暑假作业05 奔驰定理、三角形“四心”的向量表示-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练试题（含答案）（人教A版2019）

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作业05 拓展专题2 奔驰定理、三角形“四心”的向量表示
【知识点1 奔驰定理】
奔驰定理
如图，已知P为内一点，则有.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
奔驰定理的证明
如图：延长与边相交于点
则
奔驰定理的推论
推论1：是内的一点,且,则
（1）；
（2）.
【知识点2 奔驰定理与三角形“四心”的关系】
1．三角形“四心”的概念
(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；
(2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；
(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
2.三角形“四心”与向量的关系
奔驰定理是三角形“四心”向量式的完美统一，借助奔驰定理可以推导及证明三角形“四心”与向量的关系.
(1)是的重心
证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得
(2)是的内心
证明：，，（为内切圆的半径），所以
，再由奔驰定理可得.
(3)是的外心
；
证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得
（4）是的垂心：
证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得
.
【知识点3 三角形“四心”的向量表示】
1.三角形重心的向量表示
（1）；
（2）；
（3）动点满足，，则的轨迹一定通过的重心
（4）动点满足，，则动点的轨迹一定通过△ABC的重心
（5）重心坐标为：.
2.三角形外心的向量表示
（1）；
（2）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心；
（3）若，则是的外心；
（4）；
（5）.
3.三角形内心的向量表示
（1）
（2）
（3）动点满足，则的轨迹一定通过△ABC的内心
（4）.
4.三角形垂心的向量表示
（1）
（2）
（3）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心
（4）
（5）.
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：奔驰定理的应用（重点）】
1.设为三角形内一点，且满足：，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】为三角形内一点，且满足，
，
．
，
故选：D．
2．已知O为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为3，则的值为（ ）
A． B． C．2D．3
【答案】C
【解析】
由奔驰定理得，解之得，故选C．
3.已知点是所在平面内一点，满足， ，则_______
【答案】
【解析】（法1）：由结论推广可得，，所以
（法2）：由可得，设AB，BC中点分别是D,E，得，所以点P在中位线上，且，所以
4.设为所在平面上一点，且满足．若的面积为8，则的面积为___________．
【答案】14
【解析】（法1）共线系数和＋分点恒等式+等积变形
，设H为线段AC上一点，且，
则，
∵PD∥AB，∴
（法2）利用奔驰定理推论求解.
∵，
∴
5.已知点是所在平面内一点，满足，则与面积之比是
【答案】
【解析】（法1）：由得，，即，由结论推广得
（法2）：由得，，即，化简得，由，得，设AB中点为D，则，所以点P在的中位线上，所以.
【题型二：三角形重心的向量表示（重点）】
6．已知为的重心，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
如图所示，设为中点，又为的重心，
则，
故选：B.
7．已知为重心，线段上一点满足，与相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，因为为的重心，所以在中线上，且，
又，所以，
设，所以，
又，所以，又三点共线，
所以，得到，所以，
故选：C.
8．已知G是的重心，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以由正弦定理得，
由三角形重心性质知，得，
即，
故由余弦定理得.
故选：D
【题型三：三角形外心的向量表示（高频）】
9.已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的（ ）
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
【答案】B
【解析】点为所在平面内一点，若，
设为的中点，，
则有，所以，
所以动点在线段的中垂线上，则点的轨迹必通过的外心.
10．已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ）
A．点为的内心B．点为的外心
C．D．为等边三角形
【答案】B
【解析】在中，由为的垂心，得，
由，得，
则，即，又，
显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件.
故选：B
11．已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
【答案】B
【解析】根据题意，，即，
所以，则向量在向量上的投影为的一半，
所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，
所以点O为该三角形的外心．
故选：B．
【题型四：三角形内心的向量表示（重点）】
12．已知点P在所在平面内，若，则点P是的（ ）
A．外心B．垂心C．重心D．内心
【答案】D
【解析】在中，由，得，
即，由，同理得，
显然，即与不重合，否则，同理，
则，即，，
于是平分，同理平分，
所以点P是的内心.
故选：D
13．点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通过的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．内心
【答案】C
【解析】由题意，
故所在的直线与三角形的高重合，故通过垂心.
故选：C．
14．已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】C
【解析】因为
，
根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上，
而向量与共线，
点的轨迹过的内心.
故选：．
【题型四：三角形垂心的向量表示（高频）】
15． 是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】D
【详解】如图所示，过点作，垂足为点．
则，
同理，
动点满足，．
，．
，
，
因此的轨迹一定通过的垂心．
故选：D．
16．设是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，则点是的（ ）
A．垂心B．内心C．重心D．外心
【答案】A
【详解】由题意可得，则，故点是的垂心.
故选：A.
17．若是的垂心，且，则的值为 ．
【答案】/
【详解】由，得，
所以，故垂心在中线上，即高线与中线重合，故，
又，所以，
又因为，，得，
所以，即，
得到，由余弦定理得，
又，所以，
所以，所以,
得到．

