云南省怒江傈僳族自治州民族中学2024-2025学年高三下学期第二次高考模拟测试数学试卷

这是一份云南省怒江傈僳族自治州民族中学2024-2025学年高三下学期第二次高考模拟测试数学试卷，共13页。试卷主要包含了[5分]若向量,，且，则，[5分]已知函数是偶函数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．[5分]已知集合A={a,a2}，B={1,4}，若1∈A，则A∪B中所有元素之和为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．[5分]已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．[5分]某校有男生人，女生人，现按性别采用分层抽样的方法从该校学生中抽取人进行调查，则男生被抽取的人数是（ ）
A．B．C．D．
4．[5分]若向量,，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．[5分]已知是在上单调递增的奇函数，则函数在上的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
6．[5分]用3，4，5这3个数字组成无重复数字的自然数m，记事件能被5整除”，事件为奇数”，则事件A与事件B至少有一个发生的概率为（ ）
A．B．C．D．1
7．[5分]已知函数是偶函数，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．[5分]投掷均匀的骰子，每次投得的点数为1或2时得1分，投得的点数为3，4，5，6时得2分，独立重复投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是（ ）
A．投掷2次骰子，最终得分的期望为
B．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则
C．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则
D．设最终得分为分的概率为，则
二、多选题（本大题共3小题，共18分）
9．[6分]某社会机构统计了某市四所大学2024年毕业生人数及自主创业人数如下表：
根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为y=0.14x−0.33，则（ ）
A．y与x正相关B．m=6
C．当x=3时，残差为0.01D．样本相关系数r为负数
10．[6分]等差数列中，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，则，
11．[6分]抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F,O为坐标原点，从点P(x0,y0)(4x0>y02>0)发出平行于x轴的光线，经过抛物线上的点N反射后经过抛物线上另一点M，则（ ）
A．存在点P使得点P,N,O,M都在以F为圆心的圆上
B．存在点P使得点F是△POM的垂心
C．存在点P使得点F是△POM的重心
D．点M到直线PN的最短距离为4
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．[5分]已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则其离心率为 .
13．[5分]在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，则实数的取值范围为 ．
14．[5分]已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15．[13分]已知中，.
（1）求的大小；
（2）若，求面积的最大值.
16．[15分]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)经过点P(22,3),焦点F到渐近线的距离为3.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l与双曲线C相交于A,B两点,M(4,2)是弦AB的中点,求AB的长度.
17．[15分]如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，且AC为斜边，为等边三角形．若，为的中点，为线段上的动点．
(1)证明：⊥面；
(2)求二面角的正切值；
(3)当的面积最小时，求与底面所成角的正弦值．
18．[17分]已知为数列的前项和，且，数列前项和为，且，.
（1）求和的通项公式；
（2）设，设数列的前项和为，求；
（3）证明：.
19．[17分]已知函数，，当时，
（1）若函数在处的切线与轴平行，求实数的值；
（2）求证：；
（3）若恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由1∈A得a=1或a2=1，解得a=1或a=−1，
若a=1，则a2=1，不符合题意（提示：注意检验集合元素的互异性）；
若a=−1，则A={−1,1}，从而A∪B={−1,1,4}，
所以A∪B中所有元素之和为4.
故选C.
2．【答案】D
【详解】∵复数满足
∴
∴复数在复平面内对应的点位于第四象限
故选D.
3．【答案】C
【详解】设男生被抽取的人数是，
由已知可得，
解得，.
故选C.
4．【答案】A
【详解】因为向量,，且，则，
即，解得.
故选A.
5．【答案】B
【详解】由，得是奇函数，故C不符合题意．
令，得或，故D不符合题意．
当时，，所以，故A不符合题意．
故选B．
6．【答案】A
【详解】由题意：用3，4，5这3个数字组成无重复数字的自然数，
则共有6种情况，共有2种情况，
共有4种情况，所以，
所以，
故选A.
7．【答案】C
【详解】由题意得出
由于函数是偶函数，则
所以
故选C
8．【答案】D
【详解】对于A，投掷2次可能的取值为2，3，4，，，
，，故A错误；
对于B，投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分，
，
所以.
利用错位相减法可得，，故B错误；
对于C，，
，故C错误；
对于D，投掷骰子一次要么得1分，要么得2分，
∴最终得分，前一次要么是分，要么是分，
故，故D正确；
故选D.
9．【答案】ABC
【详解】因为经验回归直线的斜率为0.14，所以y与x正相关，故A正确；
由表格中的数据可得x=3+4+5+m4=3+m4，y=0.1+0.2+0.4+0.54=0.3，所以样本中心点为3+m4,0.3，将样本中心点的坐标代入经验回归方程得0.14×3+m4−0.33=0.3，解得m=6，故B正确（提示：求解经验回归方程的关键是确定a，b，应充分利用经验回归直线过样本点的中心x,y）；
当x=3时，y=0.14×3−0.33=0.09，所以当x=3时，残差为0.1−0.09=0.01，故C正确；
因为y与x正相关，所以样本相关系数r为正数，故D错误.故选ABC.
10．【答案】ACD
【详解】等差数列中，，
对于A，，，A正确；
对于B，，则，，
则，，因此，即，B错误；
对于C，，则，C正确；
对于D，设的公差为，由，得，解得，
则，，D正确.
故选ACD
11．【答案】BCD
【详解】对于A：由题意可知，N,F,M三点共线，根据抛物线的对称性可知，若存在点P使得点P,N,O,M都在以F为圆心的圆上，则|MN|为通径，则xM=xN=1,|y0|=2，则以点F为圆心的圆的半径为2，但|OF|=1≠2，所以不存在点P使得点P,N,O,M都在以F为圆心的圆上，故A错误.
