人教版（2024）八年级上册（2024）13.3.1 三角形的内角优秀ppt课件

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我的形状最小，那我的内角和最小.
我的形状最大，那我的内角和最大.
不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.
一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.
我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关.
【思考】你有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?
还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？
60°＋48°＋72°＝180°
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
三角形的内角和定理的证明
在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
还有其他的拼接方法吗？
三角形三个内角的和等于180°.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1.(两直线平行，内错角相等) ∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
证法3：过D作DE∥AC，作DF∥AB.∴ ∠C=∠EDB，∠B=∠FDC.(两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)∴ ∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°.
同学们还有其他的方法吗？
【思考】 多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤.
为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫作辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °， ∠B=75 °， AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
解：由∠BAC=40 °， AD是△ABC的角平分线，得
在△ABD中，∠ADB=180°–∠B –∠BAD =180°–75°–20° =85°.
利用三角形的内角和定理求角的度数
如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°–∠B –∠BCD=80°.
如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A = 150°，∠B= ∠D=40°.求∠C的度数.
解：∠C＝180°×2–(40°＋40°＋150°) ＝130°.
在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为(　　) A．30°　　B．40°　 C．50° 　D．60°
如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是(　　)A．45° B．54° C．40° D．50°
例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°， 求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°.
 直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°，则∠2＝________．
由三角形的内角和定理易得 ∠A+∠B=∠C+∠D.
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.
例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解: 设∠B度数为x，则∠A度数为3x，∠C度数为(x ＋ 15)， 从而有
3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°，48°.
方程的思想与三角形内角和定理的综合应用
方法点拨： 三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°，列方程求解.
在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．
分析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数．
比例关系可考虑用方程思想求角度.
解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝180°–90°–30°＝60°.∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE＝ ×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD–∠ACE＝60°–45°＝15°.
②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 _________三角形 .
①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= .
③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°， ∠C= ∠A + 10°， 则 ∠A= ， ∠ B= ，∠ C= .
解析：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由三角形的内角和定理得：x+2x+3x=180°，解得x=30°，3x=90°.
例4 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？
利用三角形的内角和定理解决实际问题(方位问题）
解： ∠CAB= ∠BAD– ∠CAD=80 °– 50°=30°.
由AD//BE，得∠BAD+ ∠ABE=180 °.
所以∠ABE=180 °– ∠BAD=180°–80°=100°，∠ABC= ∠ABE– ∠EBC=100°–40°=60°.
在△ABC中，∠ACB =180 °– ∠ABC– ∠ CAB =180°–60°–30° =90°，
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60 °，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.
如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？
解：∵在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，∴ ∠ABD＝60°.又∵ ∠DBE＝90°，∴ ∠ABE＝90°–∠ABD＝90°–60°＝30°.∵在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，∴ ∠ACE＝90°–40°＝50°.∴ ∠BAC＝∠ACE–∠ABE＝50°–30°＝20°.即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°.
（2024·四川凉山州中考）如图，在△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是______．
解析：∵CD是边AB上的高， ∴∠CDB=∠CDA=90°. ∵∠BCD=30°，∠ACB=80°， ∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=50°，∠CBD=90°-∠BCD=60°. ∴∠CAB=90°-∠ACD=40°. ∵AE是∠CAB的平分线​，∴∠EAB= ∠CAB=20°. ∴∠AEB=180°-∠EAB-∠EBA=100°．
1.求出下列各图中的x值．
3. 如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .
2. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=　　　　．
1. 如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
解：∵∠A+∠ADE=180°， ∴AB∥DE， ∴∠CED=∠B=78°． 又∵∠C=60°， ∴∠EDC=180°–（∠CED+∠C） =180°–（78°+60°） =42°．
2.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数.
解：∵∠B=42°，∠C=78°，∴∠BAC=180°–∠B –∠C=60°.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD= ∠BAC=30°，∴∠ADC=180°–∠B–∠CAD=72°.
如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．
解：∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°–60°=120°．
【思考】你能直接写出∠BPC与∠A 之间的数量关系吗？
解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°– （∠ABC+∠ACB） =180°– （180°–∠A）=90°+ ∠A ．
转化为一个平角或同旁内角互补
三角形的内角和等于180 °
P13 1、2题