对称：
验证 f (a  x) 
f (ax) 是否对某常数 a 恒成立．
若为多项式函数，观察是否满足 f (x) f (2ax)  0 （整理后各项系数为 0）．
中心对称：
验证 f (a  x)  f (ax)  2b 是否对某常数 a,b 恒成立．
若为多项式函数，观察是否满足 f (x)  f (2ax)2b  0 （整理后各项系数为 0）．
技巧：
二次函数 f (x)  ax2  bx  c 必关于 x   b
2a
对称．
三次函数 f (x)  ax3  bx2  cx  d 必关于其拐点  b , f   b  中心对称．
3a3a 

典型例例题1：
【例 1】（2025•四川模拟）已知函数 f (x)  x3  x ，则函数 y  f (x  2)  2 的图象()
A．关于点(2, 2) 对称B．关于点(2, 2) 对称
C．关于直线 x  2 对称D．关于直线 x  2 对称
【答案】 A
【分析】由函数的奇偶性可得 f (x) 为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果．
【解答】解：因为 f (x)  (x)3  (x)  x3  x   f (x) ，则 f (x) 为奇函数，
函数 y  f (x  2)  2 的图象可由 f (x) 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位得到，所以函数 y  f (x  2)  2 的图象关于点(2, 2) 对称．
故选： A ．
【例 2】（2024 春•潮阳区期中）定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (4  x)  f (x)  2 ．若 f (x) 的图象关于直线 x  4 对称，则下列选项中一定成立的是()
A． f (2)  1
B． f (0)  0
C． f （4）  2
D． f （6）  1
【答案】 A
【分析】根据 f (4  x)  f (x)  2 ，令 x  2 ，可求得 f （2），再根据函数的对称性可得 f （6）及
f (4  x)  f (x)  2 ，再令 x  2 ，可求得 f (2) ，即可得出答案．
【解答】解：因为函数 f (x) 满足 f (4  x)  f (x)  2 ，
所以 f (4  2)  f （2）  2 f （2）  2 ，所以 f （2）  1，又 f (x) 的图象关于直线 x  4 对称，
所以 f （6）  f （2）  1，且 f (4  x)  f (4  x) ，则 f (4  x)  f (x)  2 ，
所以 f (4  2)  f (2)  2 ，所以 f (2)  1，
无法求出 f (0) ， f （4）．故选： A ．
【例 3 】（ 2025 • 苏州三模） 已知函数
f (x)  3x  1  ex  ex ， 定义域为 R 的函数 g(x) 满足
x
g(x)  g(x)  6 ，若函数 y  f (x) 与 y  g(x) 的图象有四个交点，分别为(x1 ， y1 ) ， (x2 ， y2 ) ， (x3 ，
4
y3 ) ， (x4 ， y4 ) ，则(xi  yi )  ()
i 1
A．0B．4C．8D．12
【答案】 D
【分析】先判断函数 f (x) 与 g(x) 的图象都关于(0, 3) 对称，然后结合对称性即可求解．
【解答】解：因为 f (x)  3x  1  ex  ex  3  1  ex  ex ，
xx
显然 y  1  ex  ex 为奇函数，图象关于原点对称，
x
故 f (x) 的图象关于(0, 3) 对称，
因为 g(x)  g(x)  6 ，则 g(x) 的图象也关于(0, 3) 对称，则 f (x) 与 g(x) 的交点也关于(0, 3) 对称，
若函数 y  f (x) 与 y  g(x) 的图象有四个交点，分别为(x1 ， y1 ) ，(x2 ， y2 ) ，(x3 ， y3 ) ，(x4 ， y4 ) ，
4
则(xi  yi )  x1  x2  x3  x4  ( y1  y2  y3  y4 )  0  6  6  12 ．
i 1
故选： D ．
【例 4】（2024 秋•衢州期末）已知函数 y  f (x) 的图象关于点 P(a, b) 中心对称的充要条件是函数
y  f (x  a)  b 为奇函数，则函数 f (x) 
