人教七年级数学上册教案 第二章 2.3 有理数的乘方

这是一份人教七年级数学上册教案 第二章 2.3 有理数的乘方，共12页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。
第1课时 有理数的乘方
教师备课 素材示例
●置疑导入 同学们，你们吃过拉面吗？你们知道拉面是怎么做出来的吗？
做一做：用准备好的拉面玩具做拉面捏合的练习，作好记录．
【教学与建议】教学：通过生活中“拉面问题”的实例，问题：如果捏合100次、1 000次、n次，面条根数是多少？将实际问题抽象为数学问题的过程．建议：先让学生口答捏合后的面条根数，然后再让学生猜想回答第四次、第五次捏合后的根数．
●类比导入
问题1：比如2＋2＋2＋2＋2＋2＝2×( 6 )，2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＝2×( 10 )，2＋2＋…＋2,\s\d4(n个2))Ｂ＝2×n.
问题2：2×2＝( 22 )，2×2×2＝( 23 )，2×2×2×2＝( 24 )，2×2×2×…×2,\s\d4(n个2))Ｂ＝( 2n ).
问题3：我们在小学学过边长为a的正方形的面积是a·a＝a2，棱长为a的正方体的体积是a·a·a＝a3，则a×a×a×…a,\s\d4(n个a))Ｂ＝( an ).
【教学与建议】教学：通过类比的导入方式，使得知识的学习在迁移中便于让学生接受．建议：让学生自主交流，对学生的每个回答给予积极的评价．
●悬念激趣 导语：同学们，我们生活中有很多事件都蕴含了数学的知识，那么你知道下面这个事件所涉及的数学知识吗？
古希腊数学家阿基米德与国王下棋，国王输了，问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一颗麦子，在第二个格子中放进前一个格子的两倍，每一个格子中都是前一个格子中麦子数量的两倍，一直将棋盘每一个格子摆满．”国王觉得很容易就可以满足他的要求，于是就同意了．但很快国王就发现，即使将国库所有的粮食都给他也不够．你们知道这是为什么吗？
【教学与建议】教学：通过趣味数学创设问题情境，吸引学生的注意力．建议：教师可以现场进行演示，唤起学生的求知欲望，从而引入课题．
·命题角度1 理解乘方的意义
n个相同的乘数a相乘的结果记作an，a叫作底数，n叫作指数．
【例1】(－4)6表示的意义是(D)
A．6个－4相加的积 B．－4乘6的积
C．4个－6相乘的积 D．6个－4相乘的积
【例2】把 eq \f(2,5)× eq \f(2,5)× eq \f(2,5)× eq \f(2,5)写成乘方的形式为__( eq \f(2,5))4__，读作“__五分之二的四次幂__”．
·命题角度2 有理数的乘方运算
理解an就是n个a相乘，根据有理数的乘法运算来计算有理数的乘方．
【例3】下列运算正确的是(B)
A．－24＝16 B．－(－2)2＝－4
C．(－ eq \f(1,3))2＝－1 D．(－2)3＝8
【例4】计算：(1)(－6)3；(2)－63；(3)－(－ eq \f(2,5))4；(4)[－(－ eq \f(2,5))]4.
解：(1)原式＝－216；(2)原式＝－216；(3)原式＝－ eq \f(16,625)；(4)原式＝ eq \f(16,625).
·命题角度3 乘方在实际中的应用
利用有理数的乘方解决实际问题：(1)从特殊到一般，以幂的形式将结果表示出来；(2)结合问题进行有关运算．
【例5】13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头毛驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为(C)
A．42只 B．49只 C．76只 D．77只
【例6】1 m长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第6次后剩下的小棒长__ eq \f(1,64)__m.
·命题角度4 用计算器计算有理数的乘方
用计算器上的数字键按题意的顺序计算．
【例7】用计算器计算：
(1)185；(2)(－1.8)6.
解：(1)原式＝1 889 568；(2)原式＝34.012 224.
