暑假作业02 平面向量基本定理及坐标运算-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练试题（含答案）（人教A版2019）

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作业02 平面向量基本定理及坐标运算
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：基底的概念及判定（易错）】
1．若 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于A选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故A不合题意；
对于B选项， 假设存在实数使得，则，，无解，所以不共线，可以作为平面的基底，故B正确；
对于C选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故C不合题意；
对于D选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故D不合题意.
故选：B.
2.(多选)O为▱ABCD的对角线AC和BD的交点,下列各组向量中能作为平面ABC上所有向量的一组基的是( )
A.AB与ADB.AC与DC
C.DA与BCD.OB与OD
2.AB 要作为平面内所有向量的一组基,两个向量不能共线,在平行四边形ABCD中,易知DA∥BC,OB∥OD,故排除C,D;AB与AD不共线,AC与DC不共线.
故选:AB.
3.(多选)下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】ABC
【解析】对于A选项,已知，，因为零向量与任意向量共线，所以与共线，不能作为基底.
对于B选项，对于，，计算，根据两向量共线的充要条件可知与共线，不能作为基底.
对于C选项,已知，，计算，所以与共线，不能作为基底.
对于D选项，对于，，计算，所以与不共线，可以作为基底.
故选：ABC.
【题型二：用基底表示向量（重点）】
4如图,向量a-b=( )
A.e1-3e2 B.e1+3e2 C.-3e1+e2 D.-e1+3e2
【答案】D
【解析】如图所示,a-b=AO-BO=AO+OB=AB=-e1+3e2.
故选：D.
5.如图,已知M是△ABC的边BC的中点,点E在边AC上,且EC=2AE,则向量EM=( )
A.12AC+13ABB.16AC+12AB
C.12AC+16ABD.16AC+23AB
【答案】B
【解析】由EC=2AE,得EC=23AC,
则EM=EC+CM=23AC+12CB=23AC+12(AB-AC)=12AB+16AC,
故选B.
6．如右图，在平行四边形ABCD中，E是BC中点，G为AC与DE的交点，若则用表示（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】在平行四边形ABCD中， ,
故,所以 ,
即 , ,
故 ，
故选：B.
7．天津市南开中学八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南开人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转后的正方形组合而成，已知向量，，则向量（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据题意可得，
由该图形是由正方形中心为中心逆时针旋转后与原正方形组合而成，如图
由对称性可得,

由对称性可得点共线，点共线.
所以 ，
所以
故选：D
8.已知与不平行，且，，，若以、为一组基底，则用、可表示为______．
【答案】
【解析】设，则
所以
又与不平行，所以，解得，
所以.
9．如图，在长方形中，E为边的中点，F为边上一点，且.设，.
(1)试用基底表示，；
(2)若，求证：E，G，F三点共线.
【答案】(1) ,（2）见解析.
【解析】（1）；
，
；
(2)若E，G，F三点共线，则，
即，
因为，，
所以，
解得，
所以E，G，F三点共线.
【题型三：向量线性运算的坐标表示（重点）】
10.设是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若则的坐标是（ ）
A．(1，－2)B．(7，6)C．(5，0)D．(11，8)
【答案】D
【解析】由题意得，则.
11．已知a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,则c等于( )
A.-133,-43 B.1,83 C.133,83 D.143,43
【答案】A
【解析】由题意得-2b=(8,6),3c=(3x,3y),因为a-2b+3c=0,
所以5+8+3x=0,-2+6+3y=0⇒x=-133,y=-43,
故c=-133,-43,
故选：A.
12．已知a-12b=(1,2),a+b=(4,-10),则a等于( )
A.(-2,-2)B.(2,2)C.(-2,2)D.(2,-2)
【答案】D
【解析】因为a-12b=(1,2),所以2a-b=(2,4),又a+b=(4,-10),
所以2a-b+a+b=(2,4)+(4,-10)=(6,-6),所以3a=(6,-6),a=(2,-2),
故选：D.
13．(多选)已知平面上的点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),下面结论正确的是( )
A.AB-CA=BCB.OA+OC=OB
C.AC=OB-2OAD.OA+2OB=OC
【答案】BC
【解析】选项A中,AB=(-2,1),CA=(4,0),BC=(-2,-1),所以AB-CA≠BC,故错误;
选项B中,OA=(2,1),OC=(-2,1),OB=(0,2),所以OA+OC=OB成立,故正确;
选项C中,AC=(-4,0),OB=(0,2),OA=(2,1),所以AC=OB-2OA成立,故正确;
选项D中,OA=(2,1),OB=(0,2),OC=(-2,1),所以OA+2OB≠OC,故错误.