1
2x  1
图象的对称中心是()
(2, )
A． (1,1)B． 1
3
C． (0,  1 )
2
1
D．
(0, )
2
【答案】C
【分析】令 g(x)  f (x)  1 ，然后判断 g(x) 的奇偶性，进而可求 f (x) 的对称性．
2
【解答】解：令 g(x)  1 1 1  2  1
x
f (x)22x  122(2x  1)
x
则 g(1 1  2 1  2  2x  1  2x  2x  1  ，
x)2x  121  2x22(1  2x )2(1  2x )g(x)
所以 g(x) 为奇函数，图象关于原点对称，
所以 f (x) 的图象关于(0,  1 ) 对称．
2
故选： C ．
【例 5】（2024•泸州模拟）已知函数 f (x)(x  R) 满足 f (x)  f (4  x)  0 ，若函数 f (x) 与 y 
n
1图
x  2
象的交点横坐标分别为 x1 ， x2 ， ， xn ，则 xi  ()
i 1
A． 4nB． 2nC． nD．0
【答案】 B
【分析】依题意可得 f (2  x)   f (2  x) ，即可得到函数的图象关于(2, 0) 对称，再根据对称性计算可得结论．
【解答】解：因为 f (x)  f (4  x)  0 ，
所以 f (2  x)  f (2  x)  0 ，
所以函数的图象关于(2, 0) 对称，
又函数 y 
1
x  2
关于(2, 0) 对称，
则 y  f (x) 与 y 
1
x  2
的交点应为偶数个，且关于(2, 0) 对称，
n
所以 xi
i 1
 4  n  2n ．
2
故选： B ．
知识点 2
知识点
【知识点 2】利用对称性求函数值或解析式
利用对称性建立等式：
若关于 x  a 对称，则 f (x)  f (2a  x) ，代入已知点求未知值．
若关于(a, b) 对称，f(x)=2b-f(2a-x)，用于递推或构造方程．
对称变换法：
若 f (x) 关于 x  a 对称，则 f (x)  g(| x-a |) （g 为偶函数）．若 f (x) 关于(a, b) 对称，则 f(x)=b+h(x-a)（h 为奇函数）．
典型例例题1：
【例 6】（2025•梅河口市二模）已知函数 f (x) 为 R 上的奇函数，若函数 y  g(x  2) 与 y  f (x) 的
图象关于点(1, 0) 对称，则 g （4）  ()
A．1B．0C． 1
【答案】 B
D． 2
【分析】由已知结合函数的对称性及奇函数的性质进行转化即可求解．
【解答】解：已知函数 f (x) 是 R 上的奇函数，即 f (x)   f (x) ，且 f (0)  0 ．函数 y  g(x  2) 与 y  f (x) 的图像关于点(1, 0) 对称，
根据对称的定义，对于 f (x) 上的任意一点(x, y) ，对应的 g(x  2) 上的点为(2  x,  y) ，因此，当 x  2  x 时，有 g(x  2)   y  g(4  x)   f (x) ，
令t  4  x ，则 x  4  t ，代入得 g(t)   f (4  t)  g(x)   f (4  x) ，代入 x  4 ，得 g （4）   f (4  4)   f (0)  0 ，
因此 g （4）  0 ．故选： B ．
【例 7】（2024 秋•温州期末）已知函数 f (x)  ln(1  1 ) ．
x
（1）求 f (2)  f （1）的值；
求函数 f (x) 的定义域；
证明：曲线 y  f (x) 是中心对称图形．
【答案】（1）0；
（2） ( ， 1) (0 ， ) ；
证明见解析．
【分析】（1）根据对数函数的性质即可求解；
根据对数函数的定义域即可求解；
结合（1），（2）即可求解；
【解答】解：（1） f (2)  f (1)  ln 1  ln2  ln1  0 ；
2
（2）令1  1  0 ，则 x  1  0 ，即 x(x  1)  0 ，得 x  1 或 x  0 ，
xx
所以函数 f (x) 的定义域是( ， 1) (0 ， ) ；
（3）证明如下：由函数 f (x) 的定义域，结合第（1）问 f (2)  f （1）  0 知，
若曲线 y  f (x) 是中心对称图形，对称中心一定是( 1 , 0) ，
2
又 f (x)  f (1  x)  ln(1  1 )  ln(1 1)  ln(1  x  x )  ln1  0 ，