·命题角度5 有理数乘方的正负性
任何一个有理数的偶次方都是非负数．若两个非负数的和为零，则每个数都为零．
【例8】若a为有理数，则下列各式总能成立的是(A)
A．(－a)2＝a2 B．－a2＝(－a)2
C．(－a)3＝a3 D．|－a3|＝a3
【例9】已知|a＋3|和(b－2)2互为相反数，那么ab的值为__9__．
高效课堂 教学设计
1．理解有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及其相互间的关系，会进行乘方的运算.
2．在生动的情境中让学生获得有理数乘方的初步经验；培养学生观察、分析、归纳、概括的能力；经历从乘法到乘方的推广过程，从中感受化归的数学思想.
▲重点
乘方的相关概念及运算方法．
▲难点
理解有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及其相互间的关系．
◆活动1 新课导入
1．长为2的正方形，它的面积是多少？
解：2×2＝4.
2．边长为l的正方体，它的体积是多少？
解：l×l×l＝l3.
◆活动2 探究新知
1．教材P51 内容．
提出问题：
(1)2个2相乘记作22，3个2相乘记作23，n个2相乘记作多少？
(2)引入负数后，4个－2相乘记作多少？－24和(－2)4一样吗？为什么？
(3)求n个相同乘数的积的运算，叫作什么？它们的结果又叫作什么？
(4)在an中，a和n分别叫作什么？
(5)填表：
学生完成并交流展示．
2．教材P52 探究．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．一般地，n个相同的乘数a相乘，即a·a·…·an个 记作__an__，读作“__a的n次方__”，其中a叫作__底数__，n叫作__指数__．求n个相同乘数的__积__的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作__幂__．
2．负数的奇次幂是__负数__，负数的偶次幂是__正数__．正数的任何次幂都是__正数__，0的任何正整数次幂都是__0__．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P51 例1.
例2 教材P52 例2.
例3 算式(－ eq \f(1,3))×(－ eq \f(1,3))×(－ eq \f(1,3))×(－ eq \f(1,3))可表示为(A)
A．(－ eq \f(1,3))4 B．(－ eq \f(1,3))×4
C．－( eq \f(1,3))4 D．以上答案都不对
例4 计算：
(1)－ eq \f(42,53)； (2)－24×(－2)2；
解：原式＝－ eq \f(16,125)； 解：原式＝－64；
(3)－42×(－4)2; (4)(－ eq \f(2,5))2×(－2 eq \f(1,2))3；
解：原式＝－256; 解：原式＝－ eq \f(5,2)；
(5)( eq \f(2,3))3×( eq \f(3,2))3÷(－1)3; (6)－14×(－2)5×( eq \f(1,5))3.
解：原式＝－1; 解：原式＝ eq \f(32,125).
练习
1．教材P52 练习第1，2，3题．
2．关于－74的说法正确的是(C)
A．底数是－7 B．表示4个－7相乘
C．表示4个7相乘的相反数 D．表示7个－4相乘
3．下列各组数中，相等的一组是(C)
A．23与32 B．23与(－2)3 C．32与(－3)2 D．－23与－33
4．(1)平方等于本身的数是__0或1__，立方等于本身的数是__0或±1__；
(2)平方等于64的数是__±8__，立方等于－64的数是__－4__；
(3)定义一种新的运算a&b＝ab，如2&3＝23＝8，那么(3&2)&2＝__81__．
◆活动5 课堂小结
1．乘方的概念．
2．乘方的运算及应用．
1．作业布置
(1)教材P56～57 习题2.3第1，2，7题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 有理数的混合运算
教师备课 素材示例
●情景导入 活动内容：多媒体展示24点游戏的画面．
游戏规则：从一副扑克牌(去掉大小王)中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌只能用一次)，使得运算结果为24或－24.其中红色代表负数，黑色代表正数，J，Q，K分别表示11，12，13.

