云南省怒江傈僳族自治州民族中学2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试卷

这是一份云南省怒江傈僳族自治州民族中学2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试卷，共16页。试卷主要包含了圭表，关于平面向量，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共8小题，共计40分）
1．若为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．四名同学A，B，C，D各掷骰子5次，分别记录自己每次骰子出现的点数.根据四名同学的如下统计结果，则可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A．平均数为2，中位数为1B．中位数为3，众数为2
C．中位数为3，极差为4D．平均数为2，方差为2.4
4．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
5．对于不同直线和平面，下列叙述错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
7．已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题，共计18分）
9．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示．现随机选取一个成员,则( )
A．他只属于音乐小组的概率为113
B．他只属于英语小组的概率为815
C．他属于至少2个小组的概率为35
D．他属于不超过2个小组的概率为1315
10．关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B．三棱锥的体积为4
C．三棱锥的外接球表面积为
D．一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围 ．
13．如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在处观测灯塔在北偏东方向，行驶2h后，船到达处，观测个灯塔在北偏东方向，此时船与灯塔的距离为 km.
14．已知菱形的各边长为4，．如图所示，将沿折起，使得点D到达点S的位置，连接，得到三棱锥，此时．若E是线段的中点，点F在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点F轨迹的面积为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共计77分）
15．（13分）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+3csA=2.
（1） 求A;
（2） 若a=2,2bsinC=csin2B,求△ABC的周长.
16．在某地区，某项职业的从业者共约8．5万人，其中约3．4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：
（1）求样本中患病者的人数和图中，的值；
（2）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率；
（3）某研究机构提出，可以选取常数（），若一名从业者该项身体指标检测值大于，则判断其患有这种职业病；若检测值小于，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．写出使得判断错误的概率最小的的值及相应的概率（只需写出结论）．
17．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，.
（1）用，表示，.
（2）如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.
18．如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，．

（1）证明：平面ABC；
（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值．
19．在空间直角坐标系O－xyz中，已知向量，点．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程为，一般式方程可表示为．
（1）若直线l的方向向量为，平面α的一般式方程为，求直线l与平面α所成角的正弦值；
（2）若平面β经过点，点，点，平面γ的一般式方程为，直线l为平面β和平面γ的交线，求平面β的一般式方程，并求直线l的单位方向向量（写出一个即可）；
（3）已知集合，，记集合Q中所有点构成的几何体为，中所有点构成的几何体为．
（ⅰ）若，求几何体的体积和的表面积；
（ⅱ）若，求几何体的体积关于m的函数关系式．
参考答案
1．【答案】A
【详解】由题意，
所以．
故选A．
2．【答案】D
【详解】由，得，解得，所以，
又，.
故选D.
3．【答案】D
【详解】对于A，平均数为2，中位数为1，说明5次点数总和为，且将5次点数从小到大排序，第三位为1，
则从小到大排序前三位是1,1,1，后两位点数之和为，不确定是否出现点数6，故A错误；
对于B，中位数为3，众数为2，说明将5次点数从小到大排序，第三位为3，且2至少出现过两次，
则从小到大排序前三位是2,2,3，后两位不确定是否出现点数6，故B错误；
对于C，中位数为3，极差为4，说明将5次点数从小到大排序，第三位为3，
极差可能是，也可能是，不确定是否出现点数6，故C错误；
对于D，平均数为2，方差为2.4，说明5次点数总和为，
若出现点数6，则其他四次点数之和为，只能是1,1,1,1，
则方差，
所以一定没有出现点数6，故D正确.
故选D.
4．【答案】B
【详解】由于是边上的中点，则.
.
故选B.
5．【答案】A
【详解】A选项，若，则或， A错误；
B选项，若两平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，B正确；
C选项，若一个平面中的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面互相平行，C正确；
D选项，如图，过直线作平面，设，因为所以，，
因为，所以，又，所以，，D正确.
故选A.
6．【答案】B
【详解】由，得，
整理得，则，
因为，所以，
又由及正弦定理，得，化简得，
所以为等边三角形，
故选B
7．【答案】A
【详解】如图所示，几何体为正三棱柱，且所有棱长均为，
底面ABC为正三角形，侧面为正方形，
则
．
故选:A．
8．【答案】D
【详解】先求，在中利用正弦定理求，在中即可求.
【详解】，
在中由正弦定理得：，即，
所以，
又因为在中，，
所以,
故选D
9．【答案】CD
【详解】由题图知参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60(人),只属于数学、英语、音乐小组的人数分别为10,6,8,故只属于音乐小组的概率为860=215,只属于英语小组的概率为660=110.“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况,故他属于至少2个小组的概率为11+10+7+860=35.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”,其对立事件是“3个小组”,故他属于不超过2个小组的概率是P=1-860=1315.故选CD.
10．【答案】BD
【详解】对于A，因为向量不能比较大小，故A错误；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，则，但与不一定平行，故C错误；
对于D，若，则，故D正确；
故选BD．
11．【答案】ACD
【详解】对于A，由中位线可得，在正方体中，，所以，
所以四点共面，又因为，所以截面为梯形，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径，
所以表面积，故C正确；
对于D，记的中点为Q，如图所示，
若正方形沿着展在平面，
在直角中，可得，
若沿着展开到与平面重合，
在直角中，可得，综上，最短距离为，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】向量，，且与的夹角为钝角，则（且排除反向共线情况）.
当时，则，解得.
当当反向共线时，，解得.
综上所得，求实数的取值范围为.
13．【答案】
【详解】由图知知，，
由正弦定理有.
14．【答案】/
【详解】取中点M，连接，，
则，，，，平面，
∴平面，，
由题意，又，
所以，
是三角形内角，因此，
作于H，设点F轨迹所在平面为，
则平面经过点H且，
设三棱锥外接球的球心为O，，的中心分别为，，
易知平面，平面，且O，，，M四点共面，
，由球的性质知，从而，即是的角平分线，
所以，，，
又，
则三棱锥外接球半径，
易知O到平面的距离，
故平面截外接球所得截面圆的半径为，
所以截面圆的面积为，即点F轨迹的面积为．
15．【答案】
（1） 【解】由sinA+3csA=2,得2(12sinA+32csA)=2,
所以sin(A+π3)=1.…………2分
由A∈(0,π),得A+π3∈(π3,4π3),所以A+π3=π2，
所以A=π6.…………5分
（2） 由A,B,C为三角形内角，得sinB≠0,sinC≠0.
因为2bsinC=csin2B,
所以由正弦定理得2sinBsinC=sinCsin2B,
所以2sinB=sin2B,即2sinB=2sinBcsB，所以csB=22，所以B=π4.…………7分
因为a=2,A=π6,所以由正弦定理，得b=asinAsinB=22.…………9分
由A=π6,B=π4,得C=7π12，所以sinC=sin7π12=sin(π3+π4)=22×32+22×12=6+24,
所以由正弦定理,得c=asinCsinA=2×6+2412=6+2,…………11分
所以△ABC的周长为a+b+c=2+22+6+2=2+6+32.…………13分
【一题多解】（1） 由已知可得，sinA+3csA=2,则sinA=2−3csA.
所以sin2A=(2−3csA)2=3cs2A−43csA+4.…………2分
又sin2A+cs2A=1,所以4cs2A−43csA+3=0.…………3分
解得csA=32.又因为A∈(0,π),所以A=π6.…………5分
（2） 如图,过点C 作CD⊥AB,垂足为D，设CD=ℎ.
因为A=π6,a=2,2bsinC=csin2B,
所以由正弦定理可得,2sinBsinC−2sinCsinBcsB=0.
因为B,C∈(0,π),所以sinB≠0,sinC≠0,
所以csB=22,B=π4.…………7分
在Rt△CDB 中，由B=π4 得CD=BD=ℎ=22a=2;…………9分
在Rt△ACD 中，由A=π6 得AC=2CD=2ℎ=22,…………11分
所以AD=3ℎ=6.
所以△ABC 的周长为AB+BC+AC=6+2+2+22=2+32+6.…………13分
16．【答案】（1）样本患病人数为人，，；
（2）；
（3），误判概率为．
【详解】（1）由题设，患病者与未患病者的比例为，故患者人数为人；
由直方图知：，可得，
，可得．
（2）由题意，指标检测值为4的未患病者有人，
指标检测值为4的患病者有人；
所以指标检测值为4的样本中随机选取2人，这2人中有患病者的概率的概率．
（3）若为未患病者，为患病者，为体指标检测值为者，
所以100名样本中，，，
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为0、54，误判率为；
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为0、33，误判率为；
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为4、18，误判率为；
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为12、9，误判率为；
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为3、24，误判率为；
综上，当时误判概率最小为．
17．【答案】（1）；
（2），见详解
【详解】（1）；
.
（2）.
证明如下：
由（1）知，，，
.
，.
18．【答案】（1）见详解；
（2）.
【详解】（1）取BC的中点M，连结MA、．