x1  xx1  x
故曲线 y  f (x) 关于点( 1 , 0) 中心对称．
2
【 例 8 】（ 2024 秋• 谷城县期中） 已知定义在 R 上的函数 f (x) ， 对 x  R ， 都有
f (x  2)   f (x)  2 ，若函数 f (x  1) 的图象关于直线 x  1 对称，则 f (2025)  ()
A． 2
【答案】 D
B． 1
C．2D．1
【分析】由函数的奇偶性和周期性求出即可．
【解答】解：因为对x  R ，都有 f (x  2)   f (x)  2 ，
所以 f (x  2  2)   f (x  2)  2  f (x) ，即 f (x) 是以 4 为周期的周期函数，因为函数 f (x  1) 的图象关于直线 x  1 对称，所以 f (x  1  1)  f (1  x  1) ，即 f (x)  f (x) ，所以 f (x) 是偶函数，
所以 f (2025)  f (1  4  506)  f （1）  f (1) ，
由 f (x  2)   f (x)  2 ，令 x  1 ，可得 f （1）   f (1)  2 ，解得 f （1）  1，所以 f (2025)  1 ．
故选： D ．
【例 9】（2024 秋•鼓楼区期中）函数 y  f (x) 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 y  f (x) 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 y  f (x) 的图象关于点 P(a, b) 成中
心对称图形的充要条件是函数
y  f (x  a)  b 为奇函数． 已知函数
f (x)  x3  3x2 ， 则
f (2026)  f (2025)  f (2024)  f (1)  f (0)  f （1）  f (2023)  f (2024)  ()
A．0B．2024C．4051D．8102
【答案】 D
【分析】根据给定条件，求出函数 f (x) 的对称中心，再利用对称性求出函数值的和．
【解答】解：依题意， f (x)  x3  3x2 ， 则 f (x  1)  2  (x  1)3  3(x  1)2  2  x3  3x ，
显然 f (x  1)  2  (x)3  3(x)  [ f (x  1)  2] ，即函数 y  f (x  1)  2 是奇函数，因此函数 f (x) 的对称中心为(1, 2) ，即 f (2  x)  f (x)  4 ，
所以 f (2026)  f (2025)  f (2024)  f (1)  f (0)  f （1）  f (2023)  f (2024)
 [ f (2026)   f (2024)]  [ f (2025)  f (2023)]  [ f (2)  f (0)]  f (1)
 2025  4  2  8102 ．故选： D ．
【例10】（2024 秋•淮阴区月考）若偶函数 f (x) 满足 f (1  x)  f (1  x) ，且当 x (0,1) 时，f (x)  2x  1 ，
则 f (lg2 36)  (
A． 5
4
【答案】 B
)
B． 7
9
C． 9
16
D． 7
16
【分析】分析可知 f (x) 的一个周期为 2，根据周期性结合偶函数性质以及对数运算求解．
【解答】解：因为 f (1  x)  f (1  x) ，则 f (2  x)  f (x) ，又因为 f (x) 为偶函数，则 f (x)  f (x) ，
可得 f (2  x)  f (x) ，可知 f (x) 的一个周期为 2，
因为lg 36  4  lg 9 ，且lg
9 (1, 2) ，
22 42 4
可得 f (lg 36)  f (lg 9 )  f (lg 4)  f (2  lg
4)  f (lg 16) ，且lg 16 (0,1) ，
22 4
16
2 9
lg 16
2 92 92 9
167
所以 f (lg 36)  f (lg)  2 2 9  1  1  ．
22
故选： B ．
999
知识点 3
知识点
【知识点 3】对称性与奇偶性、周期性的综合应用
对称性与周期性的关系：若函数有两条对称轴 x  a 和 x  b （ a  b ），则周期T  2 | a  b |．