故选：BC.
14．已知AB=(3,-7),BC=(1,-5),且OC=-34AC(其中O是坐标原点),则点C的坐标为 .
【答案】(-3,9)
【解析】∵AB=(3,-7),BC=(1,-5),
∴AC=AB+BC=(4,-12),
∴OC=-34AC=(-3,9),
∴点C的坐标为(-3,9).
【题型四：向量平行的坐标表示（高频）】
15.已知向量，，若，则（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】D
【解析】由已知得：，，
所以，解得.
故选：D
16.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m-1,m+3),若平面内的任意一个向量c都可以唯一分解成c=λa+μb(λ,μ∈R),则m的取值范围是 .
【答案】{m|m≠5}
【解析】根据平面向量基本定理可知,向量a,b不共线,
所以1×(m+3)-2×(m-1)≠0,
所以m≠5,
所以m的取值范围是{m|m≠5}.
17.已知平面内的三个向量、、.
(1)若（），求的值；
(2)若向量与向量共线，求实数的值.
【答案】(1)13;(2)-21.
【解析】(1)∵，，∴，
又，∴，解得，∴；
(2)∵、，
又与共线，∴，
解得.
18.已知向量，，点，若
(1)求与向量方向相同的单位向量的坐标；
(2)求点M的坐标；
(3)若点满足，求y与的值.
【答案】(1);(2);(3)，.
【解析】（1）因为，所以，
与向量方向相同的单位向量；
（2）因为，所以，
整理得，
因为点，所以；
（3）因为，所以，所以，
即，解得，

【题型一：平面向量基本定理的应用（高频）】
1.正方形中，P，Q分别是边的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，即，解得，
∴，
又，，
由平面向量基本定理，得
解得，.
2.在中，是直线上的点.若，记的面积为，的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
依题意作上图，
设 ，
由条件 ，
由平面向量基本定理得 ， ，，
∴点D在AB的延长线上，并且 ，
∴ .
3．(多选)设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则点M、B、C三点共线
C．若点M是的重心，则
D．若且，则的面积是面积的
【答案】ACD
【解析】，A正确；
假设点M、B、C三点共线，则，即，整理得：，故当时，即，与条件中的不一致，所以点M、B、C三点不共线，B错误；
如图，取BC中点H，连接AH，若点M是的重心，则点M在AH上，且MA=2MH，则，则，C正确；
由于，而，所以，其中，不妨设，则Q点在直线BC上，由于与同底，而高线之比等于与的比，即比值为2:3，所以的面积是面积的，D正确.
故选:ACD.
4．在中，D，E分别是线段BC，AC的中点，，P是直线AD与EF的交点，则______．
【答案】
【解析】因为，所以．因为E是线段AC的中点，所以．因为E，P，F共线，所以．因为D是线段BC的中点，所以．
因为A，P，D共线，所以，由平面向量基本定理得解得，故．
5．如图，AD是的内角∠BAC的平分线，BE是边AC的中线，且AD与BE交于点O，，，若，，则_________.
【答案】
【解析】在中，是角平分线，所以，
, 即，
在中，AD是角∠BAC的平分线，所以.
, ,
又,
，即，
.
6.如图所示，中，，，为的中点，为上的一点，且，的延长线与的交点为.
(1)用向量，表示；
(2)用向量，表示，并求出和的值.
【答案】（1）；（2），的值为7，的值为6.
【解析】(1)根据题意因为：，所以，
所以，
为的中点，，，所以，.
(2)因为，，三点共线，设，所以，
即，
，，三点共线，设，
由（1）可知，即，
，不共线，由平面向量基本定理，所以，
所以，，
所以，，
则的值为7，的值为6.
【方法技巧】向量法求线段的比的基本思路：利用平面向量基本定理，构造某相关向量在同一对基底下的两种不同表达式，再由对应系数相等列出方程组解之.
【题型二：利用向量的坐标运算解决平面几何问题（高频）】
7.(多选)以A(0,1),B(1,0),C(3,2)三个点为顶点作平行四边形,则第四个顶点D的坐标不可能是( )
A.(-2,3)B.(2,-1)C.(4,1)D.(-2,-1)
【答案】AB
【解析】设D(x,y),若AB=CD,则(1,-1)=(x-3,y-2),即x-3=1,y-2=-1,解得x=4,y=1,
即D(4,1);
若AB=DC,则(1,-1)=(3-x,2-y),
即3-x=1,2-y=-1,解得x=2,y=3,即D(2,3);
若AD=CB,则(x,y-1)=(-2,-2),
即x=-2,y-1=-2,解得x=-2,y=-1,即D(-2,-1).