因为，，所以，，
由于AM，平面，且，
因此平面，
因为平面，所以，
又因为，所以，
因为平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC，
因为，所以平面ABC.
（2）法一：因为，且，所以．
以AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，则，可得，
令，则，
设平面的法向量为，则，可得，
令，则，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
法二：将直三棱柱补成长方体．
连接，过点C作，垂足为P，再过P作，垂足为Q，连接CQ，

因为平面，且平面，
所以，
又因为，由于BD，平面，且，
所以平面，则为直角三角形，
由于平面，所以，
因为，平面CPQ，且，所以平面CPQ，
因为平面CPQ，所以，
则∠CQP为平面与平面的夹角或补角，
在中，由等面积法可得,
因为，所以，
因此平面与平面夹角的余弦值为.
19．【答案】（1）；
（2），或（写出其中一个即可）；
（3）（ⅰ），；
（ⅱ）
【详解】（1）根据题意，平面α的一个法向量.
设直线l与平面α所成角为，则.
（2）设平面β的一个法向量为，
则取，得，
所以平面β的点法式方程为，一般式方程为.
设直线l的一个方向向量为.
因为平面γ的一般式方程为，所以平面γ的一个法向量，
又直线l为平面和平面γ的交线，所以，，
所以取，得.
故直线l的一个单位方向向量为或.
（3）（ⅰ）集合中所有点构成的几何体是以原点为中心，且边长为2的正方体.
当时，，当时，.
根据题意，表示的是一个平面，且该平面过，
因此，在第卦限的部分是一个三棱锥，如下图所示.
根据对称性，是一个八面体，如下图所示.
的体积.
在八面体中，时的截面是对角线长为3的正方形，与正方体上底面交点如下图所示.
因为正方形对角线长为3，正方形边边长为2，，
所以在等腰直角三角形中，，
所以几何体如下图所示.
几何体的表面积.
（ⅱ）由（ⅰ）知，时，八面体与正方体六个面的交线都为六边形.
因为正方形对角线长为，正方形边边长为2，，
所以则等腰直角三角形中，，
所以几何体的体积.
故.
未患病者
6
21
15
9
6
3
患病者
0
0
4
8
12
16