对于B：由P(x0,y0)，得N(y024,y0)，当直线MN的斜率存在时，kNF=y0y024−1=4y0y02−4，则直线NF:y=4y0y02−4(x−1)，将直线NF的方程与抛物线方程联立，得y0y02−4y2−y−4y0y02−4=0，则yMyN=−4，所以yM=−4y0，则xM=4y02，即M(4y02,−4y0)（提示：可直接利用yMyN=−p2得yM=−4y0）.若存在点P使得点F是△POM的垂心，则OF⊥PM，OP⊥FM，OF=(1,0)，PM=(4y02−x0,−4y0−y0)，则OF⋅PM=4y02−x0=0①，OP=(x0,y0)，FM=(4y02−1,−4y0)，则OP⋅FM=4x0y02−x0−4=0②，且4x0>y02>0③，联立①③，得x0>1，联立①②，得x02−x0−4=0，则Δ>0，得x0=1+172>1成立，故B正确.
对于C：若存在点P使得点F是△POM的重心，则1=0+x0+4y023且0=0+y0+−4y03，得x0=2，y0=±2，即P(2,±2)，故C正确.
对于D：点M到直线PN的距离为|−4y0−y0|=|4y0|+|y0|≥2|4y0|×|y0|=4，当且仅当4|y0|=|y0|，即y0=±2时等号成立，所以点M到直线PN的最短距离为4，故D正确.
故选BCD.
12．【答案】/
【详解】的渐近线方程为，
故，故离心率为.
13．【答案】
【详解】在中，由可得,
又因为，
所以，即
则，
所以可得，由正弦定理得．
又可知．又为锐角三角形，所以，
由余弦定理得．所以，
即，所以，
解得．
又，所以．
又因为，所以，
即．
令，则，则．
因为在上单调递增，又，，
所以实数的取值范围为．
14．【答案】2
【详解】由②及题设条件，得.
由①，知为增函数，得，即
即.
令，则.
又为增函数，所以，即，所以，
故.
15．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）由和正弦定理可得,
在中，，
故，
因此，由于，故，即，
因为，所以.
（2）由余弦定理可得,
由于，故，当且仅当时取等号，
故的面积为，
所以面积的最大值为.
16．【答案】见解析
【详解】(1)若焦点F(c,0),其到渐近线y=bax的距离d=bca1+ba2=b=3.
因为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)经过点P(22,3),
所以8a2-33=1,解得a=2,
所以双曲线C的方程为x24-y23=1.
(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),因为M(4,2)是弦AB的中点,
所以x1+x2=8,y1+y2=4.由x124−y123=1,x224−y223=1,得(x1+x2)(x1−x2)4=(y1+y2)(y1−y2)3,
所以y1−y2x1−x2=3(x1+x2)4(y1+y2)=32,
从而直线l的方程为y-2=32(x-4),即y=32x-4.
联立y=32x−4,3x2−4y2=12,得6x2-48x+76=0,所以x1+x2=8,x1x2=383,
从而|AB|=1+322|x1-x2|=1+322·(x1+x2)2−4x1x2=3903.
17．【答案】(1)证明见解答
(2)
(3)
【分析】（1）由已知可得，，可证面；
（2）由题意可证，进而可证平面，过点作于， 为二面角的平面角，求解即可；
（3）当最小时，的面积最小，此时，进而可证平面平面，（或其补角）是CF与底面ABD所成的角，求解即可.
【详解】（1）因为E为AC的中点，为等腰直角三角形，所以，
又为等边三角形，所以，
又，平面，所以面；
（2）为等腰直角三角形，且AC为斜边，，可得，
为等边三角形．若，所以，
所以，所以，
又，，平面，所以平面，
所以平面，，
过点作于，因为，平面，
所以平面，平面，从而可得，
所以为二面角的平面角，
又，所以，所以，
所以，
所以二面角的正切值为；
（3）因为AC⊥平面，平面，所以，
所以当最小时，的面积最小，此时，
由面，面，可得，又，，
所以平面，又平面，所以平面平面，
所以（或其补角）是CF与底面ABD所成的角，
由（2）可知，且，所以，
由勾股定理可求得，
在中，由余弦定理可得，
所以.
18．【答案】（1）， .
（2） .
（3）详见详解.
【详解】（1）由，
当时，，
当时，，
检验时，，所以；
因为，（），
所以，即（），
而，故满足上式，
所以是以，公比等于的等比数列，即；
（2）因为，
所以，
所以
；
（3）因为，
.
所以 ，
，
因为，，所以，
即，即证：；
综上，，， .
19．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）求导数，根据题意g'(0)=0,求得a的值；（2）①当时，，构造函数，利用导数研究单调性，进而证明，从而证得；②当时，，令，利用导数研究单调性，进而证明，，综上可知：；（3）利用（2）的结论放缩后得，令，利用导数研究单调性可得．得到．从而当时，在上恒成立．同样利用放缩后可得．利用导数进行研究可证得当时，在上不恒成立．
【详解】
解：（1），
函数在处的切线与轴平行，则，得．
（2）证明：①当时，，
令，则．当时，，
∴在上是增函数，∴，即．
②当时，，令，则．
当时，，∴在单调递增，∴，
∴，综上可知：；
（3）解：设
．
令，则，
令，则．
当时，，可得是上的减函数，
∴，故在单调递减，
∴．∴．
∴当时，在上恒成立．
下面证明当时，在上不恒成立．
．
令，则．
当时，，故在上是减函数，
∴．
当时，．∴存在，使得，此时，．
即在不恒成立．综上实数的取值范围是．A 大学
B 大学
C 大学
D 大学
毕业生人数x （千人）
3
4
5
m
自主创业人数y （千人）
0.1
0.2
0.4
0.5