问题1：怎样将扑克牌上的数字通过我们学过的有理数运算得到20呢？
问题2：在游戏中需要运用有理数的加、减、乘、除、乘方等运算，若在一个算式里，将这些运算的两种或两种以上混合在一起，你想在游戏中尽快地胜出又该怎样准确地计算呢？这就是本节课我们要学习的内容．(板书“有理数的混合运算”)
【教学与建议】教学：从学生感兴趣的数学游戏入手，激发学生的学习兴趣及求知欲，同时也让学生进一步体会数学来源于生活又服务于生活．建议：问题1让学生自由探究，然后列出算式，问题2由教师提出，学生回答，引出本节课题.
●置疑导入 前面我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，对各种运算的法则、运算律和运算技巧已经比较熟悉，如果遇到有理数的混合运算，你有信心进行准确的计算吗？下图是小玲和小亮的对话，你同意小亮的说法吗？
【教学与建议】教学：通过回顾小学时学过的混合运算，类比简单的有理数混合运算的运算顺序揭示课题．建议：小亮的说法正确吗？讨论并实践掌握有理数混合运算的计算顺序．
·命题角度1 有理数的混合运算
按有理数运算顺序计算，每一步计算要先确定结果的符号，再确定结果的绝对值，能简便计算的要用运算律简化．
【例1】计算(－1)2 024－(－1)2 023÷(－1)2 024的结果为(D)
A．－1 B．－2 C．0 D．2
【例2】计算：－3×2＋(－2)2－5＝__－7__；12－7×(－4)＋8÷(－2)2＝__42__．
【例3】计算下列各题：
(1)－1－(1－0.5)× eq \f(1,3)×[2－(－3)2]；
(2)－22÷ eq \f(4,3)－[22－(1－ eq \f(1,2)× eq \f(1,3))]×12.
解：(1)原式＝－1－ eq \f(1,2)× eq \f(1,3)×(－7)＝－1＋ eq \f(7,6)＝ eq \f(1,6)；
(2)原式＝－4× eq \f(3,4)－(4－ eq \f(5,6))×12＝－3－(48－10)＝－41.
·命题角度2 探索数字规律
观察每组数据数字的特点，按一定规律解决问题．
【例4】观察下列各组数，按规律在横线上填上合适的数：
(1)1，－4，9，－16，25，__－36__，__49__……
(2) eq \f(1,2)， eq \f(1,5)， eq \f(1,10)， eq \f(1,17)， eq \f(1,26)，__ eq \f(1,37)__，__ eq \f(1,50)__……
【例5】观察下列式子：
1×3＋1＝22；
7×9＋1＝82；
25×27＋1＝262；
79×81＋1＝802；
…
可猜想第2 024个式子为__32_024·(32_024－2)＋1＝(32_024－1)2__．
高效课堂 教学设计
1．掌握有理数混合运算的顺序，提高运算能力．
2．熟练地进行有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算．
▲重点
按有理数的运算顺序，正确、合理地进行有理数的混合运算．
▲难点
有理数的运算顺序．
◆活动1 新课导入
1．回忆有理数的加、减、乘、除、乘方的运算法则，以及我们小学学过的四则混合运算顺序．
2．(1)(－2)3表示的意义是__3个－2相乘__，结果为__－8__；
(2)32的底数为__3__，指数为__2__；(－3)5的底数为__－3__，指数为__5__．
3．下列运算结果是负数的是__①③__．(填序号)
①(－1)3；②(－2)4；③(－5)3；④03；⑤(－ eq \f(1,3))2 024.
◆活动2 探究新知
观察3＋50÷22×(－ eq \f(1,5))－1.
提出问题：
(1)式子中有哪几种运算？
(2)如何计算这个式子？它的运算顺序是什么？
(3)计算过程中，可以运用运算律吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
有理数混合运算的顺序：
1．先__乘方__，再__乘除__，最后__加减__．
2．同级运算，从__左__到__右__进行．
3．如果有括号，先做__括号内__的运算，按__小括号__、__中括号__、__大括号__依次进行．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P53 例3.
例2 教材P53 例4.
