云南省怒江傈僳族自治州民族中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

这是一份云南省怒江傈僳族自治州民族中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题，共14页。试卷主要包含了直线的倾斜角为，若抛物线y2＝2px，把正整数用以下列方法分组等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答
题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的单调递减区间是（ ）
A．（0，3）B．（2，＋∞）C．（－∞，2）D．（0，2）
2．设分别是两条直线a，b上的方向向量，α，β是两个平面，且，则“α⊥β”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
4．若抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，则p等于（ ）
A． B．1 C． D．2
5．若直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
6．对方程x2＋y2＋2x－m＝0，下列叙述正确的是（ ）
A．方程表示的是圆
B．当m＝0时，方程表示过原点的圆
C．方程表示的圆关于直线x＋y＋1＝0对称
D．方程表示的圆的圆心在x轴上
7．在平面直角坐标系中，记第一象限内的动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
8．把正整数用以下列方法分组：（1），（2，3），（4，5，6），…，其中每组都比它的前一组多一个数，设Sn表示第n组中所有各数的和，那么S21等于（ ）
A．1113B．4641C．5082D．53361
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知P是圆上一点，Q是直线上一点，O为坐标原点，则（ ）
A．直线l不经过第二象限的充要条件是
B．线段OP的中点的轨迹方程为
C．当时，的最小值为
D．当时，的最小值为
10．（2023·福建省厦门第六中学期中）已知直线l的倾斜角为，且直线l经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线l的一个方向向量为 B．直线l在x轴上的截距等于
C．直线l与直线垂直 D．点到直线l上的点的最短距离是1
11．已知直线，则下列选项正确的是（ ）
A． 当直线l与直线平行时，
B． 当直线l与直线垂直时，
C． 当实数k变化时，直线l恒过点
D． 直线l和x，y负半轴构成的三角形面积最小值是4
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某附属中学有四个学院：步青学院，家祯学院，希德学院，望道学院；共474人，这四个学院的学生人数依次分别为a1，a2，a3，a4，若a1，a2，a3构成公差为12的等差数列，a1，a3，a4构成等比数列，则步青学院的人数为________．
13．已知点A（1，3），B（－2，－1）．若直线l：y＝k（x－2）＋1与线段AB相交，则k的取值范围是________．
14．点M在椭圆上，F是椭圆的一个焦点，N为MF的中点，，则_________．
四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在上的最大值和最小值．
16．已知函数（a，b∈R）的图象在x＝－1处的切线斜率为－1，且x＝－2时，有极值．
（1）求的解析式；
（2）求在[－3，2]上的最大值和最小值．
17．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，底面ABCD，且分别为PB，PC中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面AEF与平面PBC所成角的正弦值．
18．已知圆上一点
（1）求圆O在点P处的切线方程；
（2）过点P作直线l交圆O于另一点A，点满足，求直线l的方程．
19．已知抛物线，点在抛物线E上，且A在x轴上方，B和C在x轴下方（B在C左侧），A，C关于x轴对称，直线AB交x轴于点M，延长线段CB交x轴于点Q，连接QA．
（1）证明：为定值（O为坐标原点）；
（2）若点Q的横坐标为，且，求的内切圆的方程．
参考答案
一、单选题
1．【答案】D
【解析】易知的定义域为（0，＋∞），．
令，解得0－1，A错；B正确；方程表示圆时，圆心为（－1，0），在直线x＋y＋1＝0上，C，D正确．
7．【答案】B
【解析】设，则有，解得，所以．
如图，过点O作点O关于直线的对称点C，则．
设第一象限内的点，则，所以，
而，所以点P到y轴的距离为，所以可视为线段上的点到y轴的距离和到的距离之和．过P作轴，显然有，
当且仅当三点共线时，和有最小值．过点C作轴，则即为的最小值，此时P与H重合．又，所以的最小值为4．故选：B．
8．【答案】B
【解析】因为第n组有n个数，
所以前20组一共有1＋2＋3＋…＋20＝210个数，
于是第21组的第一个数为211，
这组一共有21个数，．
二、多选题
9．【答案】BC
【解析】显然当时，直线l的方程为，也不经过第二象限，所以A不正确；
设OP的中点为，则
因为，所以，
即线段OP的中点的轨迹方程为，故B正确；
圆心，半径为，当时，直线l的方程为，
因为圆心C到直线l的距离为，所以的最小值为，故C正确；
设O关于直线l的对称点为，则解得即，
因为，所以，
所以的最小值为，故D不正确．
故选：BC．
10．【答案】CD
【解析】直线l的倾斜角为，斜率为，
所以直线l的一个方向向量为，所以A选项错误．
直线l的方程为，
令得，所以B选项错误．
直线的斜率为，
，所以直线l与直线垂直，所以C选项正确．
直线l的方程为，即，
点到的距离为，所以D选项正确．
故选：CD
11．【答案】ACD
【解析】A：由题意，，则，故A对；
B：由题意，，故B错；
C：直线可化为，联立，直线恒过点，故C对；
D：，直线恒过点，由题意，设直线方程为，即，
且
即（舍），当时，即取等号，所以直线l和x，y负半轴构成的三角形面积最小值是4，对．
故选：ACD．
三、填空题
12．【答案】96
【解析】由a1，a2，a3构成公差为12的等差数列可得a3=a1+2d=a1+24，
由a1，a3，a4构成等比数列可得a32=（a1+24）2=a1a4①，
又因为a1+a2+a3+a4=3a1+3d+a4=3a1+36+a4=474②，
联立①②解得a1=96或32（舍去）．
故答案为：96
13．【答案】
【解析】由已知得，直线l恒过定点P（2，1），如图所示．
若l与线段AB相交，
则kPA≤k≤kPB，
因为，
所以．
14．【答案】4
【解析】根据椭圆的对称性，不妨设F为左焦点，为右焦点，如图，作出草图，
因为N是MF的中点，易知O是的中点，所以ON为的中位线，所以，
由椭圆方程得半长轴长，所以长轴长，根据椭圆的定义，，
所以．
故答案为：4．
四、解答题
15．【答案】解：（1）∵，∴．令，解得或
，函数单调递增．
，函数单调递减．
，函数单调递增．
∴函数f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是和．
（2）由（1）知函数f（x）在区间上单调递减，在上单调递增．所以时，有极小值，又因为，，
所以；；故函数f（x）在上的最大值和最小值分别为3和-1．
16．【答案】解：（1）对f（x）=ax3+x2+bx求导，得f'（x）=3ax2+2x+b．
由x=-1处切线斜率为-1，有f'（-1）=3a-2+b=-1；由x=-2时f（x）有极值，有f'（-2）=12a-4+b=0．
联立方程，消去b：（12a-4+b）-（3a-2+b）=1，即9a-2=1，解得a=13．
将a=13代入3a-2+b=-1，得1-2+b=-1，解得b=0．
所以f（x）=13x3+x2．
（2）由（1）知f'（x）=x2+2x，令f'（x）=0，即x（x+2）=0，解得x=-2或x=0．
分析f（x）在[-3，2]上的单调性：
当x∈[-3，-2）时，f'（x）=x（x+2）>0，f（x）单调递增；
当x∈（-2，0）时，f'（x）=x（x+2）