故答案为：.
18．平面直角坐标系中，假设旦华楼坐标为，笃志楼的坐标为，问思楼的坐标为，喷水池的坐标为，则喷水池是以旦华楼，笃志楼，问思楼构成的三角形的（ ）
A．重心B．外心C．垂心D．内心
【答案】C
【详解】分别设旦华楼、笃志楼、问思楼、喷水池对应坐标点为，
则，，，，，,
所以，，，
故喷水池是以旦华楼，笃志楼，问思楼构成的三角形的垂心，
故选：C

【题型一：奔驰定理与三角形“四心”的关系（重点）】
1．（多选题）以下命题中，正确的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，且，则
【答案】ABD
【解析】对于A，是的重心，则,
代入就得到,正确；
对于B，设点P到边的距离分别为，
由得，，即，与已知条件比较知，，则是的内心，正确；
对于，即，
与比较得到，，错误；
对于D，是的外心，且，则，设三角形外接圆半径为R，
所以，
代入奔驰定理即可得到，正确，
故选：ABD.
2．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，因为，
所以，同理，，
所以为的垂心。
因为四边形的对角互补，所以，
．
同理，，
，
．
，
．
又
．
由奔驰定理得.
故选：C．
3．如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，
则，，
因此，，同理，
于是得，
又，即，由“奔驰定理”有，
则，而与不共线，有，，即，
所以.
故选：A
4．如图，已知是的垂心，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵是的垂心，延长交与点，
∴
，
同理可得，∴：，
又，
∴，
又，
∴，
不妨设，其中，
∵，
∴，解得或，
当时，此时，则都是钝角，则，矛盾.
故，则，∴是锐角，，
于是，解得.
故选：A.
【题型一：三角形四心的综合（高频）】
5.已知G，O，H在所在平面内，满足，，，则点G，O，H依次为的（ ）
A．重心，外心，内心B．重心、内心，外心
C．重心，外心，垂心D．外心，重心，垂心
【答案】C
【解析】
因为，所以，
设AB的中点D，则，所以，
所以C，G，D三点共线，即G为的中线CD上的点，且，
所以G为的重心．
因为，所以，所以O为的外心；
因为，所以，即，
所以，同理可得：，，所以H为的垂心.
故选：C.
6．（多选）已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若点O为的重心，则，
B．若点O为的外心，则
C．若点O为的垂心，则，
D．若点O为的内心，则．
【答案】ABD
【解析】选项A：如图，点O为的重心时，，故A正确；

选项B：若点O为的外心，如图，为线段的垂直平分线，
则，同理，
，故B正确；

选项C：当时，则为的垂心，，重合，此时，故C错误；

选项D：若点O为的内心，在的平分线上，
则，故D正确.
故选：ABD
7．已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则O是的外心
B．若，则I是的内心
C．若，则P是的垂心
D．若，则N是的重心
【答案】B
【解析】
对于选项A：若，即到的距离相等，
根据外心的定义可知：O是的外心，故A正确；
对于选项B：若，则，
即I是三边高线的交点，所以I是的垂心，故B错误；
对于选项C：若，
则，即，
同理可得：，由选项B可知：P是的垂心，故C正确；
对于选项D：若，则（D为AB的中点），
即，根据重心的性质可知：N是重心，故D正确；
故选：B.
8．（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点是的重心
B．若，则点是的内心
C．若，则点是的外心
D．若为三角形外心，且，则为的垂心
【答案】BCD
【解析】对于A，在AB，AC上分别取点D，E，使得，
则，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图，
则四边形ADFE是菱形，且，所以平分，
因为即，
所以，即，
所以，
所以三点共线，即在的平分线上，
同理可得O在其它两角的平分线上，所以O为的内心，错误；
对于B，在AB，AC上分别取点D，E，使得，如图，
则，且，
因为，即，又知，平分，
同理，可得平分，故O为的内心，正确；
对于C，取的中点分别为，如图，
因为，所以，
即，所以O是的外心，正确；
对于D，因为，所以，即O为AC中点，又为三角形外心，
所以，则为的垂心，正确.
故选：BCD
9．（多选）点O为所在平面内一点，则（ ）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点O为的内心
C．若，则点O为的垂心
D．在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心
【答案】ABD
【解析】对于A中，由点O为所在平面内一点，且，可得，
则以为邻边作平行四边形，可得，且，
设，根据平行四边形法则，可得为的中点，即为上的中线，
同理可证：延长也过的中点，所以为的重心，所以A正确；
对于B中，由向量表示方向的单位向量，表示方向的单位向量，
可得四边形是菱形，则，
因为，
所以，即，即和共线，即是的角平分线，
同理可得是的角平分线，即是的内心，所以B正确.
对于C中，如图所示，取分别为的中点，
根据向量的平行四边形法则，可得，
因为，可得，
所以，所以点在线段的垂直平分线上，
所以点为的外心，所以C不正确；
对于D中，由,
因为，可得，
即，
设为的中点，可得，
所以，即，且为的中点，
所以动点O的轨迹必通过的外心，所以D正确.
故选：ABD.
【题型一：新定义题（难点）】
1．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则有.设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则
C．若，，，则
D．若为的垂心，则
【答案】ABD
【解析】对于A：如下图所示，
假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上，
同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确；
对于B：由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为，
则有可知，
若，可得，即B正确；
对于C：由，可知，
又，所以，
由可得；
所以，即C错误；
对于D：由四边形内角和可知，，
则，
同理，
因为O为的垂心，则，
所以，
同理得，，
则，
令，
由，
则，
同理：，
，
综上，，
根据奔驰定理得，即D正确.
故选：ABD.
2．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若为的外心，则
D．若为的垂心，，则
【答案】ABC
【解析】对于A，取的中点，连接,如图所示