例3 计算：
(1)23＋(－3)×(－2)2；
解：原式＝8＋(－3)×4＝－4；
(2)－24＋ eq \f(1,2)×[6＋(－4)2]；
解：原式＝－16＋ eq \f(1,2)×(6＋16)＝－5；
(3)(－1)2 021＋(－3)2× eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(2,9)))－43＋(－2)4；
解：原式＝－1＋9× eq \f(2,9)－64＋16＝－47；
(4)(－1)＋(－1)2＋(－1)3＋(－1)4＋…＋(－1)100.
解：原式＝(－1)＋1＋(－1)＋1＋…＋1＝0.
练习
1．教材P54 练习．
2．如果a＝－2×32，b＝(－2×3)2，c＝－(2×3)2，那么a，b，c的大小关系是 (B)

A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c
3．按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为5，则输出的值为__－10__．
eq \x(输入x)→ eq \x(平方)→ eq \x(减去x)→ eq \x(除以2)→ eq \x(取相反数)→ eq \x(输出)
4．观察下列各式：
1＝21－1，1＋2＝22－1，1＋2＋22＝23－1，….
猜想：
(1)1＋2＋22＋23＋…＋263＝__264－1__；
(2)若n是正整数，则1＋2＋22＋23＋…＋2n＝ __2n+1－1__．
5．计算：
(1)－10＋8÷(－2)2－(－4)×(－3)；
解：原式＝－10＋8÷4－12
＝－10＋2－12
＝－20；
(2)4×(－3)2－5×(－2)3＋6；
解：原式＝4×9－5×(－8)＋6
＝36＋40＋6
＝82；
(3)－14－ eq \f(1,6)×[2－(－3)2]；
解：原式＝－1－ eq \f(1,6)×(2－9)
＝－1－ eq \f(1,6)×(－7)
＝－1＋ eq \f(7,6)
＝ eq \f(1,6)；
(4)(－3)2－1 eq \f(1,2)× eq \f(2,9)－6÷ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))) eq \s\up12(2).
解：原式＝9－ eq \f(1,3)－6÷ eq \f(4,9)
＝9－ eq \f(1,3)－ eq \f(27,2)
＝－4 eq \f(5,6).
◆活动5 课堂小结
1．有理数混合运算的顺序．
2．有理数混合运算的运用．
1．作业布置
(1)教材P56～57 习题2.3第3题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
2.3.2 科学记数法
教师备课 素材示例
●置疑导入 多媒体投影，展示问题：
(1)第七次全国人口普查时，中国人口约为1 411 780 000人；
(2)光的速度约为300 000 000 m/s；
(3)地球半径约为6 371 000 m；
(4)全球每年大约有577 000 000 000 000 m3的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽；
(5)据统计，全国每年浪费粮食总量约50 000 000 000 kg，拒绝“餐桌浪费”刻不容缓．
问题1：生活中有比100万更大的数吗？请试举出几个例子．
问题2：从上面的问题中，你发现这些数据有什么特点？
问题3：请同学们想一想，有没有更简单的方法来表示这些较大的数，以便于我们读写呢？
【教学与建议】教学：利用生活中的大数读写困难的问题，激发学生的求知欲，让学生感受数学来源于生活．建议：先让学生讨论，激发学生学习的兴趣，从而引入新课.
●归纳导入 (1)计算：102＝__100__；105＝__100_000__；108＝__100_000_000__；
(2)尝试用10n的形式表示下列各数：
100 000＝__105__，1 000 000＝__106__，10 000 000＝__107__；
(3)试一试：
太阳的半径约为700 000 km：700 000＝7×__100_000__＝7×__105__；
2023年春运期间铁路运送旅客达348 000 000人次：
348 000 000＝3.48×__100_000_000__＝3.48×__108__．
【归纳】像上面这样，把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1，且a小于10，n是正整数)，使用的是科学记数法．
【教学与建议】教学：从一系列的数据中体会大数“读”“写”的困难，从而导出课题．建议：归纳底数为10的幂的结果感受数的“形式”变化的原理．
·命题角度1 用科学记数法表示数
用科学记数法表示大于10的数的“三步法”：
(1)定a：确定a，a必须满足1≤a