辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

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一、单项选择题（每题5分，共40分）
1. 将弧度化成角度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
故选：C.
2. “”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由“”可推出“”，
但当“”时，比如，推不出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选:B.
3. 已知点，，为坐标原点，向量，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，则，，
∵，∴，解得，即，
∴.
故选：A.
4. 记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】由题意得，所以.
因为的图象关于点中心对称，
所以，
所以，
由，得，
所以，
所以.
故选：C.
5. 《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于公元前450年的作品，刻画的是一名强健的男子在掷出铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现把掷铁饼者张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”，经测量此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为1.25米，估算雕像两手掌心之间的距离约为（ ）（参考数据：，）
A. 2.945米B. 2.043米C. 1.768米D. 1.012米
【答案】C
【解析】因为两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为1.25米，
所以其所对的圆心角，
所以两手掌心之间的距离为（米），
故选：C
6. 对于角，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
由于，所以，则，
整理得，又，所以
所以，解得，
故选：B.
7. 在钝角三角形中，为钝角，为重心、外心、垂心、内心分别为、、、，（其中），当取最大值时，（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】对于垂心，设为边上的高，因为为钝角，故在的延长线上，
而，故，此时，
对于重心和内心，无论为何角，、都在三角形内部，
而，
故且，
设，则三点共线，且，
故共线且即.
对于外心，因为为钝角，故在的外部且在的异侧，
而，
故且，
设，则三点共线，且，
故共线且即.
故选：B.
8. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的单位圆与射线交于点，已知点在圆上，点的坐标是，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，且，则
B. 若，则
C. 若，则所对圆心角为
D. 若所对圆心角为 ，则
【答案】D
【解析】如图，因为单位圆与射线交于点，
即点在角的终边上，
设点在角的终边上，则，.
对于A，因为点的坐标是，
由题意可知，
如图，若，则，，
即，
此时或，故A错误；
对于B，由题意可得，则或，则或，故B错误；
对于C，由图可知，设对应的圆心角为，
由A项可知，或，
即或，
例如：当时，则满足，
此时，即此时对应的圆心角为，
而，故C错误；
对于D，若所对圆心角为，则，
则，故D正确.
故选：D.
二、多项选择题（每题6分，共18分）
9. 下列选项化简值为1的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于A, ，A错误，
对于B，，B正确，
对于C, ，C正确，
对于D，
，故D错误，
故选：BC
10. 已知平面向量、、满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 在上的投影为
C. D. 的最大值为
【答案】CD
【解析】因为，所以，则，故A不正确；
又在上的投影为，故B不正确；
则，故C正确；
由可设，则，
所以，
又因为，
所以，所以，
当且仅当与反向时，取到最小值，即取得最大值，且最大值为，故D正确.
故选：CD.
11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 当时，直线 是曲线的一条对称轴
B. 做，且，则
C. 若在上恰有5个零点，则的取值范围为
D. 存在，使得的图像向左平移个单位长度后得到的图像对应的函数是偶函数
【答案】BC
【解析】
对于选项A：当时，.
对称轴为，解得.
若是对称轴，则
则解得，不是整数，所以选项A错误.
对于选项B：因为，且，的最大值为，最小值为，说明之间最小间隔是半个周期.
，即，解得，B正确.
对于选项C：已知，则.
令，则.
因为在上恰有5个零点，则.
解得的取值范围为，C正确.
对于选项D：的图像向左平移个单位长度后得到.
若是偶函数，则，.
化简得，则.
当时，，所以不存在，D错误.
故选：BC.
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 函数的定义域为 __________
【答案】
【解析】由题设有即，故，
故函数的定义域为.
故答案为：
13. 若平面向量、、两两的夹角为120°，且，，则 __________.
【答案】4
【解析】由题意可得，
，
，
则
.
故答案为：4.
14. 已知 ，若 对任意的恒成立，则的取值范围是 __________
【答案】
【解析】

则，
则不等式转化为：对任意的恒成立，
令，则不等式转化为对任意的恒成立，
又函数在上单调递减，
所以当时，，故
所以的取值范围为.
故答案为：.
三、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分）
15. （1）已知，，，，求的值.
（2）已知，求的值.
解：（1）因为，，故，，
故，故，故，
故，故.
（2）设，则且，
故.
16. 如图，在菱形中，，．与交于点.
（1）若，求的值；
（2）若，，求.
解：（1）因为，，
所以，所以，，
故．
（2）延长交的延长线于点，
∵在菱形中，是的中点，
∴，
∴，
∵在菱形中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为菱形，∴，
∴，
∴．
17. 已知向量，，函数
（1）求函数在上的单调递减区间
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围
解：（1）
，
由，得，
因为，所以，
所以在上的单调递减区间为，.
（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
所以，又，，
由当时，恒成立，可得，解得，
所以实数的取值范围为.
18. 记函数，的最小正周期为．
（1）若，且直线为的图像的一条对称轴，求；
（2）若为的一个零点，且在区间上至多有两个零点，求．
解：（1）因为，
所以，又因为，所以，则，
因为直线为的图像的一条对称轴，所以，
即，
所以
（2）由为的一个零点，可知，则
因为在区间上至多有两个零点，所以，
因为，所以，则，
又因为，所以或.
①当时，代入，得，
因为，所以，此时在只有一个零点，符合题意；
②当时，代入，得，
因为，所以不符合题意；
综上，，
19. 已知函数的图像如图所示，点为的图像与轴的交点，点分别为的最高点和最低点，点为函数图像上一点
（1）求参数与的值
（2）若，求向量与向量夹角的余弦值
（3）若点为函数图像上的动点，当点在之间运动时，恒成立，求的取值范围
解：（1）函数过，，
又函数是由进行伸缩平移得到，
所以对应点，，
又，故，
，，，
所以，.
（2），所以，
故，，，，
，，
，
所以向量与向量夹角的余弦值为.
（3）由题知为中点，，，
点在之间运动，，
，恒成立，故，解得,
所以的取值范围为.