由，则，
所以，
所以三点共线，且，
设分别为得中点，同理可得，
所以为的重心，故A正确；
对于B， 由为的内心，则可设内切圆半径为，如图所示

则，
所以，
即，故B正确；
对于C ，如图所示

因为为的外心，
所以,
所以，即，即,
所以,
同理可得，
所以，故C正确；
对于D，延长交于点，延长交于点，延长交于点，如图所示，

由为的垂心，，则，
又，则，
设，则，
所以，即，
所以，所以，故D错误.
故选：ABC.
3.在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为是的内心，的延长线交于， ，，，
由角平分线定理可得，可得，，
即，则，
又因为，，且为的角平分线，
所以，，所以，，
又，且向量、不共线，所以，，所以.
故选：C.
4.奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】延长交于点P，
是的垂心，，
．
同理可得，．
又，
．
又，
．
不妨设，其中．
，
，解得．
当时，此时，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉．
故，则，故C为锐角，
∴，解得，
故选：B．
【技巧点拨】此题考查向量的线性运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利用垂心的性质得，再结合已知条件得，设，再利用两角和的正切公式可得，从而可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于较难题.
5．（多选）如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若成立，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，，，则
【答案】AB
【解析】对于A：如图所示：因为分别为的中点，
所以，，
同理可得、，
所以，
又因为，
所以.正确；
对于B：记点到的距离分别为，，
因为，
则，
即，
又因为，所以，所以点是的内心，正确；
对于C：因为，
所以，所以，
所以，
所以，
化简得：，
又因为不共线，
所以，所以，
所以，错误；
对于D：因为是的外心，，所以,，
所以，
因为，则，
化简得：，由题意知同时为负，
记，，则，
因为，所以，
所以，
所以，错误.
故答案为：AB.
6．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，，则
C．若O为△ABC的内心，，则
D．若O为△ABC的垂心，，则
【答案】ACD
【解析】对A，由奔驰定理可得，，又不共线，故，A对；
对B，，由得，故，B错；
对C，若O为△ABC的内心，，则，又（为内切圆半径），三边满足勾股定律，故，C对；
对D，若O为△ABC的垂心，则，，
又，
同理，∴，
∵，则，
且
如图，分别为垂足，
设，，则，
又，故，
由，解得，
由，故，D对故选：ACD
【题型二：综合应用题（难点）】
7.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，且.D是AB的中点，点E在线段AC上且，线段CD与线段BE交于点M（如下图）
(1)求角A的大小：
(2)若，求的值；
(3)若点G是的重心，求线段GM的最小值.
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）因为，
所以.
所以，
所以，故，
又，所以，
所以；
（2）由题意，，
由D、M、C三点共线得，即，
故，
所以，
同理由B、M、E三点共线可得，
∴，
∴
（3）法一；由重心定义得，
∴，
∴，
∴
，当且仅当时，等号成立，
∴，
当且仅当时取等号.
∴线段GM的最小值为；
法二：由（2）得，，
故，故M为CD中点，
又重心G为CD三等分点，故，
∵，
∴在中，，
当且仅当时取等号，故，
∴.
即线段GM的最小值为.
8.奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车lg相似，因此得名.如图，P是内的任意一点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，总有优美等式：.

(1)若P是的内心，，延长AP交BC于点D，求；
(2)若P是锐角的外心，，，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由于P是的内心，设内切圆的半径为，
由可得，即，
由，不妨设，
故，
设，则,
故,
由于与共线，而与不共线，
因此必然，故，

（2）设外接圆的半径为,
则由得，
即，
由于，所以,
因此，又，
所以
,
由于三角形为锐角三角形，所以，解得，
故,
故当时，取最小值，
当或时，，
故.