若函数有一个对称中心(a, b) 和一条对称轴 x  c （ a  c ），则周期T  4 | c  a | ．若函数有两个对称中心(a, b) 和(c, b) （ a  c ），则周期T  2 | c  a | ．
奇偶性与对称性的结合：
奇函数+关于 x  a 对称 周期T  4 | a |．偶函数+关于(a, 0) 对称 周期T  4 | a |．
典型例例题1：
【 例 11 】（ 2025 • 黑龙江模拟） 函数 f (x) 的定义域为 R ， 且对任意的实数 x ， 都有
f (x)  f (x  2)  f (4  x) ，且 f (0)  2 ，则下列说法错误的是()
A． f (x) 为偶函数B． f (x) 为周期函数且周期为 12
C． f （4）  1
【答案】 D
25

D．f (2i)  2
i 1
【分析】用 x  2 代替 x ，可得 f (2  x)  f (2  x)  f (x) ，可判断C ；用x 替换 x ，结合偶函数的性质可得 A 正确；用 x  2 替换 x ，结合偶函数的性质可得 B 正确；由函数的周期性可得 D 错误．
【解答】解：因为 f (x)  f (x  2)  f (4  x) ，
所以 f (x)  f (4  x)  f (x  2) ，所以 f (x  2)  f (2  x)  f (x) ，
所以2 f （2）  f (0)  2 ，所以 f （2）  1，
又 f （4）  f (0)  f （2），所以 f （4）  f （2）  f (0)  1  2  1，所以C 选项正确；因为 f (x  2)  f (2  x)  f (x) ，所以 f (2  x)  f (2  x)  f (x) ，
所以 f (x)  f (x) ，所以 f (x) 为偶函数，所以 A 选项正确；因为 f (x  2)  f (2  x)  f (x) ，所以 f (4  x)  f (x)  f (x  2) ，
所以 f (4  x)  f (x)  f (x  2) ，所以 f (x)  f (x  2)  f (x  4) ，所以 f (x  2)  f (x  4)  f (x  6) ，即 f (x  6)   f (x) ．
所以 f (x  12)   f (x  6)  f (x) ，
故 f (x) 是以 12 为周期的周期函数，所以 B 选项正确；
f （6）   f (0)  2 ，
所以 f （6）  f （4）  f (2)  f （4）  f （2）  1  1  2 ；
f （8）   f （2）  1， f (10)   f （4）  1， f (12)  2 ，

25
所以f (2i)  4[1  (1)  (2)  (1)  1  2]  1  1，所以 D 选项错误．
i 1
故选： D ．
【例 12】（2025•李沧区模拟）已知函数 f (x) 是 R 上的奇函数，且 f (x)  f (2  x) ，当 x (0 ，1] 时，

2025
f (x)  2x  3 ，则f (i)  ()
i 1
A．2B．1C．0D． 1
【答案】 D
【分析】根据题意可得 f (x)   f (x) ， f (x)  f (2  x) ，从而可得 f (x  2)   f (x) ，进而可得 f (x)
的周期为 4，再利用函数的周期性，即可求解．
【解答】解：因为 f (x) 是 R 上的奇函数，
所以 f (x)   f (x) ，且 f (0)  0 ，又 f (x)  f (2  x) ，所以 f (2  x)   f (x) ，
所以 f (x  2)   f (x) ，
所以 f (x  4)   f (x  2)  f (x) ，所以 f (x) 的周期为 4，由 f (x  2)   f (x) ，可得 f (x)  f (x  2)  0 ，
所以 f （1）  f （3）  f （2）  f （4）  0 ，所以 f （1）  f （2）  f （3）  f （4）  0 ，
又 f (2025)  f (506  4  1)  f （1）  21  3  1 ，

2025
所以根据周期性可得f (i)  506 [ f （1）  f （2）  f （3）  f （4） ]  f (2025)
i 1
 506  0  (1)  1 ．故选： D ．
【例 13】（2025•鹤山区二模）已知函数 f (x) 的定义域为 R ，若 f (2x  1) 为奇函数，且 f (x  1) 为偶函数，则()