故选：AB.
8.若三点（）共线，则 .
【答案】/
【解析】因为三点共线，
所以，，
所以，即，又，
所以，所以.
9.已知O为坐标原点，点，则与的交点P的坐标为 ．
【答案】
【解析】由O，P，B三点共线，可设，
则．又，
由与共线，得，
解得．所以，所以点P的坐标为．
【题型三：向量坐标运算的综合应用（难点）】
10.“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意建立如图所示的直角坐标系，
因为，，则，，.
设，则，，
因为，所以，
解得，
由，得，
所以解得，所以.
故选：C.
11.在直角梯形中，,,,,分别为 的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则
设,.
则.
因为，所以.
化简得：.
解得：.
所以.
因为，所以.
所以.
故选：B.
12.设，是函数的图象上任意两点，点满足，其中O为坐标原点．
(1)若，求证：为定值；
(2)若，且，求的取值范围，并比较与的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)的取值范围为，
【解析】（1）证明：由，
可得，即，
则
，
则为定值.
（2）由，
，
可得，
即，
则，即，所以，
所以的取值范围是.
由，
因为，则，
所以，
则，故，
即.
【题型一：平面向量基本定理在平面几何中的应用（难点）】
【知识讲解】
在平面几何中，当选择了适当的基底向量后，平面图形中的相应的边可用基底向量表示出来，这样就把平面几何问题转化为向量问题，利用向量的共线、模、线性运算等来达到解决平面几何问题的目的.
解决问题的关键是建立相应的基底向量，充分利用好平面图形的性质.
1.如图，在△中，点与点分别在边和上，且和交与．
求证：．

【答案】见解析.
【证明】∵、、三点共线，
∴存在实数，使，则,
∴=
= ①
又∵、、三点共线，
∴存在实数，使，则，
∴=
． ②
由①②得，解得．
∴．
【题型二：有关向量坐标运算的新定义题（难点）】
4．若，是一组基底，向量（），则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，，，
可知，
又因为向量在基底，下的坐标为，
则，
所以在基底，下的坐标为.
故选：C.
5.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记，则该坐标系中和两点间的距离为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】由题可知，，所以，所以，故选A．
6.已知函数的定义域为，若存在一个向量，对于任意，均有成立，则称向量为函数的“伴随向量”．
(1)判断是否是函数的伴随向量，并说明理由；
(2)判断函数是否存在伴随向量．若存在，求出函数的所有“伴随向量”，若不存在，请说明理由：
(3)若，都是函数的“伴随向量”．当时，；当时，．求当时，函数的解析式和零点．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)存在，和，
(3)，零点为
【解析】（1）因为，，
所以，
因此向量是函数的伴随向量．
（2）若存在伴随向量，则，
所以，得到，
即（其中为辅助角），
由题知，上式对任意的都成立，则，
即，由于，当且仅当时，等号成立，
所以，又因为，故
当时，，，：
当时，，，．
故函数的“伴随向量”为和，
（3）因为，都是函数的“伴随向量”，
所以且，由，得，
所以，则，
故函数是以4为周期的函数．又当时，；当时，，
当，则，此时；
由，，得，
所以当，则，此时；
当，则，此时，
由，得，又，所以，又，
所以，又，是以4为周期的函数，
故
当时，函数的零点为．
2.在平面上给定一个三角形ABC,试推断平面上是否存在这样的点P,使线段AP的中点为M,BM的中点为N,CN的中点为P?若存在，这样的点P有几个？若不存在，说明理由.
【答案】存在一个点P，理由见解析.
【解析】P
A
B
C
M
N
如图，∵线段AP的中点为M，∴,
又BM的中点为N，∴,
∵CN的中点为P,
∴,
∴,∴.
由平面向量的基本定理知，是唯一存在的，故符合条件的点P有且只有一个.
3.如图，已知ABCD边AB的中点为E，F为AD上的一点，且，BF、CE交于点K，求的值．
【答案】.
【解析】设＝a，＝b为一组基底，则＝ a
∵，＝a＋b.
∴
设＝λ，则
.
易求得.
又B、K、F三点共线，∴存在实数t，使，
即a＋b＝a＋b，
由平面向量基本定理得,
∴λ＝，即=.
【方法技巧】向量法求线段的比（倍）的基本思路是：利用平面向量基本定理，构造某相关向量在同一对基底下的两种不同表达式，再由对应系数相等列出方程组解之.