A． f (2023)  0
B． f (2024)  0
C． f (2021)  0
D． f (2022)  0
【答案】 A
【分析】利用奇偶函数得到周期为 8，且 f (1)  0 ，即可求得结果．
【解答】解：函数 f (x) 的定义域为 R ，
Q f (2x  1) 为奇函数，
 f (2x  1)   f (2x  1) ，
 f (x)   f (x  2) ①； 令 x  0 ，得到 f (1)  0 ；
Q f (x  1) 为偶函数，
 f (x  1)  f (x  1) ，
 f (x)  f (2  x) ②；结合①②得到： f (2  x)   f (x  2) ，
f (x)   f (x  4) ， f (x  4)   f (x  8) ，
 f (x)  f (x  8) ，所以函数的周期为 8，
 f (2023)  f (252  8  7)  f （7）  f (1)  0 ．故选： A ．
【例 14】（2025 春•大祥区期中）已知 y  f (x  1) 的图像关于点(1, 0) 对称，对x  R ，都有
f (x  1)  f (x  3) 成立，且当 x (2, 0) 时， f (x)  2x2 ，则 f (2021) 等于()
A． 2
【答案】 A
B．2C．0D． 8
【分析】根据函数的对称性，周期性，化归转化，即可求解．
【解答】解：Q y  f (x  1) 的图像关于点(1, 0) 对称，
 f (x) 的图像关于点(0, 0) 对称，
 f (x)   f (x) ，
Q f (x  1)  f (x  3) ， f (x  4)  f (x) ， f (x) 的周期为 4，
 f (2021)  f (4  505  1)  f （1）   f (1)  2  (1)2  2 ．故选： A ．
【例 15 】（ 2025 春• 青羊区期中） 已知函数
f (x) 的定义域是 R ， 满足
f (x)  f (2  x) ，
f (x)  f (4  x)  0 ，函数 f (x) 的导函数 f (x) 在 R 上总有意义，则 f  （5）  ()
A．0B．1C．2D．4
【答案】 A
【分析】求导后，根据抽象函数的对称性，即可求解．
【解答】解：因为 f (x)  f (2  x) ， f (x)  f (4  x)  0 ，所以 f (x)   f (2  x) ，  f (x)  f (4  x)  0 ，
所以 f  （1）   f  （1），所以 f  （1）  0 ，由 f (x)   f (2  x) ，  f (x)  f (4  x)  0 ，可得 f (x)   f (2  x) ， f (x)  f (4  x) ，
所以 f (4  x)   f (2  x) ，所以 f (2  x)   f (x) ，
所以 f (4  x)  f (x) ，
所以 f  （5）  f  （1）  0 ．故选： A ．
知识点 4
知识点
【知识点 4】利用对称性解不等式或方程
利用对称性化简表达式：
若 f (x) 关于 x  a 对称，令t  x  a ，将不等式转化为关于 t 的偶函数形式，利用单调性求解．
若 f (x) 关于(a, b) 对称，令 t=x-a，将表达式转化为关于 t 的奇函数形式，结合中心对称性质分析.
对称性与单调性结合：
对称轴 / 中心两侧的单调性相反（如偶函数在 x>a 单调递增，则 x  a 单调递减），利用对称性将不等式两边转化到同一单调区间求解．
典型例例题1：
【例 16】（2024•博望区学业考试）已知函数 f (x) 为定义在 R 上的函数，对任意的 x  R ，均有
f (x  2)  f (2  x) 成立，且 f (x) 在[2 ， ) 上单调递减，若 f (1)  0 ，则不等式 f (x  1)… 0 的解集为()
A．[2 ， 4]B．[0 ， 6]C．[2 ， 4]D．[4 ， 6]
【答案】 B
【分析】由已知结合函数的对称性及单调性即可求解不等式．
【解答】解：因为函数 f (x) 为定义在 R 上的函数，对任意的 x  R ，均有 f (x  2)  f (2  x) 成立，所以 f (x) 的图象关于 x  2 对称，
因为 f (x) 在[2 ， ) 上单调递减， f (1)  0 ，所以 f (x) 在(, 2) 上单调递增， f （5）  0
则不等式 f (x  1)… 0 可得1„ x  1„ 5 ，解得0„ x„ 6 ．
故选： B ．
【例 17】（2024 秋•蔡甸区月考）已知函数 f (x) 为定义在 R 上的函数，对任意的 x  R ，均有
f (x  2)  f (2  x) 成立，且 f (x) 在[2 ， ) 上单调递减，若 f (1)  0 ，则不等式 f (x  1)… 0 的解集为 [0 ， 6] ．
【答案】[0 ， 6] ．
【分析】依题意，由函数的对称性与单调性的性质以及 f (1)  0 分析可求得： f (x)  0 的解，进而可得 f (x  1)… 0 的解集．
【解答】解：Q对任意的 x  R ，均有 f (x  2)  f (2  x) 成立，
 f (x) 的图象关于直线 x  2 对称，又 f (1)  0 ，
 f （5）  f (1)  0 ，
又 f (x) 在[2 ， ) 上单调递减，
 f (x) 在( ， 2] 上单调递增，
当1„ x„ 5 时， f (x)… 0 ，
 f (x  1)… 0  1„ x  1„ 5 ，解得0„ x„ 6 ，
不等式 f (x  1)… 0 的解集为[0 ， 6] ．故答案为：[0 ， 6] ．
【例 18】（2024 秋•沙坪坝区期末）已知函数 f (x)  e|x1|  x2  2x  1 ，则使得不等式 f (2m)  f (m  1)
成立的实数m 的取值范围是()
A．
1
( ,1)
3
∪
C． (,  1)(1, ) 3
B． ( 1 ,1)
3
∪
D． (, 1)(1, ) 3
【分析】先判断函数的对称性以及单调性，结合函数的对称性将不等式进行转化求解即可
【解答】解： f (x)  e|x1|  x2  2x  1  e|x1|  (x  1)2 ，则 f (x) 关于 x  1 对称，且当 x  1 时， f (x) 为增函数，
由 f (2m)  f (m  1) ，等价| 2m  1|| m | ，
平方得3m2  4m  1  0 ，解得 1  m  1
3
故选： A ．
【例 19】（2023 秋•垫江县月考）已知函数 f (x)  ax2  (a  2)x  3(a  0) ．
若 f (x  1) 为偶函数，求a 的值；
解关于 x 的不等式 f (x)  1 ．
【答案】（1）2；
（2）答案见解析．
【分析】（1）利用图象平移变化可得 f (x) 的对称轴为 x  1 ，然后由二次函数性质可解；
（2）根据相应二次函数开口方向和两根大小关系分类讨论即可．
【解答】解：（1）根据题意，因为 f (x  1) 为偶函数，则 f (x) 的图象关于 x  1 对称，
所以 a  2  1 ，解得a  2 ，
2a
此时 f (x)  2x2  4x  3  2(x  1)2  1 ， f (x  1)  2x2  1满足题意，所以， a 的值为 2．
（2） f (x)  1  ax2  (a  2)x  2  0  (ax  2)(x  1)  0 ．
因为a  0 ，所以方程(ax  2)(x  1)  0 的两根为 2 和 1，
a
当a  0 时， 2  1 ，不等式解集为(, 2 )∪(1, ) ；
aa
(1, )
当0  a  2 时， 2  1 ，不等式解集为 2 ；
aa
( ,1)
当a  2 时， 2  1 ，不等式解集为 2；
aa
当a  2 时，不等式解集为 ．
【例 20】（2024 秋•耒阳市月考）已知偶函数 f (x) 与奇函数 g(x) 的定义域都是[2 ， 2] ，它们在
[0 ， 2] 上的图象如图所示，则使关于 x 的不等式 f (x)  g(x)  0 成立的 x 的取值范围为()
A． (2 ， 1) (0 ，1)B． (1 ， 0) (0 ，1)
C． (1 ， 0) (1 ， 2)D． (2 ， 1) (1 ， 2)
【答案】 A
【分析】分 f (x)  0 ，g(x)  0 和 f (x)  0 ，g(x)  0 两种情形，结合函数奇偶性的特点，即可得解．
【解答】解：因为不等式 f (x)  g(x)  0 ，
所以当 f (x)  0 ， g(x)  0 时，有1  x  1 ， 0  x  2 ，0  x  1 ；
当 f (x)  0 ， g(x)  0 时，有2  x  1 或1  x  2 ， 2  x  0 ，2  x  1 ，综上， x (2 ， 1) (0 ，1) ．
故选： A ．